2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市平房区东安英才学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市平房区东安英才学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算中，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.下列式子中是分式的是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
7.若分式中的，都扩大倍，则该分式的值( )
A. 不变B. 扩大倍C. 扩大倍D. 缩小为原来的
8.如图，在中，，，，，求的长( )
A. B. C. D.
9.若计算的结果中不含关于字母的一次项，则的值为( )
A. B. C. D.
10.下列说法：
在三角形中，角所对的边等于最长边的一半；
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；
有一个内角是的等腰三角形是等边三角形；
三个外角都相等的三角形是等边三角形．
其中正确的有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.将数用科学记数法表示为______．
12.若分式有意义，则的取值范围是______．
13.把多项式分解因式的结果为______．
14.计算：______．
15.______．
16.分式方程的解为______．
17.已知，，则 ______．
18.已知点、点在线段的垂直平分线上，且，，则的度数为______．
19.已知，则代数式的值为______．
20.如图，在中，点在上，，于点，，，，则的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
计算：
；
；
；
．
22.本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，
画出关于轴对称的点与点对应，点与点对应，点与点对应；
连接，在的下方画出以为底的等腰直角，并且直接写出点的坐标．
24.本小题分
将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即．
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
若，，则 ______；
若，，求的值；
两个正方形、如图摆放，面积和为，，则图中阴影部分面积为______．
25.本小题分
某商店购进了一批甲、乙两种不同品牌的雪糕，其中甲种雪糕花费了元，乙种雪糕花费了元，已知甲种雪糕比乙种雪糕多了个，乙种雪糕的单价是甲种雪糕单价的倍．
求购进的甲、乙两种雪糕的单价；
若甲雪糕每个售价是元，该商店保证卖出这批雪糕的利润不低于元，那么乙种雪糕每个售价至少是多少元？
26.本小题分
在中，于点，平分，点在上，．
如图，求证：；
如图，若，求证：；
如图，在的条件下，作，交的延长线于点，连接，交的延长线于点，若，，求的长．
27.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，点，其中，满足；
求，的值；
点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正半轴运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围；
在的条件下，点在上，点在延长线上，，当时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
解：，，选项中的生肖汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的生肖汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式分别计算判断即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
3.【答案】
解：、，，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4.【答案】
解：，，不是分式，是分式，
故选：．
形如是整式，中含有字母，且的代数式即为分式，据此进行判断即可．
本题考查分式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
5.【答案】
解：、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质、合并同类二次根式的法则对各个选项进行计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的加减法及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6.【答案】
解：，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
C.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
7.【答案】
解：根据题意得：，
即若分式中的，都扩大倍，则该分式的值不变．
故选：．
根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
8.【答案】
解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
根据等腰三角形性质求出，求出，求出，求出，根据含度角的直角三角形性质求出，即可求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出和的长．
9.【答案】
解：原式，
由结果不含的一次项，得到，
解得：．
故选：．
原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含的一次项，确定出的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】
解：在直角三角形中，的角所对的边等于斜边最长边的一半，故说法不正确；
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，故说法正确；
等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高线三线合一，故说法不正确；
有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故说法正确；
三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，理由如下：
三角形的三个外角都相等，
该三角形的三个内角也相等，
该三角形是等边三角形．
故说法正确．
综上所述：正确的说法有，共个．
故选：．
根据直角三角形的性质可对说法进行判断；根据线段垂直平分线的性质可对说法进行判断；根据等腰三角形的性质可对说法进行判断；根据等边三角形的判定可对说法进行判断；由三角形三角形的三个外角都相等可得出三角形的三个内角也相等，进而根据等边三角形的判定可对说法进行判断
此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．
11.【答案】
解：，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
12.【答案】
解：分式的分母不等于时，分式有意义，
，
．
故答案为：．
利用分式的分母不等于，列出不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不等于时分式有意义列出不等式是解题的关键．
13.【答案】
解：原式
．
故答案为：．
先用提公因式法，再用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
14.【答案】
【解析】【分析】
直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．
15.【答案】
解：原式．
故答案为：．
根据幂的负整数指数运算法则计算．
本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
16.【答案】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17.【答案】
解：，，
，
，
，
．
故填．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，逆运用性质计算即可．
本题考查同底数幂的除法法则的逆运算，幂的乘方的性质的逆运算，熟练掌握性质是解题的关键．
18.【答案】或
解：当点、点在线段同侧时，
点、点在线段的垂直平分线上，
，，，
，，
，
当点、点在线段两侧时，，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
分点、点在线段同侧、点、点在线段两侧两种情况，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19.【答案】
解：，
，
，
．
故答案为：．
把去分母后求出，再代入，即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
20.【答案】
解：，
，
，，
，
，
，
，
如图，过点作于，
设，则，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据题意，证明，过点作于，设，则，，根据等腰三角形的性质得，证明≌，根据全等三角形的性质得，可求出的值，即可解答．
本题考查全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21.【答案】解：原式


