2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市美佳外国语学校八年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市美佳外国语学校八年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. 3x−2y=4B. 6xy+9=0C. 1x+4y=8D. 5x+y=2z
2.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是( )
A. 3cm，4cm，7cmB. 2cm，2cm，2cm
C. 8cm，8cm，20cmD. 3cm，15cm，8cm
3.下列图形中具有稳定性的是( )
A. 长方形B. 五边形C. 三角形D. 平行四边形
4.已知m>n，则下列不等式中不正确的是( )
A. 5m>5nB. m+7>n+7C. −4m<−4nD. m−65.如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED的度数是( )
A. 70°B. 85°C. 65°D. 以上都不对
6.为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如表：
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法中错误的是( )
A. 调查了10户家庭的月用水量B. 平均数是4.6
C. 众数是4D. 中位数是4.5
7.已知关于x，y的二元一次方程组ax−by=12ax+by=3的解为x=1y=−1，那么代数式a−2b的值为( )
A. −2B. 2C. 3D. − 3
8.乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米.若用x(米)表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为( )
A. x<3500B. x≤3500C. x≥3500D. x>3500
9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于E，过E作EF//AC交BC于F，那么下列结论一定成立的是( )
A. ∠ABE=∠CB. AE=BEC. AB=BFD. BE=EF
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
10.由方程y−3x=4可得到用x表示y的式子是y= ______．
11.不等式2x−1<3的正整数解为______．
12.如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为______度．
13.已知一组数据：3，5，x，7，9的平均数为6，则x=______．
14.甲、乙两队进行篮球对抗赛，每场比赛都要分出胜负，比赛规定每队胜1场得3分，负1场扣1分，两队一共比赛了10场，若甲队得分不低于14分，则甲队至少要胜______场.
15.等腰三角形的两边长分别为4，6，则它的周长为______．
16.如图，点E在△ABC的边BC上，且∠AEB=∠ABC，若∠BAE的平分线AF交BE于点F，FD//BC交AC于点D，若AB=2，AC=3，则DC的长为______．
17.如图，△ABC的角平分线BD、CE交于点O.延长BC至F，CG与BD的延长线相交于点G，且∠A=2∠G，OD：DG=3：4，若△DOC的面积为6，CG=10，则线段CO的长度为______．
18.在△ABC中，∠A=55°，高BE、CF所在的直线相交于点O，则∠BOC度数为______°.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列二元一次方程组．
(1)2x+y=28x+3y=9；
(2)x2−y+13=13x+2y=40．
20.(本小题8分)
解下列不等式(组)．
(1)5(x+2)≥1−2(x−1)；
(2)x−3(x−2)≤41+2x3>x−1．
21.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上.分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．
(1)画线段AD(点D在BC上)，使△ABD的面积等于△ADC的面积；
(2)画△CAE，连接AE、CE，使△CAE≌△ACD(其中CE和AD，AE和CD是对应边)，并直接写出四边形ABCE的面积．
22.(本小题8分)
某调查小组采用随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如图不完整的统计图．
(1)填空：本次调查的中位数为______小时；
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间
23.(本小题8分)
某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程.已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天．
(1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？
(2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，甲工程队至多参加工作多少天？
24.(本小题8分)
阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a,b,c}表示这三个数的
平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数．例如：M{−1,2,3}=−1+2+33=43；min{−1,2,3}=−1；min{−1,2,a}=a(a≤−1)−1(a>−1)解决下列问题：
(1)min{12, 22, 32}=______；若min{2,2x+2,4−2x}=2，则x的范围为______；
