2023-2024学年甘肃省陇南州高一（上）期末数学试卷-（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省陇南州高一（上）期末数学试卷-（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|(x+1)(x−12)≤0}，B={x|x>6}，则A∩B=( )
A. (6,12)B. [12,+∞)C. (6,12]D. [−1,+∞)
2.命题“∀x≥1,2x> 2x”的否定是( )
A. ∃x<1,2x≤ 2xB. ∃x≥1,2x≤ 2x
C. ∃x≥1,2x> 2xD. ∀x≥1,2x≤ 2x
3.白银市是甘肃省辖地级市，地处甘肃省中部.根据所给信息可得“游客甲在甘肃省”是“游客甲在白银市”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.若角α的终边经过点(− 3, 3)，则α的值可以为( )
A. 3π4B. 2π3C. 7π4D. 5π6
5.已知a=lg0.3，b=0.31.1，c=0.31.2，则( )
A. c>b>aB. b>a>cC. b>c>aD. a>b>c
6.已知sinα=−17，且3π2<α<2π，则tan(π−α)=( )
A. 312B. − 312C. −4 3D. − 427
7.已知函数f(x)=2x+1+a⋅2−x(a>0)的最小值大于4，则a的取值范围是( )
A. (2,+∞)B. (2 2,+∞)C. ( 2,+∞)D. (4,+∞)
8.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记p为实际声压，通常我们用声压级L(p)(单位：分贝)来定义声音的强弱，声压级L(p)与声压p存在近似函数关系：L(p)=algpp0，其中a为常数，且常数p0(p0>0)为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压p1为穿软底鞋走路的声压p2的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为L(p1)=60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级L(p2)的3倍.若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p′，则( )
A. a=20，p′≤10 10p2B. a=20，p′≤110p1
C. a=10，p′≤10 10p2D. a=10，p′≤110p1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的周期为3π的是( )
A. y=sin2x3B. y=cs(π4−2x3)C. y=sin(x3+π6)D. y=tanx3
10.下列等式成立的是( )
A. lg4+2lg5=1B. cs5π3=12
C. tan(−5π4)=−1D. −3lg0.22
11.将函数y=sin2x的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，得到y=f(x)的图象，则( )
A. f(x)的图象关于直线x=π6对称B. f(x)的图象关于点(π18,0)对称
C. f(x)的图象关于直线x=−π36对称D. f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
12.已知函数f(x)=(2x−4)(2x−2−1)−2x−2−1只有两个零点x1，x2(x1A. 04C. 3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，f(−1)=7，则f(1)= ______．
14.设a=100.2，则aa5的值为______．
15.如图，这是某公园的一条扇形闭合路OAB，其中弧AB所对的圆心角为2.4，OA=OB=80m，则这条扇形闭合路的总长度为______m.
16.若函数f(x)=5sin(ωx+π4)(ω>0)在[0,π3)上恰好存在2个不同的x0满足f(x0)=−5，则ω的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知幂函数f(x)满足f(5)=15．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)=|x+f(x)|的奇偶性，并说明理由．
18.(本小题12分)
已知f(θ)=cs(π2−θ)sin(θ+3π2)+sin(π−θ)cs(π2+θ)−csθsin(π2−θ)．
(1)化简f(θ)；
(2)若tanθ=2，求f(θ)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x+2)=3x−2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=2x+a，∀x1∈[0,2]，∃x2∈[14,2]，f(x1)=g(x2)，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．
(1)求A，ω，φ的值；
(2)求函数g(x)=cs(Aωx+φ)的单调递减区间．
21.(本小题12分)
2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产x(10000x∈N)万件产品，还需另外投入原料费及其他费用f(x)万元，且f(x)=12x2,0(1)写出利润W(x)(万元)关于产量x(万件)的函数解析式．
(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(ax2−4x+1)．
(1)若f(x)的值域为R，求a的取值范围；
(2)设f(x)<1+lg2x对x∈[14,1]恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|(x+1)(x−12)≤0}={x|−1≤x≤12}，
B={x|x>6}，
所以A∩B={x|6故选：C．
解不等式化简集合A，根据交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由全称命题的否定可知“∀x≥1,2x> 2x”的否定是“∃x≥1,2x≤ 2x”.
