2023-2024学年云南省大理州高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省大理州高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题p：∀x∈R，sinx<1的否定为( )
A. ∀x∈R，sinx≥1B. ∃x∉R，sinx≥1
C. ∃x∈R，sinx≥1D. ∃x∈R，sinx<1
2.不等式x2−x+a≥0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A. a≥14B. a≥−14C. a≤14D. a≤−14
3.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x=2n,n∈Z}，则A∩B=( )
A. {2}B. {0,2}C. {−1,0,2}D. ⌀
4.函数f(x)=2x−6的零点所在区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.若f(x)=sinxcsx−12，则f(x)在[0,π3]上的最大值为( )
A. −32B. −1C. −12D. 0
6.已知f(x)=2x+3，g(x)=−1,x>0,0,x=0,1,x<0,则函数y=f(x)⋅g(x)的值域为( )
A. (−∞,3)B. (−∞,3]C. (3,+∞)D. [3,+∞)
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A. g(x)=sin2xB. g(x)=sin(2x−π6)
C. g(x)=2sin2xD. g(x)=2sin(2x−π6)
8.已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1−x)=f(3+x)，若f(2)=1，则f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)=( )
A. −5B. 1C. 5D. −1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列条件中，是“2x2>5+3x”的一个充分不必要条件的是( )
A. x>3B. x<−3C. x>0D. x<0
10.下列说法正确的是( )
A. 终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ2,k∈Z}
B. 若角α的终边在第二象限，则角α是钝角
C. 若角α是钝角，则角α的终边在第二象限
D. 终边在直线y=x上角的集合是{α|α=π4+kπ,k∈Z}
11.设正实数a，b满足a+b=1，则( )
A. ab的最大值为12B. ab的最小值为12
C. a+ b的最大值为 2D. 1a+2b的最小值为3+2 2
12.已知函数f(x)=a−42x+1，且f(0)=0，则( )
A. a=1
B. f(x)是奇函数
C. 函数f(x)的图象关于点(0,1)对称
D. 不等式f(x+3)≥0的解集为[−3,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)是定义域为R的奇函数，则2f(0)= ______．
14.若tan(α+π4)=5，则tanα= ______．
15.若f(x)=x2+bx+c，且f(2)=f(6)=0，则f(1)= ______．
16.已知x，y，z都是正数，且(x+y)(x+z)(y+z)=8，则xyz的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x∈R|ax2+2x+3=0}．
(Ⅰ)当a=0时，求集合A；
(Ⅱ)若集合A只有2个子集，求实数a的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=alg2x+1．
(Ⅰ)若函数f(x)的图象过点(2,3)，求实数a的值；
(Ⅱ)当a>0时，求关于x的不等式f(x)>2的解集．
19.(本小题12分)
(Ⅰ)已知θ∈[0,π2]，若tanθ=512，求 2cs2θ22sin(θ+π4)的值；
(Ⅱ)α+β=π3，求sinα+ 3csβ的最大值．
20.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m2+2m+2)xm．
(Ⅰ)求m的值；
(Ⅱ)若f(2a−7)>f(13−3a)，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs4x+2cs2x−sin4x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求函数|f(x)|的单调递减区间．
22.(本小题12分)
布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹⋅布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点.现新定义：若x0满足f(x0)=−x0，则称x0为f(x)的次不动点．
(Ⅰ)求函数f(x)=|2x+1|的次不动点；
(Ⅱ)若函数g(x)=lg3(9x−a⋅3x−1)在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：命题p：∀x∈R，sinx<1的否定为：∃x∈R，sinx≥1．
故选：C．
任意改存在，将结论取反，即可求解
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵不等式x2−x+a≥0的解集为R，
∴Δ=(−1)2−4a≤0，
解得a≥14．
故选：A．
由题意可知Δ≤0，进而求出a的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵集合A={−1,0,1,2}，
B={x|x=2n,n∈Z}，
∴A∩B={0,2}．
故选：B．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：易知函数f(x)=2x−6在R上连续且单调递增，
f(2)=4−6=−2<0，f(3)=8−6=2>0；
故f(2)⋅f(3)<0，
故函数f(x)=2x−6的零点所在的区间为(2,3)．
故选：C．
易知函数f(x)=2x−6在R上连续且单调递增，从而由函数的零点的判定定理判断即可．
本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=sinxcsx−12=12sin2x−12，
当0≤x≤π3时，0≤2x≤2π3，
所以0≤sin2x≤1，
则f(x)在[0,π3]上的最大值为0．
故选：D．
先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数最值的求解，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=2x+3，g(x)=−1,x>0,0,x=0,1,x<0,
则函数y=f(x)⋅g(x)=−2x−3,x>00,x=02x+3,x<0，
当x>0时，y=−2x−3<−3，
当x=0时，y=0，
当x<0时，y=2x+3<3，
故{y|y<3}．
故选：A．
先求出y=f(x)⋅g(x)的解析式，然后结合一次函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数值域的求解，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2，3T4=34×2πω=11π12−π6，可得ω=2．
再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，可得φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6).