(2)①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a,b,c}=min{a,b,c}，那么______(填a，b，c的大小关系)”，证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：
若M{2x+y+2,x+2y,2x−y}=min{2x+y+2,x+2y,2x−y}，则x+y=______。
25.(本小题8分)
已知∠ABE=∠DCE=α，AB=CE，BE=CD．
(1)如图1，若α=90°，求证：AE⊥ED．
(2)如图2，若α=45°，过点A作AF⊥ED，求证：AF=EF．
(3)如图3，在(2)的条件下，过F作FG⊥AB，垂足为G，若FG=4，S△ABE=8，求AG的长．
答案解析
1.A
【解析】解：3x−2y=4符合二元一次方程的定义，则A符合题意；
6xy+9=0中6xy的次数为2，则B不符合题意；
1x+4y=8中1x的次数不是1，则C不符合题意；
5x+y=2z含有3个未知数，则D不符合题意；
故选：A．
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可．
本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.B
【解析】解：A、3+4=7，不能够组成三角形；
B、2+2=4>2，能构成三角形；
C、8+8<20，不能构成三角形；
D、3+8<15，不能构成三角形．
故选：B．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3.C
【解析】解：长方形，五边形，三角形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选：C．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握在所有的图形里，只有三角形具有稳定性，也是三角形的特性．
4.D
【解析】解：A、在不等式m>n的两边同时乘以5，不等式仍成立，即5m>5n，故本选项不符合题意；
B、在不等式m>n的两边同时加7，不等式仍成立，即m+7>n+7，故本选项不符合题意；
C、在不等式m>n的两边同时乘以−4，不等号方向改变，即−4m<−4n，故本选项不符合题意；
D、在不等式m>n的两边同时减去6，不等式仍成立，即m−6>n−6，故本选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质解答．
本题考查了不等式的性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的内角和定理的运用，三角形外角与内角的关系的运用，解答时求三角形全等是关键．
先证明△AOD≌△BOC，就可以得出∠C=∠D，由三角形的内角和定理就可以求出∠OBC的值，进而由三角形外角与内角的关系就可以求出结论．
【解答】
解：在△AOD和△BOC中
OA=OB∠O=∠OOD=OC，
∴△AOD≌△BOC(SAS)
∴∠C=∠D．
∵∠C=25°，
∴∠D=25°．
∵∠O=60°，∠C=25°，
∴∠OBC=95°．
∴∠OBC=∠BED+∠D=95°，
∴∠BED=70°．
故选A．
6.C
【解析】解：A.调查月用水量的户数为2+3+4+1=10(户)，此选项正确；
B.平均数是3×2+4×3+5×4+8×12+3+4+1=4.6(吨)，此选项正确；
C.这组数据的众数为5，此选项错误；
D.中位数是4+52=4.5，此选项正确；
故选：C．
分别根据平均数、众数和中位数的概念分别求解可得．
本题主要考查众数和中位数及加权平均数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.B
【解析】解：把x=1y=−1代入ax−by=12ax+by=3得a+b=1①2a−b=3②，
②−①，得a−2b=2．
故选：B．
把方程组的解代入二元一次方程组得到关于a、b的方程组，两式相减得结论．
本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的意义是解决本题的关键．
8.C
【解析】解：∵乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米，x(米)表示乌鞘岭主峰的海拔高度，
∴x≥3500，
故选：C．
根据乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界和主峰海拔超过3500米得出答案即可．
本题考查了不等式的意义，能正确列出不等式是解此题的关键．
9.C
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵EF/​/AC，
∴∠C=∠BFE，
∴∠BAD=∠BFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE和△FBE中，
∠BAE=∠BFE∠ABE=∠FBEBE=BE，
∴△ABE≌△FBE(AAS)，
∴AB=BF，
故选：C．
根据AAS可证△ABE≌△FBE，从而只有C符合题意．
本题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，发现全等三角形是解题的关键．
10.4+3x
【解析】解：y−3x=4
移项，得y=4+3x．
故答案为4+3x．
根据等式的性质，通过移项得y=4+3x．
本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质对方程进行变形是解题的关键．
11.1
【解析】解：不等式的解集是x<2，故不等式2x−1<3的正整数解为1．
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
12.85
【解析】解：∵∠BAC=40°，∠B=75°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠B
=65°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=20°．
∴∠ADB=∠CAD+∠C
=20°+65°
=85°．
故答案为：85．
利用三角形的内角和求出∠C，利用角平分线的性质求出∠CAD，再利用外角与内角的关系求出∠ADB．
