统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练26平面向量的数量积及其应用文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练26平面向量的数量积及其应用文，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．[2023·全国乙卷(文)]正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 eq \(EC,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＝( )
A. eq \r(5) B．3
C.2 eq \r(5) D．5
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，1)，且a⊥b，则实数x的值为( )
A. eq \f(3,2) B．－ eq \f(3,2)
C. eq \f(2,3) D．－ eq \f(2,3)
3．[2022·全国乙(文)，3] 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝( )
A.2 B．3
C.4 D．5
4．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A.a＋2b B．2a＋b
C.a－2b D．2a－b
5．[2023·江西省九江市模拟]已知单位向量a、b满足|a－2b|＝ eq \r(3)，则a·b＝( )
A.1 B．－1
C. eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2)
6．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs 〈m，n〉＝ eq \f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A.4 B．－4
C. eq \f(9,4) D．－ eq \f(9,4)
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,y)的最小值为( )
A.4 B．9
D.8 D．10
8．[2023·全国甲卷(文)]已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cs 〈a＋b，a－b〉＝( )
A. eq \f(1,17) B． eq \f(\r(17),17)
C. eq \f(\r(5),5) D． eq \f(2\r(5),5)
9．[2023·江西省南昌市月考]已知△OAB，OA＝1，OB＝2， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝－1，过点O作OD垂直AB于点D，点E满足 eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(ED,\s\up6(→))，则 eq \(EO,\s\up6(→))· eq \(EA,\s\up6(→))的值为( )
A.－ eq \f(3,28) B．－ eq \f(1,21)
C.－ eq \f(2,9) D．－ eq \f(2,21)
二、填空题
10．[2022·全国甲(文)，13] 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________．
11．[2023·安徽省江南十校一模]已知向量a＝(t，2)，b＝(－t，1)，满足|a－b|＝|a＋b|，则t＝________．
12．已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cs 〈a，b〉＝________．
[能力提升]
13．[2022·北京卷，10] 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.[－5，3] B．[－3，5]
C.[－6，4] D．[－4，6]
14．[2023·陕西省西安中学模拟]在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2 eq \r(3)，点M、N是线段AC上的动点，且|MN|＝2，则 eq \(BM,\s\up6(→))· eq \(BN,\s\up6(→))的最小值为( )
A.12 B．8
C.6 eq \r(3) D．6
15．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若 eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(AE,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，且 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AE,\s\up6(→))＝－4，则λ的值为________．
16．[2023·江西省景德镇市质检]已知e1，e2是两个单位向量，设a＝λe1＋μe2，且满足λ＋μ＝4，若|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，则|a|＝________．
专练26 平面向量的数量积及其应用
1．B 方法一 由题意知， eq \(EC,\s\up6(→))＝ eq \(EB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(ED,\s\up6(→))＝ eq \(EA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，所以 eq \(EC,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))＝| eq \(AD,\s\up6(→))|2－ eq \f(1,4)| eq \(AB,\s\up6(→))|2，由题意知| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，所以 eq \(EC,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＝4－1＝3，故选B.
方法二 以点A为坐标原点， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则 eq \(EC,\s\up6(→))＝(1，2)， eq \(ED,\s\up6(→))＝(－1，2)， eq \(EC,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＝－1＋4＝3，故选B.
2．B ∵a⊥b，∴2x＋3＝0，∴x＝－ eq \f(3,2).
3．D 由题意可得a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－3))，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝ eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))2)＝5.故选D.
4．D 要判断A、B、C、D四个选项中的向量哪个与b垂直，只需判断这四个向量哪个与b的数量积为零即可．
A．(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝|a||b|cs 60°＋2|b|2＝1×1×cs 60°＋2×12＝ eq \f(5,2)≠0.
B．(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cs 60°＋|b|2＝2×1×1×cs 60°＋12＝2≠0.
C．(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cs 60°－2|b|2＝1×1×cs 60°－2×12＝－ eq \f(3,2)≠0.
D．(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cs 60°－|b|2＝2×1×1×cs 60°－12＝0.
5．C 由已知可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝3，解得a·b＝ eq \f(1,2).
6．B ∵n⊥(tm＋n)，∴tm·n＋n2＝0，
∴t|m||n|cs 〈m·n〉＋n2＝0，
∴ eq \f(3,4)× eq \f(1,3)t＋1＝0，得t＝－4.
7．B 依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1. eq \f(1,x)＋ eq \f(4,y)＝ eq \f(x＋y,x)＋ eq \f(4（x＋y）,y)＝5＋ eq \f(y,x)＋ eq \f(4x,y)≥9，当且仅当x＝ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(2,3)时取等号．
8．B 由题意知，a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，所以cs 〈a＋b，a－b〉＝ eq \f(（a＋b）·（a－b）,|a＋b||a－b|)＝ eq \f(5×1＋3×（－1）,\r(34)×\r(2))＝ eq \f(2,2\r(17))＝ eq \f(\r(17),17)，故选B.