将函数f(x)图象上所有点向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin(2x−π6)的图象．
故选：D．
根据题意，由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω值，根据五点法作图求出φ，可得函数f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)满足f(1−x)=f(3+x)，变形可得f(−x)=f(x+4)，
又由f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，
则有f(x+4)=−f(x)，变形可得f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，f(x)是周期为8的周期函数，
f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)=f(2)+f(6)+f(4)+f(8)+f(10)=0+0+f(10)=f(2)=1．
故选：B．
根据题意，分析函数的周期，同时可得f(x+4)=−f(x)，由此可得f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)=f(2)，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：由2x2>5+3x可得2x2−3x−5>0，
解得，x>52或x<−1，
故2x2>5+3x的一个充分不必要条件即求A={x|x>52或x<−1}的一个真子集．
故选：AB．
先求解不等式2x2>5+3x，然后结合充分必要条件与集合的包含关系的转化检验各选项即可．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A：终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}，故A错误；
对于B和C：角α为钝角，故α的终边为第二象限角，故B错误，C正确；
对于D：终边在直线y=x上角的集合是{α|α=π4+kπ,k∈Z}，故D正确．
故选：CD．
直接利用象限角和轴线角的定义判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：象限角的定义，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为正实数a，b满足a+b=1，
所以 ab≤a+b2=12，当且仅当a=b=12时取等号，A正确，B错误；
因为 a+ b2≤ a+b2= 22，当且仅当a=b=12时取等号，
所以 a+ b≤ 2，C正确；
1a+2b=a+ba+2a+2bb=3+ba+2ab≥3+2 ba⋅2ab=3+2 2，当且仅当b= 2a，即a= 2−1，b=2− 2时取等号，D正确．
故选：ACD．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x)=a−42x+1，则有f(0)=a−41+1=0，解可得a=2，A错误；
对于B，由于a=2，则f(x)=2−42x+1，f(−x)=2−42−x+1=2−4×2x1+2x，
有f(x)+f(−x)=0，故f(x)为奇函数，B正确；
对于C，由B的结论，f(x)+f(−x)=0，则函数f(x)的图象不关于点(0,1)对称，C错误；
对于D，f(x)=2−42x+1，若f(x+3)≥0，即2−42x+3+1≥0，
变形可得2x+3≥1，解可得x≥−3，即不等式f(x+3)≥0的解集为[−3,+∞)，D正确．
故选：BD．
根据题意，由函数的解析式和f(0)=0分析A，分析函数的奇偶性可得B正确，由奇函数的定义可得C错误，解不等式可得D正确，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，关键求出a的值，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)=0，
则2f(0)=1．
故答案为：1．
由已知结合奇函数的性质f(0)=0即可求解．
本题主要考查了奇函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】23
【解析】解：已知tan(α+π4)=5，
则1+tanα1−tanα=5，
则tanα=23．
故答案为：23．
结合两角和的正切公式求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
15.【答案】5
【解析】解：∵f(x)=x2+bx+c，且f(2)=f(6)=0，
∴4+2b+c=0且36+6b+c=0，
解得b=−8c=12，
∴f(x)=x2−8x+12，
∴f(1)=1−8+12=5．
故答案为：5．
根据已知条件求得b和c，进而得到f(x)的解析式，即可求解结论．
本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】解：因为x，y，z都是正数，
所以x+y≥2 xy，x+z≥2 xz，y+z≥2 yz，
以上三个不等式相乘，可得(x+y)(x+z)(y+z)≥8xyz，
结合(x+y)(x+z)(y+z)=8，可得8≥8xyz，即xyz≤1，当且仅当x=y=z时，等号成立，
所以x=y=z=1时，xyz的最大值为1．
故答案为：1．
根据题意可得x+y≥2 xy，x+z≥2 xz，y+z≥2 yz，三个不等式相乘，化简即得xyz的最大值．
本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，集合A={x∈R|ax2+2x+3=0}={x∈R|2x+3=0}={−32}；
(Ⅱ)若集合A只有2个子集，则集合A中只有一个元素，
当a=0时，A={−32}，符合题意，
当a≠0时，则Δ=4−4a×3=0，
解得a=13，
综上所述，a的值为0或13．
【解析】(Ⅰ)代入a=0求出方程的解，进而可得集合A；
