新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年高一(上)期末数学试题(含解析)
展开(分值:150分 考试时间:120分钟)
考生须知:1.本试卷分试题卷和答题卡两部分,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡的相应位置.
2.作答选择题时,选出正确答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的字母涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他字母,在试题卷上作答无效.
3.作答非选择题时,将答案写在答题卡上,在试题卷上作答无效.
4.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本大题共8题,每小题5分,共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的.
1.( )
A.B.C.D.
2.已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3.若点是角终边上一点,则( )
A.B.C.D.
4.函数的零点所在的大致区间是( )
A.B.
C.D.
5.设,,,则( )
A.B.C.D.
6.下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上单调递减的是( )
A.B.C.D.
7.若函数(,)的图象恒过定点,则点的坐标为( )
A.B.C.D.
8.已知函数的部分图像如图所示,则点的坐标为( )
A.B.C.D.
二、多选题:本大题共4题,共计20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.对于①,②,③,④,⑤,⑥,则为第二象限角的充要条件为( )
A.①③B.①④C.④⑥D.②⑤
10.下列说法正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“且”是“一元二次不等式的解集为”的充要条件
C.“”是“”的必要不充分条件
D.已知,则的充要条件是
11.已知函数,则( )
A.的最小正周期为
B.函数的图象关于对称
C.是函数图象的一条对称轴
D.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
12.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,为线段上的点,且,,为的中点,以为直径作半圆,过点作的垂线交半圆于,连接、、,过点作的垂线,垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为( )
A.B.
C.D.
三、填空题:本大题共4题,每小题5分,共计20分.
13. .
14.已知,函数的最小值为 .
15.已知扇形的周长为,圆心角为2弧度,则此扇形的面积为 .
16.为了预防某种病毒,学校对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量(单位:毫克)随时间(单位:h)的变化情况如右图所示,在药物释放的过程中,与成正比;药物释放完毕后,与的函数关系式为(为常数),根据图中提供的信息,写出从药物释放开始,与之间的函数关系式 .据测定,当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时,学生方可进教室学习,那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生方能回到教室.
四、解答题:本大题共6题,其中第17题满分10分,其余题目满分均为12分,共计70分,要求每道题必须有详细的解答过程.
17.已知,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
18.已知函数(且),.
(1)求使成立的的值;
(2)若,求实数的取值范围.
19.已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时的集合.
20.已知,且.
(1)求的值;(2)若,,求的值.
21.某公益团队计划联系第19届杭州亚运会组委会举办一场为期一个月的线上纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查了解,某款纪念品的日销售量(单位:件)是销售单价(单位:元/件)的一次函数,且单价越高,销量越低,当单价等于或高于110元/件时,销量为0.已知该款纪念品的成本价是10元/件,展销会上要求以高于成本价的价格出售该款纪念品.
(1)若要获取该款纪念品最大的日利润,则该款纪念品的单价应定为多少?
(2)通常情况下,获取商品最大日利润只是一种“理想结果”,若要获得该款纪念品最大日利润的84%,则该款纪念品的单价应定为多少?
22.已知函数为上的奇函数.
(1)求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的最小值.
参考答案与解析
1.B
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.
【解答】.
故选:B
2.B
【分析】根据交集的定义即得.
【解答】由题意可得,
故选:B
3.D
【分析】根据三角函数的定义分别求出,,从而求解.
【解答】点是角终边上一点,
所以,,
所以.故D正确.
故选:D.
4.C
【解答】,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵f(3)=ln3-1>0,f(e)=lne-=1-<0,
∴f(3)·f(e)<0,
∴在区间(e,3)内函数f(x)存在零点.
故选C.
5.B
【分析】根据指数函数和对数函数的性质,利用中间量法求得各值的范围,即可得解.
【解答】,
,
,
综上,可得
故选:B
6.A
【分析】利用正弦型函数的周期性与单调性逐项判断,即可得出合适的选项.
【解答】对于A选项,作出函数的图象如下图所示:
由图可知,函数的最小正周期为,且该函数在上单调递减,A满足条件;
对于B选项,函数的最小正周期为,且该函数在上单调递减,B不满足条件;
对于C选项,函数的最小正周期为,
当时,,则函数在上不单调,C不满足条件;
对于D选项,函数的最小正周期为,
当时,,则函数在上单调递增,D不满足条件.
故选:A.
7.C
【分析】指数函数恒过定点,只需将代入即可得到定点的坐标.
【解答】令,即,,则.
故选:C.
8.A
【分析】由可求,由可求得,由,可求得,从而可求得点的坐标.
【解答】解:由图像可知,,
,
又,的图像经过,
,
由于,所以,
点的坐标为,
故选:A.
9.BC
【解析】根据为第二象限角判断出、、的符号,从而可得出为第二象限角的充要条件.
【解答】若为第二象限角,则,,.
所以,为第二象限角或或.
故选:BC.
【点拨】本题考查三角函数值的符号与象限角之间的关系,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
10.BC
【分析】对于ABC:根据充分、必要条件分析判断;对C:根据一元二次不等式结合充分、必要条件分析判断.
