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广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
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这是一份广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共23页。试卷主要包含了 的值等于，25左右，， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（时间：90分钟满分：100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2. 的值等于（ ）
A. B.
C. D. 1您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数的特殊值，即可求解本题.
【详解】=.
故选A.
【点睛】主要考查特殊角的三角函数值的记忆则准确性,很基础.
3. 用配方法解一元二次方程x2－6x＋3＝0时，配方得( )
A. (x＋3)2＝6B. (x－3)2＝6
C. (x＋3)2＝3D. (x－3)2＝3
【答案】B
【解析】
【分析】先将常数项移到等号右边,再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可解题.
【详解】解：x2－6x＋3＝0
x2－6x＝－3
x2－6x＋9＝－3+9
(x－3)2＝6
故选B.
【点睛】本题考查了用配方法求解一元二次方程的解,属于简单题,熟悉配方的步骤是解题关键.
4. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（ ）
A 15个B. 20个C. 25个D. 30个
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率估计概率问题可直接进行求解．
【详解】∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，
∴摸到红色球的概率为0.25，
∵布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种，
∴摸到白色球的概率为，
∵有白色球60个，
∴球的总个数为：，
∴红球个数约为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．
5. 如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
【答案】C
【解析】
【分析】由BD是圆O的直径，可求得∠BCD = 90°又由圆周角定理可得∠D=∠A= 50°，继而求得答案．
【详解】解：∵BD是的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A= 50°，
∴∠DBC= 90°-∠D = 40°，
故选： C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
6. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（ ）
A 8mB. 9mC. 16mD. 18m
【答案】A
【解析】
【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．
【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形在测高中实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线垂直的四边形是菱形B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角，特殊平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角和对应的弧的关系，分别分析得出答案，熟练掌握圆周角定理，矩形、菱形、正方形的判定进行求解是解决本题的关键．
【详解】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A说法错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B说法错误；
对角线相等的四边形不一定是矩形，故C说法错误；
对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D说法正确，
故选：D．
8. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函数的对称性，可以得出点A的横坐标，再根据图象就可以写出y1＜y2时，x的取值范围．
【详解】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，
由图象可得，
当y1＜y2时，x＜-2或0＜x＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解当一次函数的值小于反比例函数的值时，相应的自变量的取值范围，从图象上可以直观得到．
9. 二次函数 图象如图所示，其与 轴交于点 、点 ，下列4个结论：①；②； ③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是 （ ）
A ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．根据对称轴的位置，判断①，对称性判断②，图象法确定方程的根的个数判断③，特殊点和对称轴判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，
∴；故①正确；
由图象可知，函数图象与轴的一个交点的横坐标的范围，且图象与 轴交于点 ，
由对称性可知：；故②错误；
由图象可知：抛物线与直线有两个交点，
∴方程：有2个不相等的实数根；故③正确；
∵，
∴，
由图象可知，当，，即：，
∴；故④正确；
故选C．
10. 如图，正方形 中，是 中点，连接 ，作 交 于 ，交 于 ，交 于 ，延长 交 延长线于 ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用正方形的性质证明和，得到，再证明和，利用相似三角形的性质，进行线段转换，即可解答，弄清线段之间的比例关系是解题的关键．
【详解】解：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 已知关于的－元二次方程的一个根为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
将代入方程得，解之即可．
【详解】解：将代入方程，
得：，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，是的弦， 于点D，交于点C，若，，那么的半径为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，先根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵于点D，，
∴，
在中，
∵
，
∴，
故答案为：5．
14. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案．
【详解】解：如图，过点C作轴于D，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
15. 如图，在 中，是 上一点，连接 ，点 在上，且 ，为中点，且，若，，则_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证明和，再利用相似的性质进行线段的转换，即可解答，作出正确的辅助线，逐步推理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共55分）
16. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值四类运算．熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算化简，再代入计算即可作答．
【详解】
，
当时，原式．
18. 为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛．赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
（1）参加比赛的学生共有______名，并补全图1的条形统计图；
（2）在图2扇形统计图中，m的值为______，表示D等级的扇形的圆心角为______；
（3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；形统计图见解析
（2）40，72° （3）
【解析】
【分析】（1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图；
（2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解；
（3）采用列表法列举即可求解．
【小问1详解】
根据题意得：3÷15%＝20（人），
即参赛学生共20人，
则B等级人数（人）．
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
C等级的百分比为，即m＝40，
表示D等级的扇形的圆心角为，
故答案为：40，72°．
【小问3详解】
列表如下：
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
则P（恰好是一名男生和一名女生）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键．
19. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长度.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴ ，
∴ 四边形是矩形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．
20. 某电商在抖音平台上对红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
【答案】（1）11元 （2）售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元
【解析】
【分析】（1）设每千克售价应为x元，根据“如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克”列出方程，即可求解；
（2）设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意，列出函数的关系式，结合二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每千克售价应为x元，根据题意得：
，
解得：，
∵商家想尽快销售完库存，
∴，
答：每千克售价应为11元；
【小问2详解】
解：设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，W的值最大，最大值为720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数的解析式，利用二次函数的性质求最值．
21. 【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
（1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．一场大雨，让水面上升了 ，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为 、高度为 的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）；
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条 的直线 ，交抛物线于点 ，交抛物线对称轴于点 ，提出了以下问题，
如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过 B作 垂直于 轴，交 轴于 A，交直线 于 C,过点 B作 垂直于直线 ，交直线 于 D，则 的最大值为 ．
【答案】（1）
（2）不能通过 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，
（1）设抛物线的顶点式为，将代入即可解答；
（2）设原水面为轴，根据题意求得当时，桥的高度，再根据题中条件得到船通过需要的高度，比较即可解答；
（3）证明，再得到与的关系，再利用二次函数的性质，求出的最大值，即可解答，
熟练掌握二次函数的图象和性质，耐心计算是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将代入抛物线可得，
解得，
抛物线的解析式为，即；
【小问2详解】
解：设原水面为轴，则可将水面上升视为水位上涨之前需要多预留保证船体通过，
当水位没有上涨时，
船的宽度为，
船体离桥的边缘为，
当时，，
则水位上涨时需要空间为，
不能通过；
【小问3详解】
解：当时，，
，
，
轴，，
，
，
设点，
，
，
，
当时，取最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
22. 【问题情境】
（1）如图1，正方形 中，分别是边 和对角线 上的点，． 易证（不需写出证明过程），此时 的值是 ；
【问题解决】
（2）如图2，矩形 中，别是边 和对角线 上的点，，则 的长为 ；
【变式探究】
（3）如图3，菱形 中，，对角线交的延长线于点分别是线段 和 上的点，，求 的长．
【答案】（1）；（2）3；（3）2
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质，证明，再利用角度的转换可得，即可证明，利用相似三角形的性质即可解答；
（2）连接，交于点，利用勾股定理求得，再利用矩形的性质得到，计算，证明，同（1）中原理证明，即可解答；
（3）连接，交于点，根据菱形的性质得到，同（1）中原理证明，在证明求得的长，即可解答．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，交于点，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
同（1）中原理可得，
，
，
，
故答案为：3；
（3）解：如图，连接，交于点，
四边形为菱形，
，
,
,
,
同（1）中原理，可得，
，
，
，，
，
，
，
，
，
,
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，证明是解题的关键，注意解题方法的延续性．男
女
女
男
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，女）
（时间：90分钟满分：100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2. 的值等于（ ）
A. B.
C. D. 1您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数的特殊值，即可求解本题.
【详解】=.
故选A.
【点睛】主要考查特殊角的三角函数值的记忆则准确性,很基础.
3. 用配方法解一元二次方程x2－6x＋3＝0时，配方得( )
A. (x＋3)2＝6B. (x－3)2＝6
C. (x＋3)2＝3D. (x－3)2＝3
【答案】B
【解析】
【分析】先将常数项移到等号右边,再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可解题.
【详解】解：x2－6x＋3＝0
x2－6x＝－3
x2－6x＋9＝－3+9
(x－3)2＝6
故选B.
【点睛】本题考查了用配方法求解一元二次方程的解,属于简单题,熟悉配方的步骤是解题关键.
4. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（ ）
A 15个B. 20个C. 25个D. 30个
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率估计概率问题可直接进行求解．
【详解】∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，
∴摸到红色球的概率为0.25，
∵布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种，
∴摸到白色球的概率为，
∵有白色球60个，
∴球的总个数为：，
∴红球个数约为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．
5. 如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
【答案】C
【解析】
【分析】由BD是圆O的直径，可求得∠BCD = 90°又由圆周角定理可得∠D=∠A= 50°，继而求得答案．
【详解】解：∵BD是的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A= 50°，
∴∠DBC= 90°-∠D = 40°，
故选： C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
6. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（ ）
A 8mB. 9mC. 16mD. 18m
【答案】A
【解析】
【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．
【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形在测高中实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线垂直的四边形是菱形B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角，特殊平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角和对应的弧的关系，分别分析得出答案，熟练掌握圆周角定理，矩形、菱形、正方形的判定进行求解是解决本题的关键．
【详解】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A说法错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B说法错误；
对角线相等的四边形不一定是矩形，故C说法错误；
对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D说法正确，
故选：D．
8. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函数的对称性，可以得出点A的横坐标，再根据图象就可以写出y1＜y2时，x的取值范围．
【详解】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，
由图象可得，
当y1＜y2时，x＜-2或0＜x＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解当一次函数的值小于反比例函数的值时，相应的自变量的取值范围，从图象上可以直观得到．
9. 二次函数 图象如图所示，其与 轴交于点 、点 ，下列4个结论：①；②； ③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是 （ ）
A ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．根据对称轴的位置，判断①，对称性判断②，图象法确定方程的根的个数判断③，特殊点和对称轴判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，
∴；故①正确；
由图象可知，函数图象与轴的一个交点的横坐标的范围，且图象与 轴交于点 ，
由对称性可知：；故②错误；
由图象可知：抛物线与直线有两个交点，
∴方程：有2个不相等的实数根；故③正确；
∵，
∴，
由图象可知，当，，即：，
∴；故④正确；
故选C．
10. 如图，正方形 中，是 中点，连接 ，作 交 于 ，交 于 ，交 于 ，延长 交 延长线于 ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用正方形的性质证明和，得到，再证明和，利用相似三角形的性质，进行线段转换，即可解答，弄清线段之间的比例关系是解题的关键．
【详解】解：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 已知关于的－元二次方程的一个根为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
将代入方程得，解之即可．
【详解】解：将代入方程，
得：，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，是的弦， 于点D，交于点C，若，，那么的半径为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，先根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵于点D，，
∴，
在中，
∵
，
∴，
故答案为：5．
14. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案．
【详解】解：如图，过点C作轴于D，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
15. 如图，在 中，是 上一点，连接 ，点 在上，且 ，为中点，且，若，，则_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证明和，再利用相似的性质进行线段的转换，即可解答，作出正确的辅助线，逐步推理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共55分）
16. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值四类运算．熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算化简，再代入计算即可作答．
【详解】
，
当时，原式．
18. 为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛．赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
（1）参加比赛的学生共有______名，并补全图1的条形统计图；
（2）在图2扇形统计图中，m的值为______，表示D等级的扇形的圆心角为______；
（3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；形统计图见解析
（2）40，72° （3）
【解析】
【分析】（1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图；
（2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解；
（3）采用列表法列举即可求解．
【小问1详解】
根据题意得：3÷15%＝20（人），
即参赛学生共20人，
则B等级人数（人）．
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
C等级的百分比为，即m＝40，
表示D等级的扇形的圆心角为，
故答案为：40，72°．
【小问3详解】
列表如下：
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
则P（恰好是一名男生和一名女生）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键．
19. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长度.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴ ，
∴ 四边形是矩形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．
20. 某电商在抖音平台上对红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
【答案】（1）11元 （2）售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元
【解析】
【分析】（1）设每千克售价应为x元，根据“如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克”列出方程，即可求解；
（2）设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意，列出函数的关系式，结合二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每千克售价应为x元，根据题意得：
，
解得：，
∵商家想尽快销售完库存，
∴，
答：每千克售价应为11元；
【小问2详解】
解：设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，W的值最大，最大值为720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数的解析式，利用二次函数的性质求最值．
21. 【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
（1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．一场大雨，让水面上升了 ，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为 、高度为 的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）；
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条 的直线 ，交抛物线于点 ，交抛物线对称轴于点 ，提出了以下问题，
如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过 B作 垂直于 轴，交 轴于 A，交直线 于 C,过点 B作 垂直于直线 ，交直线 于 D，则 的最大值为 ．
【答案】（1）
（2）不能通过 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，
（1）设抛物线的顶点式为，将代入即可解答；
（2）设原水面为轴，根据题意求得当时，桥的高度，再根据题中条件得到船通过需要的高度，比较即可解答；
（3）证明，再得到与的关系，再利用二次函数的性质，求出的最大值，即可解答，
熟练掌握二次函数的图象和性质，耐心计算是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将代入抛物线可得，
解得，
抛物线的解析式为，即；
【小问2详解】
解：设原水面为轴，则可将水面上升视为水位上涨之前需要多预留保证船体通过，
当水位没有上涨时，
船的宽度为，
船体离桥的边缘为，
当时，，
则水位上涨时需要空间为，
不能通过；
【小问3详解】
解：当时，，
，
，
轴，，
，
，
设点，
，
，
，
当时，取最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
22. 【问题情境】
（1）如图1，正方形 中，分别是边 和对角线 上的点，． 易证（不需写出证明过程），此时 的值是 ；
【问题解决】
（2）如图2，矩形 中，别是边 和对角线 上的点，，则 的长为 ；
【变式探究】
（3）如图3，菱形 中，，对角线交的延长线于点分别是线段 和 上的点，，求 的长．
【答案】（1）；（2）3；（3）2
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质，证明，再利用角度的转换可得，即可证明，利用相似三角形的性质即可解答；
（2）连接，交于点，利用勾股定理求得，再利用矩形的性质得到，计算，证明，同（1）中原理证明，即可解答；
（3）连接，交于点，根据菱形的性质得到，同（1）中原理证明，在证明求得的长，即可解答．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，交于点，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
同（1）中原理可得，
，
，
，
故答案为：3；
（3）解：如图，连接，交于点，
四边形为菱形，
，
,
,
,
同（1）中原理，可得，
，
，
，，
，
，
，
，
，
,
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，证明是解题的关键，注意解题方法的延续性．男
女
女
男
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，女）
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