广东省深圳市龙岗区深圳亚迪学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省深圳市龙岗区深圳亚迪学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共29页。试卷主要包含了 用配方法解方程，变形正确的是，8B， “计里面方”等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从上面看，得到的图形是．
故选：B．
2. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
3. 如图，矩形的两条对角线、相交于点O，，，则矩形的对角线的长为（ ）
A B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质证明，进而证明是等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：四边形矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明是等边三角形．
4. 用配方法解方程，变形正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的配方法，本题属于基础题型．
根据配方法即可求出答案．
【详解】解：∵，
故选：C．
5. 在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（ ）
A. 0.8B. 0.9C. 0.95D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，∴估计种子发芽的概率为0.95．故选C．
点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6. “计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，结合已知逐一计算判断即可．
【详解】∵，，
∴，
∴,，
∴，
无法证明，
故A正确，不符合题意；
B正确，不符合题意；
D正确，不符合题意；
C错误，符合题意；
故选C．
7. 如图，在正方形中，点E在边上，以为边作矩形，使经过点C．若，则矩形的面积是（ ）

A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据正方形的性质求得，再根据矩形的性质得到即可求解．
【详解】解：连接，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质，得到与正方形和矩形面积的关系是解答的关键．
8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含x的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为列方程即可．
【详解】解：设停车场内车道的宽度为，
将两个停车位合在一起，则长为，宽为，
因此，
故选B．
9. 如图，在中，，是的角平分线，的角平分线交 于点，若，，则（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点分别作，垂足分别为，根据角平分线的性质定理可得，再利用勾股定理解得；结合，可解得；证明四边形为正方形，由正方形的性质可得，然后在中，利用勾股定理解得的值即可．
【详解】解：如下图，过点分别作，垂足分别为，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
即，解得，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴在中，．
故选：D．
10. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，由折叠的性质可得，，由菱形的性质可得，，，结合，易得，进而可得，利用勾股定理解得；再证明为等腰直角三角形，可得；然后利用三角形函数，，可得，，易得，求解即可获得答案．
【详解】解：过点作于点，如下图，
则，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．
二.填空题（共5小题，每小题3分）
11. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，由，得到，代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
12. 如图，刘强在巴中塔子山游乐园游玩时，为了测量彩虹桥高度，在地面 处放一面镜子，通过镜子恰好看到彩虹桥顶部，测得镜子与彩虹桥的距离 米，他与镜子的距离 米． 已知他的眼睛距离地面的高度米，则彩虹桥的高度 为_________________米．
【答案】13.6
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题关键．首先结合题意证明，再根据相似三角形的性质可得，代入数值并求解，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
根据题意，可得，，
∴，
∴，
又∵米，米，米，
∴
解得米．
故答案为：13.6．
13. 我市在某展览馆举办美丽乡村成果展，该展览馆出入口示意图如图所示，小颖从A入口进E出口出来的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及小颖从A入口进E出口出来的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小颖从A入口进E出口出来的结果有1种，
∴小颖从A入口进E出口出来的概率为，
故答案为：．
14. 如图，已知点点在反比例函数 的函数图像上，，则的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，首先证明，进而确定点的坐标；再证明，得；结合题意可得，，进而可得，，然后利用勾股定理建立关于的一元二次方程并求解，结合反比例函数图像确定的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，如下图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵已知点 点在反比例函数 的函数图像上，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
整理可得，
解得，，
由反比例函数的图像可知，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，难度较大，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
15. 如图，在菱形中，E、F分别是 ，边上的中点，为 上一点，若 ，，则的长为_____________________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会添加常用辅助线，构造直角三角形；
连接、、、、，作．先求出的面积，再求出高，利用勾股定理求出、、，利用线段和差求出即可．
【详解】解：连接、，
，
四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
连接，
点 E、F分别是、边上的中点，
，，
在中
,
同理在中
，
，
在中
点 E分别是 边上的中点，
，
为等边三角形，
，
连接，
，
，，，
，
，
过F作，
，
，
在中
，
在中，
，
，
，
，
故答案为：．
三.解答题（共7小题，16题5分，17题7分，18、19、20每小题8分，21题9分，22题10分，共55分）
16. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】方程利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程--因式分解因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
17. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课如期开课，神舟十六号三位航天员面向全国青少年进行太空科普授课，在轨演示了（球形火焰），（奇妙“乒乓球”），（动量守恒），（又见陀螺）4个实验，4个在轨实验视频可以在线随机点播回看．
（1）若小明从以上4个实验视频中随机选择一个回看，恰好选到实验（球形火焰）视频的概率为 ；
（2）若小明从以上4个实验视频中随机选择两个不同视频回看，求小明同时选到 （奇妙“乒乓球”）和 （动量守恒）视频的概率．（请用列表或画树状图的方法求概率）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了由概率公式求概率以及列举法求概率，熟练简单概率公式以及正确作出树状图是解题关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）结合题意作出树状图，结合树状图再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小明从以上4个实验视频中随机选择一个回看，
恰好选到实验（球形火焰）视频的概率为．
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明选择（奇妙“乒乓球”）和 （动量守恒）这2个实验的结果有2种，
∴小明选择选择和 这2个实验的概率为．
18. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行，亚运会期间，某专营店直接从工厂购进某种纪念品，进价为25元/件，售价为37元/件，亚运会结束后，该店计划降价销售，根据经验，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，每降价1元，平均每天可多售出2件．
（1）设每件降价x元，则每天可销售_______件；
（2）当售价为多少时，才能使平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）
（2）当售价为每件34元或30元时，才能使平均每天销售利润为90元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清等量关系是解题关键．
（1）根据每降价1元，平均每天可多售出2件，可得每天多销售的数量，然后加上原来平均每天售出的即可；
（2）设将该纪念品售价定为y元/件，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，即可获得答案．
【小问1详解】
每降价1元，平均每天可多售出2件，
设每件降价x元，则平均每天多售出件，
按照原价销售，平均每天可售出4件，
每天一共可销售件，
故答案为：．
【小问2详解】
设该纪念品售价定价为y元/件，根据题意得：
，
解得，，
答：当售价为每件34元或30元时，才能使平均每天销售利润为90元．
19. 如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
（1）【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
【答案】（1）
（2）①；②见解析
（3）上；1 （4）0或或
【解析】
【分析】（1）由题意中和代入求值即可．
（2）①观察图表，利用计算即可；②根据图表的数据，利用描点法画图即可．
（3）利用函数解析式的变化规律与函数图像的平移规律解答即可．
（4）利用函数与方程的关系，结合图像分析根的情况，最后利用一元二次方程根的判别式计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴
【小问2详解】
①解：当时，
∴，
∴
②先描出点，，，，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象
【小问3详解】
解：当，，
当时，，
当时，，
结合图像，所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位．
【小问4详解】
解：由函数与方程的关系可知，
当时，的函数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当时，函数图像在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当时，的图像恰好有两个交点．
∴或或．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，利用函数与方程的关系解方程，掌握描点法画图以及函数与方程的关系，根的判别式是解决本题的关键．
20. 如图，在与中，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）首先证明，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明即可；
（2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴．
21. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式：
（2）点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标；
（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长．
【答案】（1）一次函数和反比例函数的表达式分别为和
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）由，点满足在与直线距离为的直线上，设直线与轴交于点，作作与点，求出点坐标，，根据在直线上方和下方分情况求解，确定过原点且与平行，得到点在，再利用平移得到点在上，列方程组求出交点，即可求出点；
（3）由平移方式确定平移后的解析式，将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出长即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图像经过点，
把代入中，得，
，
一次函数的表达式为，
反比例函数的图像经过点，
把代入中，得，
，
把代入反比例函数中，得，
，
反比例函数的表达式为，
一次函数和反比例函数的表达式分别为和；
【小问2详解】
，，
，
，
，
点满足在与直线距离为的直线上，
如图，设直线与轴交于点，作作与点，