【解答】对于选项A:例如,则,
即充分性不成立,故A错误;
对于选项B:若且,
可知一元二次不等式的解集为,即充分性成立;
若一元二次不等式的解集为,则且,
即必要性成立;
综上所述:“且”是“一元二次不等式的解集为”的充要条件,故B正确;
对于选项C:若,不可以推出,例如,即充分性不成立,
若,可以推出,即必要性成立,
综上所述:“”是“”的必要不充分条件,故C正确;
对于选项D:例如,可以推出,
即不可以推出,故D错误;
故选:BC.
11.BCD
【解析】将函数化为,根据周期公式求出周期可知不正确;根据可知正确;根据可知正确;化简,利用平移变换和诱导公式可知正确.
【解答】,
的最小正周期,故不正确;
因为,所以函数的图象关于对称,故正确;
因为,所以是函数图象的一条对称轴,故正确;
,的图象向右平移后得到,故正确.
故选:BCD
【点拨】关键点点拨:掌握正弦函数的周期性、对称中心、对称轴以及图象的平移变换是解题关键.
12.AC
【分析】先明确、的几何意义,即在图中相对应的线段,根据直角三角形的相似可得相应的比例式,结合不等关系,即可证明AC选项;由于在该图中没有相应的线段与之对应,可判断BD选项.
【解答】由题意可知,,
因为,,
则,所以, ,即,
所以;
在中,,即
当时,、点重合, ,此时,
则,所以A正确;
对于C选项,在中,,则,
又因为,所以,,
可得,即,所以,
由于,所以,
当时,,此时,
综上,,所以C正确;
由于在该图中没有相应的线段与之对应,故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明,
故选:AC.
13..
【分析】本题直接运算即可得到答案.
【解答】解:,
故答案为:.
【点拨】本题考查指数幂的运算、对数的运算,是基础题.
14.4
【分析】利用基本不等式求得最小值.
【解答】依题意,
当且仅当时等号成立.
故答案为:
15.16
【分析】由扇形的周长可求半径,然后由扇形的面积公式即得.
【解答】设扇形半径为r,圆心角为,弧长为
扇形的周长为,所以,
扇形的面积为.
故答案为:16
16. ##
【分析】分与两种情况,代入,求出函数关系时,令,根据指数函数单调性解不等式,求出答案.
【解答】当时,设,将代入得,
,解得,故,
当时,将代入得,
解得,故,
综上,,
令,即,
故,解得,
故至少需要小时后,学生方能回到教室.
故答案为:,.
17.(1)
(2)
【分析】(1)根据且可求出,从而求解.
(2)利用三角函数诱导公式化简后并结合(1)中结论即可求解.
【解答】(1)因为,,
所以为第三象限角,且,
所以.
(2)由.
18.(1)或
(2)
【分析】(1)由结合对数运算可求得的值,可得出函数的解析式,然后解方程,可得出满足条件的的值;
(2)分析可知,是上的增函数,根据可得出关于实数的不等式组,解之即可.
【解答】(1)解:因为,则,解得,
所以,得,
即,解得或.
(2)解:由(1)知是上的增函数,
又,则,解得.
故实数的取值范围是.
19.(1)
(2)最大值为,取得最大值时的集合是,最小值为,取得最小值时的集合是.
【分析】(1)利用周期公式直接求解即可;
(2)利用余弦型函数的最值的性质即可直接求解.
【解答】(1)
,
的最小正周期.
(2)当,即时,
有最大值,且;
当,即时,
有最小值,且.
综上,最大值为,取得最大值时的集合是,
最小值为,取得最小值时的集合是.
20.(1) .
(2) .
【解答】分析:(1)根据正弦的二倍角公式求解即可;(2)由,然后两边取正弦计算即可.
解答:
(Ⅰ) ,且,,-------2分
于是 ;
(Ⅱ),,,结合得:, 于是
.
点拨:考查二倍角公式,同角三角函数关系,三角凑角计算,对于的配凑是解第二问的关键,属于中档题.
21.(1)60元/件
(2)40元/件或80元/件
【分析】(1)先根据当单价等于110元/件时,销量为0求出,再根据题意建立二次函数模型,再利用二次函数的单调性得到最大值;
(2)通过解一元二次方程进行求解.
【解答】(1)依题意设.
将,代入,解得.
故.
设该款纪念品的日利润为元,
则
,
因为,所以当时,取得最大值,且最大值为.
故若要获取该款纪念品最大的日利润,则该款纪念品的单价应定为60元/件.
(2)由题意可得,即,
解得或.
故若要获得该款纪念品最大日利润的,则该款纪念品的单价应定为40元/件或80元/件.
22.(1)
(2)
【分析】(1)利用奇函数的定义可得出对任意的恒成立,即可求得实数的值;
(2)分析出函数在上单调递增,由所求不等式可得出,利用二次函数的基本性质求出函数在时的最大值,即可得出实数的最小值.
【解答】(1)解:因为为奇函数,则,即对任意的恒成立,
所以,,等式两边平方可得对任意的恒成立,所以,.
(2)解:由(1)可知,
所以,函数在和上均为增函数且函数在上连续,
故函数在上单调递增,
由可得,
所以,,
所以,,
因为,则,
故当时,函数取得最大值,即,故.
因此,实数的最小值为.
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