冲刺2024年高考数学：平面向量小专题特训

这是一份冲刺2024年高考数学：平面向量小专题特训，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，则“//”是 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件
4．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若与共线，与共线，则与也共线；③若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；④与是非零向量，若与同向，则与反向；⑤已知为实数，若，则与共线.其中真命题的序号（ ）
A．③④B．②③
C．②④D．④⑤
5．已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．若单位向量，的夹角为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．－2B．－1C．D．
7．如图，半径为为圆上两点，若，则（ ）
A．4B．2C．D．
8．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9B．6C．4D．3
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列四个结论中正确的是（ ）
A．已知是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
B．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为
C．若A，B，C，D四点共面，则存在实数，，使
D．已知空间中的点，，，，则直线与直线的夹角的余弦值为
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
三、填空题
12．若向量，，且，则实数x的值为 ．
13．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的左顶点，，若是椭圆上一点，且，（是坐标原点），则椭圆的标准方程为 ．
14．已知非零且不垂直的平面向量，满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则，夹角的余弦值的最小值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据向量平行的坐标表示结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若//，等价于，等价于，
所以“//”是 ”的充要条件.
故选：C.
2．C
【分析】由投影向量的概念求解即可.
【详解】∵，
∴，，
∴在上的投影向量为，
故选：C.
3．A
【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】若，则，即，故，充分性成立，
不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
4．A
【分析】根据向量的概念，举例即可得出答案.
【详解】
对于①，如图，中，，但是它们的起点、终点均不相同.故①错误；
对于②，若，则与任意向量均满足条件，故②错误；
对于③，因为与共线，且有公共点A，所以，A，B，C三点在同一条直线上，故③正确；
对于④，由已知可得，使得，所以，，所以与反向，故④正确；
对于⑤，若，则不论与如何，均有，故不能说明与共线，故⑤错误.
综上所述，③④正确.
故选：A.
5．D
【分析】由求出x，得出，再由向量夹角的公式求出结果即可.
【详解】由题意知，解得，
所以，
所以
故选：D.
6．C
【分析】利用平面向量数量积的运算性质，将平方后即可求解.
【详解】由题意知，因为，所以当时，取得最小值．
故选：C．
7．C
【分析】首先由数量积运算结合圆的性质可得，进而可求弦心距，则三角形的面积可求.
【详解】，
，弦心距，
，
故选：C.
8．D
【分析】由三角形重心公式和抛物线的性质得出结果.
【详解】设，，，，，，抛物线焦点坐标，准线方程：，
，点是重心，
则，.
而，，
，
故选：D．
9．BD
【分析】利用坐标计算可判断A；利用坐标计算是否得0可判断B；由向量共线的坐标运算可判断C；利用向量夹角公式的坐标运算可判断D.
【详解】对于A，，所以，故A错误；
对于B，，所以
，所以，故B正确；
对于C，，可得，
故C错误；
对于D，，所以
，故D正确.
故选：BD.
10．AD
【分析】设，判断x，y是否有解即可判断A；根据投影向量公式计算即可判断B；根据平面向量基底的条件即可判断C；求出，利用向量夹角公式求解可判断D.
【详解】对于A选项，设，
因为是空间的一组基底，
所以，无实数解，故不共面，
所以也是空间的一组基底，A正确；
对于B选项，因为，，
所以在方向上的投影向量为．故B项错误；
对于C选项，若A、C、D共线，即共线，不能作为平面向量的基底，
故当B不在A、C、D所在直线上时，不存在实数，，使得，C错误；
对于D选项，由条件可知，，
则，故D项正确．
故选：AD．
11．BCD
【分析】求出轨迹的方程判断A；设，，结合两点间距离公式及轨迹C的方程计算判断B；结合三角形面积公式确定角平分线判断C；设，由建立方程组，求出点坐标判断D.
【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
整理得，而点的轨迹方程为，
于是，解得或（舍去），B正确；
对于C，如图所示，
当三点不共线时，，即，
于是，显然，因此，
射线是的角平分线，C正确；
对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，
则，整理得，又，
联立解得或，D正确.
故选：BCD
12．/
【分析】由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得：.
故答案为：.
13．
【分析】根据椭圆左顶点和左焦点的距离为得到，的一个关系，在利用的已知条件，探索，的另一个关系，然后用，求，得到所求椭圆的标准方程.
【详解】如图：
由椭圆的定义知，，，．
是线段的中点，，
，
即，
，
在中，
，，
又，，，，
椭圆的标准方程为．
故答案为：
14．
【分析】利用基本不等式求出，再根据向量投影求出，求出夹角的余弦值的最小值.
【详解】因为，
所以，当且仅当时取等号．
设，的夹角为，则由题意得，
易知，且，
则，
所以，
所以，夹角的余弦值的最小值为．
故答案为：