9．D 由题意，作出图形，如图，
∵OA＝1，OB＝2， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝－1，
∴ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝1×2cs ∠AOB＝2cs ∠AOB＝－1，
∴cs ∠AOB＝－ eq \f(1,2)，
由∠AOB∈(0，π)可得∠AOB＝ eq \f(2π,3)，
∴AB＝ eq \r(OA2＋OB2－2·OA·OB·cs ∠AOB)＝ eq \r(7)，
又S△AOB＝ eq \f(1,2)·OA·OB·sin ∠AOB＝ eq \f(1,2)·OD·AB＝ eq \f(\r(3),2)，则OD＝ eq \f(\r(3),\r(7))，
∴ eq \(EO,\s\up6(→))· eq \(EA,\s\up6(→))＝－ eq \(OE,\s\up6(→))·( eq \(ED,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→)))＝－2 eq \(OE,\s\up6(→))2＝－ eq \f(2,9)· eq \(OD,\s\up6(→))2＝－ eq \f(2,9)× eq \f(3,7)＝－ eq \f(2,21).
10．答案：－ eq \f(3,4)
解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－ eq \f(3,4).
11．答案：± eq \r(2)
解析：因为|a－b|＝|a＋b|，
所以(a－b)2＝(a＋b)2⇒a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b⇒a·b＝0，
a·b＝t×(－t)＋2×1＝－t2＋2＝0，
得t＝± eq \r(2).
12．答案：－ eq \f(\r(2),10)
解析：由题意知cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|·|b|)
＝ eq \f(2×（－8）＋2×6,\r(22＋22)×\r(（－8）2＋62))＝－ eq \f(\r(2),10).
13．D
以点C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示．由题意可得A(3，0)，B(0，4)，C(0，0).∵PC＝1，∴设P(cs θ，sin θ)，∴ eq \(PA,\s\up6(→))＝(3－cs θ，－sin θ)， eq \(PB,\s\up6(→))＝(－cs θ，4－sin θ)，∴ eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－cs θ)·(－cs θ)＋(－sin θ)·(4－sin θ)＝cs2θ－3csθ＋sin2θ－4sinθ＝1－3cs θ－4sin θ＝1－5sin (θ＋φ)，其中sin φ＝ eq \f(3,5)，cs φ＝ eq \f(4,5).当sin (θ＋φ)＝1时， eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))取得最小值－4；当sin (θ＋φ)＝－1时， eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))取得最大值6.故 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是[－4，6].故选D.
14．B 直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2 eq \r(3)，
所以AC＝4 eq \r(3)＝2BC，所以∠BAC＝30°，
作AC⊥OB于点O，
则OB＝3，OC＝ eq \r(3)，OA＝3 eq \r(3)，
如图，以O为原点建立平面直角坐标系，
不妨设点N在点M的左侧，
设N(x，0)，则M(x＋2，0)，x∈[－ eq \r(3)，3 eq \r(3)－2]，
B(0，3)，
则 eq \(BM,\s\up6(→))＝(x＋2，－3)， eq \(BN,\s\up6(→))＝(x，－3)，
所以 eq \(BM,\s\up6(→))· eq \(BN,\s\up6(→))＝x(x＋2)＋9＝(x＋1)2＋8≥8，
当且仅当x＝－1时， eq \(BM,\s\up6(→))· eq \(BN,\s\up6(→))的最小值为8.
15．答案： eq \f(3,11)
解析：∵ eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(DC,\s\up6(→))，∴ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝2( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))，
∴ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))，
∴ eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AE,\s\up6(→))＝( eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)))·(λ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))
＝( eq \f(λ,3)－ eq \f(2,3)) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \f(2,3)λ eq \(AC,\s\up6(→))2
＝ eq \f(λ－2,3)×3×2× eq \f(1,2)－ eq \f(1,3)×9＋ eq \f(2,3)λ×4＝ eq \f(11,3)λ－5＝－4，
∴λ＝ eq \f(3,11).
16．答案：2
解析：根据题意，作出如下草图，
令 eq \(AF,\s\up6(→))＝e1， eq \(AE,\s\up6(→))＝e2， eq \(AB,\s\up6(→))＝λe1， eq \(AD,\s\up6(→))＝μe2，
因为a＝λe1＋μe2，由平行四边形法则，可得 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＝μe2，
所以AD∥BC，
因为|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，
所以| eq \(EF,\s\up6(→))|＝| eq \(CE,\s\up6(→))|＝| eq \(CF,\s\up6(→))|，
因为| eq \(AE,\s\up6(→))|＝| eq \(AF,\s\up6(→))|，
所以△AEC≌△AFC，所以∠DAC＝∠BAC.
因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB，
所以∠BAC＝∠ACB，所以| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，所以| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|，
即|λe1|＝|μe2|，所以λ＝±μ，
又λ＋μ＝4，所以λ＝μ＝2，即a＝2e1＋2e2，
所以平行四边形ABCD为菱形，
设∠BAD＝θ，即向量e1，e2的夹角为θ，
因为|e1－e2|＝|a－e1|，所以|e1－e2|＝|2e2＋e1|，即|e1－e2|2＝|2e2＋e1|2，
所以1＋1－2cs θ＝4＋1＋4cs θ，即6cs θ＝－3，
所以cs θ＝－ eq \f(1,2)，即θ＝ eq \f(2π,3)，
所以|a|＝2|e1＋e2|＝2 eq \r(1＋1＋2cs \f(2π,3))＝2.