专题03 平面向量及其应用

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专题03平面向量及其应用一、单选题1．已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由投影的概念计算即可.在方向的投影为.故选：A.2．已知非零向量满足，，则向量的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，结合平面向量数量积的运算律可求得，由向量夹角公式计算可求得结果.由得：，又，，解得：，，又，.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量夹角的求解问题，解题关键是能够根据平面向量数量积的运算律，利用模长的平方运算求得两向量数量积与模长之间的关系.3．已知向量满足，且与的夹角是，则的值是（    ）A．7 B． C．19 D．【答案】B【解析】根据模长性质先求，转化为向量数量积运算，即可求解., .故选：B【点睛】思路点睛：本题考查向量的模长及向量的数量积运算，求解向量的模长常用，即，考查学生的计算能力，属于基础题.4．已知是的外心，，且，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】在两边同时乘以向量和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中计算可得出答案． 如图，过点O作,垂足分别为D,E.则,,，，又，同理可得：，代入上式，，又，解得，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构建关于的方程组，主要用到了数量积的计算.5．为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】在和中应用正弦定理求得与，然后在中应用余弦定理求得．在中，，即，，和中，，是等边三角形，，在中，，所以，．故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是根据条件确定正弦定理或者余弦定理计算，及计算的顺序．本题如果在中应用余弦定理求可能更方便一些．6．宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术､建筑､人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形中，，那么的值为（    ）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】由题求出，建立直角坐标系，求出各个点的坐标，利用数量积求得结果.由已知，，解得：如图所示，建立直角坐标系，则，，， 则，，故选：C 【点睛】方法点睛：本题考查向量的坐标运算，求解向量坐标运算问题的一般思路：向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，将数与形紧密的结合起来，建立直角坐标系，使几何问题转化为数数量运算，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于较难题.7．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．由及余弦定理，可得正弦定理边化角，得是锐角三角形，，即．，，那么：则，故选：【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.8．已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意可得，，令，则，通过换元可得，所以，当时，可得的 最小值.依题意可得，，则，，，则，所以，，令，则，令，由得，则，所以，故所以，当时，有最小值.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点是：令，通过换元得到.二、多选题9．在中，长为的是边的高，若，则（    ）A． B．C． D．是正三角形【答案】AC【解析】本题首先可结合题意绘出图像，然后根据化简整理得出，再然后根据单位向量的性质以及向量运算法则得出是顶角为的等腰三角形，最后根据即可得出结果.如图，结合题意绘出图像：因为是边的高，，所以，即，，，因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，所以易知是顶角为的等腰三角形，因为，所以，，，故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查单位向量的性质以及向量运算法则的应用，能否根据得出是解决本题的关键，考查推理能力，体现了转化与化归思想，是中档题.10．若向量，，下列结论正确的是（     ）A．若同向，则B．与垂直的单位向量一定是C．若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量），则D．若与所成角为锐角，则n的取值范围是【答案】AD【解析】A．先根据共线确定出的可取值，然后根据同向确定出的值；B．分析的相反向量与的位置关系并进行判断；C．根据求解出的值；D．根据且不同向即可求解出的取值范围.A．设，所以，所以，即，所以满足，故正确；B．因为，所以也是与垂直的单位向量，故错误；C．因为在上的投影向量为，所以，所以，所以，故正确；D．因为与所成角为锐角，所以且不同向，所以，所以，故错误；故选：AD.【点睛】思路点睛：已知向量的夹角为锐角或者钝角，求解参数范围的步骤：（1）根据两个向量的夹角为锐角或钝角，得到或，求解出的范围；（2）特殊分析：当两个向量共线时，计算出参数的取值；（3）排除两个向量共线时参数的取值，确定出参数的取值范围.11．在中，D是边中点，下列说法正确的是（    ）A．B．若，则是在上的投影向量C．若点P是的外心，，且，则D．若点Q是线段上的动点，且满足，则的最大值为【答案】ABC【解析】A：根据平面向量的加法的几何意义进行判断即可；B：根据平面向量的加法的几何意义，结合投影向量的定义进行判断即可；C：根据三角形外心的性质，结合平面向量的加法几何意义和数量积的运算性质进行判断即可；D：根据三点共线的平面向量的性质，结合基本不等式进行判断即可.A：因为D是边中点，所以，即，因此本选项说法正确；B：因为分别表示方向上的单位向量，由平面向量加法的几何意义可知：表示的平分线表示的向量，所以由可得：是的平分线，而D是边中点，所以有，在上的投影为：，所以是在上的投影向量，因此本选项说法正确；C：因为点P是的外心，D是边中点，所以，即，，，因为，所以，因此本选项的说法正确；D：因为D是边中点，所以由，可得：，因为点Q是线段上的动点，所以三点共线，因此可得：，要想有最大值，则一定有，，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项说法不正确，故选：ABC【点睛】关键点睛：运用平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质、三点共线的向量性质是解题的关键12．下列结论正确的是（    ）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．在中，若，则是直角三角形D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为【答案】ABC【解析】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A；利用余弦定理，即可判断B；首先利用正弦定理得到，即可求出判断C；对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D.对于A，在中，由，利用正弦定理得，故A正确.对于B，由锐角三角形知，则，，故B正确.对于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，则是直角三角形，故C正确.对于D，，解得，利用余弦定理知，所以，又因为，，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.三、填空题13．