2024年高考数学小专题（8+4+4）特训：平面向量及其应用

这是一份2024年高考数学小专题（8+4+4）特训：平面向量及其应用，共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a⋅(a+b)=−1，则|a+2b|=（ ）
A．5B．25C．5D．20
2．已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60∘.若a=e1+2e2，b=λe1−e2，且|a|=|b|，则λ=（ ）
A．2B．-2C．2或-3D．3或-2
3．已知向量a=(2，−3，0)，b=(0，3，4)，则向量a在向量b方向上的投影向量的模为（ ）
A．139B．91313C．59D．95
4．如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=23°，∠CDB=30°，CD=11.2m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°，则甲秀楼的高度约为（ ）（参考数据：tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.8）
A．20mB．21mC．22mD．23m
5．已知空间向量OA=(2，0，2)，OB=(2，1，0)，OC=(0，2，0)，OD=(0，1，2)，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC是等腰直角三角形
B．OE=(1，1，1)，则A，B，C，E四点共面
C．四边形ABCD是矩形
D．若CD与OC分别是异面直线l1与l2的方向向量，则l1与l2所成角的余弦值为−55
6．已知圆O的半径为2，弦MN的长为23，若2MP=PN，则MO⋅OP=（ ）
A．-4B．-2C．2D．4
7．已知向量a=(1，λ)，b=(μ，−2)，且a与b共线，则（ ）
A．λμ=−2B．λμ=2C．λμ=−2D．λμ=2
8．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于2π3时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角2π3；当三角形有一内角大于或等于2π3时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在△ABC中，C=2π3，AC=1，BC=2，CM是△ABC的角平分线，交AB于M，满足若P为△AMC的费马点，则PA⋅PM+PM·PC+PA⋅PC=（ ）
A．−35B．−25C．−23D．−13
二、多项选择题
9．已知a=(3，−1)，b=(2，1)，则下列结论正确的是（ ）
A．(a−b)⊥b
B．|a+2b|=510
C．a与b的夹角为π4
D．a在b方向上的投影向量是5b
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为直角三角形
B．若a=23，b=4，A=θ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则θ∈(0，π3)
C．若△ABC平面内有一点O满足：OA+OB+OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|，则△ABC为等边三角形
D．若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC为钝角三角形
11．已知e1，e2是夹角为π3的单位向量，a=e1−2e2，b=e1+e2，下列结论正确的是（ ）
A．|a|=3B．a⋅b=−12
C．=2π3D．a在b上的投影向量为−12b
12．如图，边长为2的正六边形ABCDEF，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，AP=xAB+yAD，x，y∈R.（ ）
A．AD−BE+CF=0B．存在点P，使x=y
C．若y=34，则点P的轨迹长度为2D．AP⋅AB的最小值为−2
三、填空题
13．已知平面α的一个法向量为n=(1，−1，2)，若点A(−1，0，1)，B(2，3，c)均在α内，则|AB|= .
14．棱长为a的正四面体中，则AB⋅BC+AC⋅BD= ．
15．已知向量a=(2，−1)，b=(k，52)，若a∥b，则k= .
16．古希腊数学家阿波罗尼斯（ApllniusfPerga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足MAMB=λ(λ≠1)的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知A(4，0)，B(1，0)，C(1，−4)，动点M满足MAMB=2，则△MAC面积的最大值为 .
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,C
10．【答案】B,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】A,D
13．【答案】32
14．【答案】−12a2
15．【答案】-5
16．【答案】13