故选：B．
利用全称命题的否定判定选项即可．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，若甲在甘肃省，则甲可能在兰州市，不一定在白银市，充分性不成立；
若甲在白银市，则甲必在甘肃省，必要性成立．
因此，“游客甲在甘肃省”是“游客甲在白银市”的必要不充分条件．
故选：C．
根据题意利用充分必要条件的定义对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查充要条件的定义及其判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由点(− 3, 3)位于第二象限可得，角α为第二象限角．
又tanα= 3− 3=−1，
则当π2<α<π时，有α=3π4．
所以，与α终边相同的角的集合为{β|β=3π4+2kπ,k∈Z}．
因为3π4=α满足，2π3=3π4−π12不满足，7π4=3π4+π不满足，5π6=3π4+π12不满足．
故选：A．
根据已知得出α为第二象限角，求出满足条件的一个α的值，即可得出答案．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由对数函数的单调性可知，a=lg0.3函数y=0.3x在R上减函数，于是b=0.31.1>c=0.31.2>0，即b>c>0，
所以b>c>a．
故选：C．
根据中间值0与指数、对数函数的单调性判断大小即可．
本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由sinα=−17，3π2<α<2π，得csα= 1−sin2α=4 37，
则tanα=sinαcsα=−14 3=− 312，故tan(π−α)=−tanα= 312．
故选：A．
结合同角三角函数及诱导公式即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：f(x)=2x+1+a⋅2−x=2×2x+a2x≥2 2×2x×a2x=2 2a．
当且仅当2×2x=a2x，即x=lg2 a2时等号成立．
又函数f(x)=2x+1+a⋅2−x(a>0)的最小值大于4，
∴2 2a>4，解得a>2．
∴a的取值范围是(2,+∞)．
故选：A．
利用基本不等式求出原函数的最小值，再由题意列式求解a的范围．
本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意L(p1)−L(p2)=algp1p2=alg100=2a=60−20=40，
得a=20，
则L(p)=20lgpp0，
因此L(p′)=20lgp′p0≤50，
L(p′)−L(p2)=20lgp′p2≤50−20=30，
则p′≤10 10p2，
L(p1)−L(p′)=20lgp1p′≥60−50=10，
则p′≤ 1010p1．
故选：A．
由L(p1)−L(p2)=40结合对数运算可求得a的值，由于L(p1)=60，L(p2)=20可得出L(p′)−L(p2)≤30、L(p1)−L(p′)≥10，结合对数函数的单调性可出结论．
本题考查了对数的运算，重点考查了对数函数的单调性，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=sin2x3，T=2π23=3π，A正确；
对于B，y=cs(π4−2x3)，T=2π|−23|=3π，B正确；
对于C，y=sin(x3+π6)，T=2π13=6π，C错误；
对于D，y=tanx3，T=π13=3π，D正确．
故选：ABD．
根据题意，由三角函数周期的计算公式，求选项中各函数的周期，综合可得答案．
本题考查三角函数周期的计算，注意三角函数周期的计算公式，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对A：lg4+2lg5=lg4×25=lg100=2，
故A错误；
对B：cs5π3=cs(−π3)=csπ3=12，
故B正确；
对C：tan(−5π4)=−tan5π4=−tanπ4=−1，
故C正确；
对D：．53=3lg0.22−1=−3lg0.22，
故D正确．
故选：BCD．
由对数的运算，结合诱导公式，逐个计算即可得．
本题考查了对数的运算，重点考查了诱导公式，属基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：函数y=sin2x的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到函数y=sin6x的图象，再将所得图象向右平移π18个单位长度，得到y=f(x)=sin(6x−π3)的图象，
当x=π18时，f(π18)=0，故函数f(x)关于点(π18,0)对称，故B正确，A错误，
当x=−π36时，f(−π36)=−1，故C正确，D错误．
故选：BC．
首先利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心和对称轴．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：f(2)≠0，由f(x)=(2x−4)(2x−2−1)−2x−2−1=0，得2x−4=2x−2+12x−2−1，
设函数g(x)=2x−4，h(x)=2x−2+12x−2−1，f(x)的零点为这两个函数图象交点的横坐标，
显然g(x)=2x−4关于(2,0)对称，h(4−x)=22−x+122−x−1=2x−2+11−2x−2=−h(x)，所以h(x)的图象也关于点(2,0)对称，所以x1+x2=4，B错误，D正确；
因为x10，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，
所以0故选：ACD．
将f(x)=(2x−4)(2x−2−1)−2x−2−1=0转化为2x−4=2x−2+12x−2−1，构造函数g(x)=2x−4，h(x)=2x−2+12x−2−1，利用这两个函数都关于(2,0)对称以及零点存在性定理求解．
本题考查利用函数的零点、方程的根以及函数图象交点间的关系，判断函数的零点的存在性和范围的问题，属于中档题．
13.【答案】−7