令，则，
，
①当该直线位于直线的下方时，即，过原点且与平行时，上任意一点到的距离都是，即：，
②当该直线位于直线的上方时即，与关于对称，则上任意一点到的距离都是，向下平移两个单位得到：，可知向上平移两个单位得到：，
点在或上，
由，解得：，，
是反比例函数图像在第一象限上的点，
点的坐标为，
由，解得：，，
是反比例函数图像在第一象限上的点，
点的坐标为，
点的坐标为或；
【小问3详解】
一次函数和反比例函数的交点为，，
由，解得：， ，
，，
在第一象限的双曲线向左平移个单位，向下平移了个单位，在第三象限的双曲线向右平移个单位，向上平移了个单位，
平移后的曲线为和，
由，解得：，，
点的坐标为，点的坐标为，
．
【点睛】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法，勾股定理，两点间距离，解答本题的关键是确定平移后的解析式．
22. 在矩形 中，，点 为 边上一动点，连接 ，在 右侧作 ，，．
（1）如图1，若点 恰好落在 边上，求 的长；
（2）如图2，延长 交 边于点 ，当 时，求 的值；
（3）连接 ，当 为等腰三角形时，请直接写出 的长．
【答案】（1）2.5 （2）2
（3）2或或
【解析】
【分析】（1）证明，由相似三角形的性质可得，结合易得，进而计算出，，即可获得答案；
（2）过点作于点，首先证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，；设，则，
∴，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值可得关于的一元二次方程，求解即可获得答案；
（3）分当点在上时、当点在矩形内部时和当点不在矩形内部时，分情况讨论并求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
如下图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
整理可得，解得（舍去），，
∴；
【小问3详解】
的长为2或或，理由如下：
当点在上时，，，显然不合题意；
当点不在上时，可分两种情况：
①当点在矩形内部时，若，
如下图，过点作于点，
由（2）可知，
∴；
若，如下图，
设，则，，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，（舍去），
∴；
②当点不在矩形内部时，此时，
如下图，过点作，交延长线于点，
同理可证得，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
在中，可得，
即，
解得（舍去），，
∴．
综上所述，的长为2或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、等腰三角形的性质等知识，综合性强，难度较大，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．试验种子数n（粒）
50
200
500
1000
3000
发芽频数m
45
188
476
951
2850
发芽频率
0.9
0.94
0.952
0.951
0.95
R
…
3
4
5
6
…

…
2
1.5
1.2
1
…

…
3
m
2.2
2
…