；
原式

；
原式

；
原式


．
【解析】根据乘法分配律和完全平方公式去掉括号，再合并同类项即可；
先根据积的乘方和幂的乘方法则计算乘方，再按照单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算即可；
利用平方差公式进行计算即可；
先根据去括号法则去掉括号，再把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
本题主要考查了二次根式混合运算和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握乘法公式、积的乘方、幂的乘方法则、单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则等．
22.【答案】解：原式


，
当时，
原式

．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
23.【答案】解：如图，即为所求．
如图，等腰直角即为所求．
点的坐标为．
【解析】根据轴对称的性质作图即可．
根据等腰直角三角形的判定与性质画图，即可得出答案．
本题考查作图轴对称变换、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质是解答本题的关键．
24.【答案】
解：，
，
，
，
故答案为：；
，
，
，
；
设正方形、的边长分别为和，
根据题意，得，．
，，
．
，
，
，
，
．
故答案为：．
按照例题中给出的方法求解即可；
分别将正方形和的边长设为未知数，根据题意得到两者之和、两者平方之和．阴影部分的面积可表示为两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积，将其化简，再利用例题中提供的方法求出两未知数之积，代入阴影部分面积表达式求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
25.【答案】解：设甲的单价为元，乙的单价为元，
，
，
，
答：甲的单价为元，乙的单价为元．
设乙售价至少为元，
，
解得，
答：乙种雪糕至少是元．
【解析】若设甲种雪糕的单价为元，则乙种雪糕的单价为元，根据关键描述语“甲种雪糕比乙种雪糕多根”，得到等量关系：购买甲种雪糕的根数购买乙种雪糕的根数，据此列长方程，求解即可．
根据题意列出不等式，解答即可．
考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26.【答案】证：，
，
，
，
平分，
，
设，，
，
，得，
在中，是外角，
，
；
证：延长，交于点，

设，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，
≌，
；
解：作的中点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点，

，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
是中点，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，且，
，
，，
≌，
．
【解析】证明，设，，列关系式求得，再证明；
延长，交于点，设，列关系式求得，从而证明是等腰直角三角形，得，，再证明≌即可；
作的中点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点，证明，得，，再证明，通过点是中点，证明，得到≌，从而有，再证明≌，可得．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含的直角三角形的性质，结合整体思想求角度，难点在于构造全等三角形解题．
27.【答案】解：，
则且，
解得：，；
，
则；
当时，则，
则点，
如下图：

过点作轴且，连接、，
则，，

≌，
，，
，
，
则为等腰三角形，则，
设交于点，
则，
，
由题意得，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
，
则直线的表达式为：，
当时，，
即点．
【解析】由，则且，即可求解；
由，即可求解；
当时，得到点，证明≌，得到，即可求解．
本题考查的是三角形综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质，确定三角形全等是解题的关键．