【解析】解：因为−1∈(−4,4)，1∈(−4,4)，
则f(1)=−f(−1)=−7．
故答案为：−7．
根据奇函数性质即可求解．
本题主要考查了奇函数的定义，属于基础题．
14.【答案】100
【解析】解：因为a=100.2，所以a5=100.2×5=10，
所以aa5=a10=(100.2)10=100．
故答案为：100．
对于多层指数幂的计算题，一般考虑从内到外的顺序依次求幂的值即可．
本题考查指数幂的运算，考查学生的运算能力，属中档题．
15.【答案】352
【解析】解：因为弧AB的长为2.4×80=192m，
所以这条扇形闭合路的总长度为192+80+80=352m．
故答案为：352．
代入弧长公式即可得．
本题考查弧长公式，属于基础题．
16.【答案】(394,634]
【解析】解：∵当x∈[0,π3)时，ωx+π4∈[π4,π3ω+π4),
令f(x)=−5，得sin(ωx+π4)=−1，
∵函数f(x)=5sin(ωx+π4)(ω>0)在[0,π3)上恰好存在2个不同的x0满足f(x0)=−5，
∴3π2+2π<π3ω+π4≤3π2+4π，解得ω∈(394,634]．
故答案为：(394,634]．
求得ωx+π4的范围，结合方程有两个不等根，列出不等式即可求解．
本题考查正弦函数的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵f(x)是幂函数，
∴设f(x)=xα，
又 f(5)=15，得5α=15，
解得α=−1，故f(x)=1x；
(2)由(1)知g(x)=|x+1x|，g(x)为偶函数．
理由如下：
∵g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
且满足g(−x)=|−x+1−x|=|−(x+1x)|=|x+1x|=g(x)，
∴g(x)为偶函数．
【解析】(1)设f(x)=xα，结合已知可求得α，从而可得f(x)的解析式；
(2)g(x)=|x+1x|为偶函数，理由偶函数的定义证明即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(θ)=sinθ(−csθ)+sinθ(−sinθ)−csθcsθ=−sinθcsθ−(sin2θ+cs2θ)=−sinθcsθ−1；
(2)f(θ)=−sinθcsθ−1=−sinθcsθsin2θ+cs2θ−1=−tanθtan2θ+1−1=−222+1−1=−75．
【解析】(1)借助诱导公式与三角函数基本关系化简即可得；
(2)借助三角函数中商数关系将弦化切后计算即可得．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)令x+2=t，则x=t−2，
则f(t)=3(t−2)−2=3t−8，
所以f(x)的解析式为f(x)=3x−8；
(2)因为f(x)=3x−8在[0,2]上单调递增，
所以f(x)∈[−8,−2]，
因为g(x)=2x+a在[14,2]上单调递减，
所以g(x)∈[1+a,8+a]，
因为∀x1∈[0,2]，∃x2∈[14,2]，f(x1)=g(x2)，
所以[−8,−2]⊆[1+a,8+a]，
所以8+a≥−2,1+a≤−8,
解得−10≤a≤−9，则a的取值范围是[−10,−9]．
【解析】(1)利用换元法求函数解析式即可．
(2)分别求出两个函数值域，后转化为子集问题解决即可．
本题主要考查了换元法在函数解析式求解中的应用，还考查了函数值域的求解，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=34，
因为T4=2π4ω=5π24−π12=π8，所以ω=2πT=4；
且当x=5π24时，f(x)取得最大值，则4×5π24+φ=π2+2kπ(k∈Z)，
解得φ=−π3+2kπ(k∈Z)，
因为−π2<φ<π2，所以φ=−π3；
(2)由(1)知，g(x)=cs(3x−π3)，
由2kπ≤3x−π3≤2kπ+π(k∈Z)，
得π9+2kπ3≤x≤4π9+2kπ3(k∈Z)，
所以g(x)的单调递减区间为[π9+2kπ3,4π9+2kπ3](k∈Z)．
【解析】(1)由函数f(x)的部分图象得出A、T和ω、φ的值；
(2)写出g(x)的解析式，根据余弦函数的图象与性质求出单调递减区间．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
21.【答案】解：(1)当0当x≥100时，W(x)=20x−(21x+2lgx−380)−5=−x−2lgx+375，
所以W(x)=20x−12x2−5,0(2)当0则当x=20时，W(x)取得最大值，最大值为195，
当x≥100时，W(x)=−x−2lgx+375，且W(x)单调递减，
则当x=100时，W(x)取得最大值，最大值为271，
综上，当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元．
【解析】(1)由销售额与成本费用之差，计算利润；
(2)利用配方法和函数的单调性，求最大值．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)若f(x)的值域为R，则ax2−4x+1取遍所有正数，
当a=0时，ax2−4x+1=−4x+1可以取遍所有正数，满足题意；
当a≠0时，由二次函数的性质可得只需a>0，Δ≥0，即16−4a≥0，
解得0综上，a的取值范围是[0,4]．
(2)由f(x)<1+lg2x对x∈[14,1]恒成立，得lg2(ax2−4x+1)即0即4x−1x2即为(4x−1x2)max因为x∈[14,1]，所以1x∈[1,4]，
所以当1x=1时，6x−1x2=−(1x−3)2+9取得最小值5，
当1x=2时，4x−1x2=−(1x−2)2+4取得最大值4，
所以a的取值范围为(4,5)．
【解析】(1)由对数函数的值域可得ax2−4x+1取遍所有正数，讨论a=0和a>0，Δ≥0，解不等式可得所求取值范围；
(2)由对数的运算性质和参数分离、不等式恒成立思想，求得函数的最值，可得所求取值范围．
本题考查对数函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．