本题考查了三角形的内角和定理、角的平分线的性质等知识点，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，是解决本题的关键．
13.6
【解析】解：由题意知，(3+5+x+7+9)÷5=6，
解得：x=6．
故答案为6．
根据算术平均数的定义列式计算即可得解．
本题考查的是算术平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
14.6
【解析】解：设甲队胜了x场，则负了(10−x)场，
由题意得，3x−(10−x)≥14，
解得：x≥6，
即甲队至少胜了6场．
故答案为：6．
设甲队胜了x场，则平了(10−x)场，根据每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负1场扣1分，比赛10场，得分不低于14分，列出不等式，求出x的最小整数解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出不等关系，列出不等式求解．
15.14或16
【解析】解：根据题意，
①当腰长为6时，三边为6，6，4，
符合三角形三边关系，周长=6+6+4=16；
②当腰长为4时，三边为4，4，6，
符合三角形三边关系，周长=4+4+6=14．
故答案为：14或16．
根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为4时，解答出即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，注意本题要分两种情况解答．
16.1
【解析】解：在△ABE中，∠ABE=180°−∠BAE−∠AEB，
在△ABC中，∠C=180°−∠BAC−∠ABC，
∵∠AEB=∠ABC，∠BAE=∠BAC，
∴∠ABE=∠C；
∵FD/​/BC，
∴∠ADF=∠C，
又∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠DAF，
在△ABF和△ADF中，
∠ABE=∠ADF∠BAF=∠DAFAF=AF，
∴△ABF≌△ADF(AAS)，
∴AB=AD，
∵AB=2，AC=3，
∴DC=AC−AD=AC−AB=3−2=1．
故答案为：1．
在三角形ABE与三角形ABC中，由一对公共角相等，以及已知角相等，利用内角和定理可得∠ABE=∠C，由FD与BC平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据AF为角平分线得到一对角相等，再由AF=AF，利用ASA得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=AD，由AC−AD求出DC的长即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
17.145
【解析】解：设∠G=α，∠ABD=β，过点C作CQ⊥BD于Q，
∵BD平分∠ABC，∠A=2∠G，
∴∠ABC=2β，∠DBC=∠ABD=β，∠A=2∠G=2α，
∴∠ACF=2α+2β，∠GCF=α+β，
∴∠ACG=∠GCF=12∠ACF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB，
∴∠ECG=12(∠ACB+∠ACF)=90°；
∵S△ODC=12OD⋅CQ，S△CDG=12DG⋅CQ，OD：DG=3：4，
∴S△ODC：S△CDG=OD：DG=3：4，
∵△DOC的面积为6，
∴S△CDG=8，
∴S△OCG=S△ODC+S△CDG=14，
∵∠ECG=90°，
∴S△OCG=12OC⋅CG=12×10×OC=14，
∴OC=145．
故答案为：145．
设∠G=α，∠ABD=β，过点C作CQ⊥BD于Q，根据三角形的外角性质及角平分线的定义得出∠ACF=2α+2β，∠GCF=α+β，可得∠ACG=∠GCF=12∠ACF，由CE平分∠ACB，即可得出∠ECG=12(∠ACB+∠ACF)=90°；根据三角形的面积得S△ODC：S△CDG=OD：DG=3：4，△DOC的面积为6，可得出S△CDG=8，再由S△OCG=12OC⋅CG即可求解．
本题考查三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的面积，主要考查学生运用三角形的面积公式求解的能力．
18.125或55
【解析】解：本题要分两种情况讨论如图：
①当交点在三角形内部时(如图1)，
在四边形AFOE中，∠AFC=∠AEB=90°，∠A=55°，
根据四边形内角和等于360°得，
∠EOF=180°−∠A=180°−55°=125°．
故∠BOC=125°．
②当交点在三角形外部时(如图2)，
在△AFC中，∠A=55°，∠AFC=90°，
故∠1=180°−90°−55°=35°，
∵∠1=∠2，
在△CEO中，∠2=35°，∠CEO=90°，
∴∠EOF=180°−90°−35°=55°，即∠BOC=55°．
故答案为：125或55．
本题中因为“高BE、CF所在直线交于点O，且点E、F不与点B、C重合”排除了三角形是直角三角形的可能，所以要分两种情况讨论．
本题考查的是三角形内角和定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
19.解：(1)2x+y=2①8x+3y=9②，
②−①×3得：2x=3，
解得：x=32，
将x=32代入①得：3+y=2，
解得：y=−1，
故原方程组的解为x=32y=−1；
(2)原方程组整理得3x−2y=8①3x+2y=40②，
①+②得：6x=48，
解得：x=8，
将x=8代入①得：24−2y=8，
解得：y=8，
故原方程组的解为x=8y=8．
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
20.解：(1)5(x+2)≥1−2(x−1)，
去括号，得：5x+10≥1−2x+2，
移项及合并同类项，得：7x≥−7，
系数化为1，得：x≥−1；
(2)x−3(x−2)≤4①1+2x3>x−1②，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x<4，
∴该不等式组的解集是1≤x<4．
