2023届高考数学重难点专题14平面向量及其应用A卷

这是一份2023届高考数学重难点专题14平面向量及其应用A卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题14平面向量及其应用A卷一、单选题1.  在中，点在边上，记，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知单位向量，的夹角为，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，在矩形中，，，为上一点，若，则的值为(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾如图，是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D.  6.  窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，为单位向量，且，若，则，(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题9.  已知，，则(    )A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则10.  如图所示在中，点是线段的中点，且，和交于点，则(    )A.
B.
C.
D. 若，则．三、填空题11.  如图是第届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的．若大正方形的边长为，为线段的中点，则          ．12.  如图，，，是全等的等腰直角三角形处为直角顶点，且，，，四点共线若点，，分别是边，，上的动点包含端点，则          ，的取值范围为          ．13.  已知圆的半径为，为圆内一点，，，为圆上任意两点，则的取值范围是          ．14.  已知，为抛物线：上异于原点的两点，为抛物线的焦点，点为平面内一点，且，，则          ．15.  在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点若，则点的横坐标为          ．四、解答题16.  如图，已知正方形的边长为，过中心的直线与两边分别交于交于点．

求的值；
若是的中点，求的取值范围；
若是平面上一点，且满足，求的最小值．           17.  在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

求角
已知，，点为的中点，点在线段上且，点为与的交点，求的余弦值．       18.  在中，周长为，面积为，且．求边的长度；若动点是的内切圆上的一点，且．求的值；求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题．【解答】解：，．  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
根据题意，由数量积的性质可得，结合二次函数的性质可得的最小值．【解答】解：根据题意，单位向量，的夹角为，则，
则，
则，即的最小值为．
故选C．  3.【答案】 【解析】【分析】本题考查投影向量，向量的数量积，平面向量的坐标运算，属于基础题．
设向量，的夹角为，由利用向量数量积求出，再由投影向量公式可得．【解答】解：设向量，的夹角为，，，
所以，
从而在上的投影向量的坐标为．  4.【答案】 【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本定理及其应用、平面向量的坐标运算．
由题意建立直角坐标系，结合平面向量的坐标运算可得关于、的方程组，解之即可．【解答】解：由题意建立如图所示的直角坐标系， 因为，，则，，．设，则，，因为，所以，解得，由，得，所以 解得，所以．
故选C．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．
设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解．【解答】解：如图，
为圆心，连接，则．因为点在线段上且，则圆心到线段的距离为，所以，所以，则，即的取值范围是．故选B．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量的加法运算，向量数量积的概念及其运算，属于中档题．
取的中点，，当点与点或点重合时，取得最大值，再求解即可．【解答】解：取的中点，则
，
当点与点或点重合时，取得最大值，且最大值为，
故的最大值为．
故选D．  7.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了向量的坐标运算，两点间距离公式，属于中档题．
不妨设，，则，利用求模公式以及两点之间，线段最短求解出最小值．【解答】解：不妨设，
，则，
，

，，
故

当且仅当或时等号成立，
即的最小值为，
故选B．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量的夹角、向量的数量积、单位向量的定义，属于基础题．
本题借助，将代入化简即可．【解答】解：因为是单位向量，所以，
因为，，
所以
，
所以
．
故选C．  9.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查向量的坐标运算，向量平行、垂直和向量的夹角，属于基础题．
直接利用向量的共线，向量的模，向量的数量积，向量的夹角的应用判断各选项的正误．【解答】解：由，得，不正确
由，，，B正确
，当时，取得最小值，C正确
当时，即，得，当与反向时，，
故若向量与向量的夹角为钝角，则或，不正确．  10.【答案】 【解析】【分析】本题考查了利用向量的数量积证明等式，属于中档题。【解答】解：选项， 
选项，，故C选项正确．
选项，，故D选项正确．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量数量积．
由已知求出，由向量数量积运算得即可．【解答】解：设，由题可得，所以，故．
即，
故，
故答案为．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标表示，以及直线方程的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
由  ，以所在直线为轴，建立直角坐标系，可得由直线方程可得，，，再由向量的数量积的坐标表示，可得所求大小关系．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，

可得
，，的方程设为，，，
则可设，，，，
，
．
故答案为：；．  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查了向量的数量积和二次函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
根据平面向量的数量积和二次函数的性质，即可求出结果．【解答】解：
，
易知，
，的取值范围是．  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量与抛物线的综合问题，向量的数量积运算以及同角三角函数的基本关系，属于中档题．
根据向量的数量积公式，分别作，垂直于抛物线的准线，设，然后结合同角三角函数的基本关系进行求解即可．【解答】解：因为，所以为的中点，

，所以．
如图，分别作，垂直于抛物线的准线，垂足分别为，，

则，，又，
所以设，则，
，则，即又，所以解得
，，所以．  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．
设，，求出的坐标，得到圆的方程，联立直线方程与圆的方程，求得的坐标，结合求得值得答案．【解答】解：设，，
，，
则圆的方程为．
联立，解得．
．
解得：或．
又，．
即的横坐标为．
故答案为：．  16.【答案】解：由正方形可得，所以；因为直线过中心且与两边分别交于交于点．
所以为中点，
所以．
因为是的中点，所以，
所以，即的取值范围为； 令，由知点在上，又因为为中点，
所以，从而，
 因为，
所以，即的最小值为  【解析】本题考查向量的数量积，向量的基本运算，向量的模，向量共线的判定与证明，向量的几何运用，属于中档题．
将向量分解为，利用垂直和数量积的运算即可求解；
由为中点可得，再由和的范围计算即可；
令，由向量共线的判断可得点在上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可．
 17.【答案】解：，
由正弦定理可得
即
化简得：，又，
即得，可得，
又为三角形内角，
即．
点为的中点
，




，，即的余弦值为． 【解析】本题考查了正弦定理、三角恒等变换、向量的运算、向量的夹角公式等知识，属中档题．
 18.【答案】解：在中，，可知，
因此根据题意，可知，
，即，
由余弦定理可得，
消去，，可得，即．

由，，可得，，或者，，
不妨设，，
由于为的内心，设，
即，
化简得，
不妨设，
即
化简得，
根据对应系数成比例，可知，解得：，
从而
由可知，
，

因此，
又因为，
即，
根据等积法，可知求得内切圆的半径，
设与的夹角为，
因此

，
从而的取值范围为 【解析】本题主要考查余弦定理，三角形面积公式，向量的线性运算及向量模的公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
由已知，可得，从而利用三角形面积公式及余弦定理求出即可；
通过内心，得到，，再通过向量相等，对应系数成比例，求得；
的范围转换为的范围，由此可得答案．