(Ⅱ)分a=0和a≠0两种情况，结合Δ求解即可．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
18.【答案】解：函数f(x)=alg2x+1．
(Ⅰ)若函数f(x)的图象过点(2,3)，
则alg22+1=a+1=3，
解得a=2；
(Ⅱ)∵当a>0时，f(x)=alg2x+1>2，
∴lg2x>1a，
∴lg2x>lg221a．
∵y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，
∴x>21a，
∴关于x的不等式f(x)>2的解集为(21a,+∞)．
【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的图象过点(2,3)，得alg22+1=a+1=3，由此能求出a=2；
(Ⅱ)推导出lg2x>lg221a.再由y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，能求出关于x的不等式f(x)>2的解集．
本题考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)已知θ∈[0,π2]，
又tanθ=512，
则sinθcsθ=512sin2θ+cs2θ=1sinθ≥0,csθ≥0，
则sinθ=513csθ=1213，
则 2cs2θ22sin(θ+π4)= 2×csθ+122× 22(sinθ+csθ)=2534；
(Ⅱ)已知α+β=π3，
则sinα+ 3csβ=sin(π3−β)+ 3csβ=3 32csβ−12sinβ= 7cs(β+φ)，其中tanφ= 39，
则sinα+ 3csβ∈[− 7, 7]，
即sinα+ 3csβ的最大值为 7．
【解析】(Ⅰ)由同角三角函数的关系，结合二倍角公式及两角和与差的三角函数求解；
(Ⅱ)由两角和与差的三角函数，结合三角函数最值的求法求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，m2+2m+2=1，
解得m=−1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f(x)=x−1=1x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
且f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，
当2a−7<13−3a<0时，无解，
当0<2a−7<13−3a，解得72当2a−7>0>13−3a，解得a>133，
综上所述，实数a的取值范围为(72,4)∪(133,+∞)．
【解析】(Ⅰ)由题意可知m2+2m+2=1，从而求出m的值；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=x−1=1x，再结合f(x)的定义域和单调性求解．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由f(x)=cs4x+2cs2x−sin4x=(cs2x+sin2x)(cs2x−sin2x)+2cs2x
=(cs2x−sin2x)+2cs2x
=cs2x+cs2x+1
=2cs2x+1，
则其最小正周期为T=2π2=π；
(2)由(1)得|f(x)|=|cs2x+1|=2cs2x+1,−π3+kπ≤x≤π3+kπ−2cs2x−1,π3+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
当f(x)=2cs2x+1时，由2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，
得kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z，结合定义域，故x∈[kπ,π3+kπ]，k∈Z，单调递减，
当f(x)=−2cs2x−1时，由π+2kπ≤2x≤2π+2kπ，k∈Z，
得π2+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z，结合定义域，故x∈[π2+kπ,2π3+kπ]，k∈Z，单调递减，
综上函数f(x)的单调递减区间[kπ,π3+kπ]，[π2+kπ,2π3+kπ],k∈Z．
【解析】(1)应用平方差公式及平方关系和余弦的二倍角公式即可化简函数，结合周期的公式即可求；
(2)去绝对值，讨论出单调性即可．
本题考查三角函数性质应用，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)设函数f(x)=|2x+1|的次不动点为m，则|2m+1|=−m，即m≤0，
将等式两边平方整理得m=−13或m=−1，均符合题意，
故函数f(x)=|2x+1|的次不动点为−13和−1．
(Ⅱ)设函数g(x)=lg3(9x−a⋅3x−1)在[0,1]上的不动点和次不动点分别为m和n，
由g(m)=m可得lg3(9m−a⋅3m−1)=m，即9m−a⋅3m−1=3m，化简得a=3m+1−3，m∈[0,1]，
因为y=3m+1−3在m∈[0,1]时为增函数，
故0≤3m+1−3≤6，即a∈[0,6]，
再由g(n)=−n可得lg3(9n−a⋅3n−1)=−n，
即9n−a⋅3n−1=3−n，化简得a=3n+1−3−2n+1，n∈[0,1]，
因为y=3n+1−3−2n+1在n∈[0,1]时为增函数，
故0≤3n+1−3−2n+1≤263，即a∈[0,263]，
综上所述，实数a的取值范围为[0,6]．
【解析】(I)由题意得，|2m+1|=−m，即m≤0，解方程即可求解；
(Ⅱ)设函数g(x)=lg3(9x−a⋅3x−1)在[0,1]上的不动点和次不动点分别为m和n，由g(m)=m可得lg3(9m−a⋅3m−1)=m，即9m−a⋅3m−1=3m，化简得a=3m+1−3，m∈[0,1]，然后结合函数单调性即可求解，再由g(n)=−n同理可求a的范围，即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．