【解析】(1)根据解不等式的方法可以求出该不等式的解集；
(2)分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，即可求出不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
21.解：(1)如图所示，线段AD即为所求；
(2)如图所示，△CAE即为所求，
四边形ABCE的面积=3×S△ADC=3×12×3×3=272．
【解析】(1)根据题意画出线段AD即可；
(2)根据题意画出△CAE即可．
本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22.1
【解析】解：(1)100÷20%=500(人)，
将500人的时间从小到大排列后处在第250、251位两个数都是1小时，因此中位数是1小时，
故答案为：1；
(2)500−100−200−80=120(人)，补全统计图如图所示：
(3)100×0.5+200×1+120×1.5+80×2500=1.18(小时)，
答：估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间为1.18小时．
(1)求出总人数，再根据中位数的意义得出答案；
(2)求出“1.5小时”的人数，即可补全条形统计图；
(3)利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
考查中位数、加权平均数的意义和计算方法，理解统计图中数量和数量之间的关系，是正确计算的前提．
23.解：(1)设与公司派来的乙工程队再合作y天可完成此项工程，
根据题意得，1050+y50+y30=1，
解得：y=15，
答：与公司派来的乙工程队再合作15天可完成此项工程；
(2)设甲工程队参加工作y天，则乙参加的天数为30×50−y50=150−3y5，
800y+1000×150−3y5≤3400，
解得：y≤20，
答：甲工程队至多参加工作20天．
【解析】(1)设与公司派来的乙工程队再合作y天可完成此项工程，根据题意列方程即可得到结论；
(2)设出甲工程队工作的天数，表示出乙工程队工作的天数，根据：装修工程施工费用不能超过34000元，列出不等式求解即可．
此题考查分式方程的运用，一元一次不等式组的运用，理解题意，找出等量关系和不等关系解决问题．
24.(1)12； 0≤x≤1
(2)①M{2,x+1,2x}=2+x+1+2x3=3x+33=x+1，
∵M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}
∴x+1≤2xx+1≤2，即x≥1x≤1，∴x=1；
②a=b=c
③−4
【解析】解：(1)min{12, 22, 32}=12，
由min{2,2x+2,4−2x}=2，可得2x+2≥24−2x≥2，即0≤x≤1，
(2)①M{a,b,c}表示这a，b，c三个数的平均数，即求a+b+c3的值；
②min{a,b,c}表示这a，b，c三个数中最小的数，即比较三个数的大小哪一个最小，
证明：由M{a,b,c}=min{a,b,c}，可令a+b+c3=a，即b+c=2a⑤；
又∵a+b+c3≤ba+b+c3≤c，解之
得：a+c≤2b⑥，a+b≤2c⑦；
由⑤⑥可得c≤b；
由⑤⑦可得b≤c；
∴b=c；
将b=c代入⑤得：c=a；
∴a=b=c，
③据②可得2x+y+2=x+2y2x+y+2=2x−y，
解之得x=−3y=−1,
∴x+y=−4，
故答案是：4。
本题解决的关键是读懂题意，据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力。
25.(1)证明：在△ABE和△ECD中，
∵AB=EC，∠ABE=∠ECD，EB=CD，
∴△ABE≌△ECD(SAS)，
∴∠BAE=∠CED，
∴∠BAE+∠AEB=∠CED+∠AEB，
∵∠ABE=a=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°
∴∠CED+∠AEB=90°，
∴∠AEC=180°−∠CED−∠AEB=180°−90°=90°，
∴AE⊥ED；
(2)证明：在△ABE和△ECD中，
∵AB=EC，∠ABE=∠ECD，BE=CD，
∴△ABE≌△ECD(SAS)，
∴∠BAE=∠CED
∵∠B=180°−(∠BAE+∠AEB)，∠AED=180°−(∠AEB+∠CED)，
∴∠AED=∠B=a=45°，
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=90°，
∴∠EAF=90°−∠AED=45°，
∴∠AED=∠EAF，
∴AF=EF；
(3)解：过E作EM⊥GF于M，EN⊥AB于N，则∠BNE=∠ANE=90°
∵∠ABE=45°，
∴∠BEN=45°，
∴BN=EN，
由(2)知AF=EF，又AF⊥ED，
∴AFE=90°，
∵EM⊥FG，
∴∠EMF=∠EMG=90°，
∴∠FEM+∠EFM=∠EFM+∠AFG=90°，
∴∠FEM=∠AFG，

又∵∠EMF=∠FGA=90°，EF=FA，
∴△EFM≌△FAG(AAS)，
∴MF=AG，FG−EA=4，
∵∠ENG=∠NGM=∠EMG=90°，
∴四边应NGME为长方形，
则NG=EM=4，NE=GM=BN，
设AG=FM=x(x>0)，则GM=4−x
∴NE=BN=4=x，
∴AB=BN+NG+AG=4−x+4+x=8，
∴S△ABE=12AB⋅EN=12×8×(4−x)=8，
∴16−4x=8，
∴x=2，
∴AG=2．
【解析】(1)证明△ABE≌△ECD(SAS)，得到∠BAE+∠AEB=∠CED+∠AEB，进而求解；
(2)证明△ABE≌△ECD(SAS)，得到∠BAE=∠CED，进而求解；
(3)证明△EFM≌△FAG(AAS)，得到MF=AG，FG−EA=4，得到四边应NGME为长方形，进而求解．
本题考查的是三角形综合题，涉及到三角形全等、正方形的性质等，证明三角形全等是解题的关键．月用水量(吨)
3
4
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户数
2
3
4
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