已知向量、、满足，且，则的最大值是______．【答案】【解析】设，，，计算得出的最大值，即可得出的最大值.设，，，则，，所以，，因此，，即的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的最值，解题的关键在于转化为三角函数的有界性来求解.14．已知为单位向量，平面向量满足则的最小值为_______．【答案】【解析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.，化简得：，同理可得：，显然在中，当其中二个向量与另一个向量反向时，有最小值，最小值为，故答案为：【点睛】关键点睛：运用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.15．在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为_________．【答案】【解析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值．因为，所以，又三点共线，所以，所以，当且仅当，妈时等号成立．所以的最小值为．故答案为：．【点睛】结论点睛：是平面上不共线三点，是平面上任一点，，则三点共线，若在线段内部（不含端点），则．16．在中，，，，分别为角，，的对边，且.若的内切圆面积为，则面积的最小值_______.【答案】【解析】根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，求得角A；再由已知得内切圆的半径为，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果.因为，以，即，所以，即，；由题意知内切圆的半径为，如图，内切圆的圆心为，为切点，则，从而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），从而，即面积的最小值为.故答案为：．【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于较难题.四、解答题17．已知向量，. （1）求；（2）若向量与互相垂直，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可求得；（2）求出两个向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得的值.（1）由已知可得；（2），，因为向量与互相垂直，则，解得.18．如图，在梯形中，，．
 （1）若，，，试用、表示；（2）若，是梯形所在平面内一点，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）计算出的长，利用平面向量的减法法则可得出结果；（2）取的中点，连接，以点为原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值.（1）如下图所示，过点作交于点，设，
 ，且，所以，四边形是边长为的菱形，所以，且，，即，整理可得，，解得，所以，，因此，；（2）取的中点，连接，，为的中点，则，所以，且，又因为，则四边形为菱形，则，所以，为等边三角形，取的中点，连接，以点为原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，，，，则，所以，，所以，当且时，最小值.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．19．已知向量.（1）若，求向量与的夹角；（2）在矩形中，设为的中点，F为的中点，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先求出向量的数量积，再由即可求解.（2）利用向量的加法、数乘运算以及向量的数量积即可求解.（1）由，则， ，则，所以，因为向量与的夹角在上，则，即向量与的夹角为.（2） .20．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若__________（填条件序号）（1）求角C的大小；（2）若边长，求的周长的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若选①：利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的结果；若选②：根据正弦定理进行边化角，然后根据三角恒等变换的公式求解出的结果；若选③：根据面积公式结合已知条件求解出的值，从而求解出的结果；（2）利用余弦定理和的值结合基本不等式，求解出的最大值，由此可求解出周长的最大值.（1）若选①：因为，所以，所以，所以，所以且，所以，所以；若选②：因为，所以且，所以，所以，所以，所以且，所以，所以；若选③：因为，，所以且，所以且，所以；（2）因为，所以，所以，所以，所以，所以，取等号时，所以的周长的最大值为：.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于余弦定理以及基本不等式的运用，通过余弦定理得到满足的等式，结合基本不等式得到的最大值；本例第二问还可以利用正弦定理去求解：将表示为对应角的正弦形式，利用结合三角恒等变换的公式求解出周长的最大值.21．如图，在中，，是角的平分线，且．（1）若，求实数的取值范围．（2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．【答案】（1）；（2）当时，的面积取最大值.【解析】（1）设，则，利用可得出，由此可求得的取值范围；（2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理化简可得，可得出，利用辅助角公式可得出，结合函数单调性可求得的最大值及其对应的，即可得出结论.（1）设，则，其中，由，可得，所以，，即，所以，；（2），可得，由余弦定理可得，所以，，所以，，可得，所以，，，则，由于函数在时单调递增，所以，随着的增大而减小，则当时，，此时，，由，可得，所以，，则.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.22．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①；②（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.选①：先由三角形的内角和可得∠BDC=，从而知为直角三角形，然后由勾股定理，得解;选②：在中，由余弦定理可得关于BE的方程，解之即可.(2)在中，结合余弦定理和基本不等式，即可得解.（1）在中，由正弦定理知，，解得，选①：，，，在中，；若选②，在中，由余弦定理知 ，，化简得，解得或（舍负），故服务通道BE的长度 ； （2）在中，由余弦定理知，，，，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为．【点睛】关键点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.23．六安一中新校区有一块形状为平面四边形的土地准备种一些花圃，其中A，B为定点，（百米），（百米）.（1）若，（百米），求平面四边形的面积；（2）若（百米）.（i）证明：；（ii）若，面积依次为，，求的最大值.【答案】（1）（平方百米）；（2）（i）证明见解析；（ii）最大值为（平方百米）.【解析】（1）在中，由余弦定理可求得的长，再分别计算，的面积，即可求解；（2）（i）在和中，分别利用余弦定理两式相减即可求证；（ii）用三角形的面积公式将表示，再将代入转化为关于的二次函数，利用三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可求最值.（1）令，在中，由余弦定理可得：即，解得：或（舍）在中，，，所以，在中，，，所以边上的高为，所以，所以（平方百米）.（2）在中，在中所以，所以.（ii）所以因为，所以，可得∴所以时，，即时取得最大值，且最大值为（平方百米）.【点睛】关键点点睛：求用三角形的面积公式表示出来，结合已经证明的即可将面积平方和转化为关于只含一个变量的函数，利用二次函数的性质可求最值.