初中数学苏科版七年级上册6.4 平行随堂练习题

这是一份初中数学苏科版七年级上册6.4 平行随堂练习题，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，则下列结论中错误的是（ ）
A．BD⊥ACB．∠A＝∠EDAC．2AD＝BCD．BE＝ED
(1题) (2题) ( 3题)
4．如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（ ）

A．109°B．110°C．D．
5．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（ ）个．
①
②
③平分
④
A．4B．3C．2D．1
6．如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
8．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒
(6题) (7题) ( 8题)
9．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3（ ）
A．70°B．180°C．110°D．80°
10．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②④
11．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
(9题) (10题) ( 12题)
二、填空题
13．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有 个．
14．如图，直线与直线、分别交于点、，，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，连接，是上一点使，作平分，交于点，，则 ．
15．如图，已知，，，则 度．
16．如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是 ．

17．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
18．已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则 °

19．如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有 ．（请填写序号）
20．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是 ．
21．如果的两边分别平行于的两边，且比的2倍少，则 ．
22．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
23．已知AB∥CD，∠BAD＝40°，点M在直线AD上，N为线段CD上一点，若∠MNC＝α，则∠AMN＝ ．（用含α的式子表示）
24．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 秒，两灯的光束互相平行．
三、解答题
25．综合与探究

(1)如图1，，，则与之间的数量关系为 ；如图2，，，则与之间的数量关系为 ．
(2)在图3中，，，，，求的度数．
(3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系．
26．如图，已知 MN∥PQ，B 在 MN 上，C 在 PQ 上，A 在 B 的左侧，D 在 C 的右侧，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线 DE，BE 交于点 E，∠CBN=120°．
（1）若∠ADQ=110°，求∠BED 的度数；
（2）将线段 AD 沿 DC 方向平移，使得点 D 在点 C 的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED 的度数（用含 n 的代数式表示）
27．如图1，，点、分别在、上，点在直线、之间，且．

(1)求的值；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．
28．已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间．

【阅读探究】
(1)平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则___________．
【方法运用】
(2)如图2，试说明；
【应用拓展】
(3)如图3，作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间）若，求的度数．
29．已知四边形
(1)如图1：，．求证：；
(2)如图2：在（1）的条件下，取上一点作为顶点作直角，使直角的两边交于，交于．则________．（直接写出角度和）
(3)如图3：在（2）的条件下，上存在点，，连接，延长交延长线于，若、恰好平分、，且，求的大小．
30．如图，已知直线l1∥l2，且l3与l1，l2分别交于A，B两点，l4与l1，l2相交于C，D两点，点P在直线AB上．
（1）【探究1】如图1，当点P在A，B两点间滑动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？并说明理由；
（2）【应用】如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究1的结论求出∠BAC的度数．
（3）【探究2】如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系，并说明理由．
31．如图，已知格线相互平行，小明在格线中作、、，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．

(1)如图1，，点在一条格线上，当时，求的度数；
(2)如图2，，点在两条格线之间，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图，，小明在图中作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，探究与的数量关系，并用等式表示与的数量关系．
32．（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）
（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．

答案：
1．解：∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
①∵，，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
即，
故②正确；
③由①可得，
∴，
∴，即，
又，
∴，
即，
将代入，
化简可得：，
故③正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
正确的个数共有4个，
故选：D．
2．解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：．
3．试题分析：BD是△ABC的角平分线， AB＝BC，则BD是AC边上的高及中线，所以∠ABD＝∠DBC ,BD⊥AC，2AD=AC, ∠A＝∠BCA；因为DE∥BC，所以∠EDA＝∠BCA, ∠EDB＝∠DBC，所以∠A＝∠EDA, ∠ABD＝∠EDB，所以BE＝ED．所以A、B、D正确，C错误．
4．如图，延长，分别交和于点，，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，整理得：，
∴，
解得：，
∴的最大整数值是．
故选：．
5．解：如图，延长交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴①正确，故符合要求；
∵分别为的角平分线，
∴，，
如图，过作，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴④正确，故符合要求；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分，
∴③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∵与的位置关系不确定，
∴与的大小关系不确定，
∴不一定成立，
∴②错误，故不符合要求；
∴正确的共有3个，
故选B．
6．解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作，则有，
同理，
∵和分别平分和，
∴，
∴，，
即，
解得：，
故选：D．

7．解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
8．解：设灯旋转的时间为秒，
灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，
灯先转动2秒，灯才开始转动，
，即，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得，符合题设；
②如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得符合题设；
③如图，当时，，
，
同理可得：，即，
解得，不符题设，舍去；
综上，灯旋转的时间为1秒或秒，
故选：C．
9．作AB∥a，由直线a平移后得到直线b，
所以，AB∥a∥b
所以，∠2＝180°－∠1＋∠3，
所以，∠2－∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110°．
故选：C
10．∵，
∴，，
∵BD平分，EF平分，
∴，，
∴，
，
∴，
故①②正确；
∴ 与不一定相等，
由题意可知，
∴与不一定相等，
故③错误；
∵，
∴与是等底等高的三角形，
∴，
∴，
故④正确，
∴①②④正确．
故选：D．
11．解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行直线l3、l4，到l2的距离为1的点也是两条平行直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．
故选C．
12．解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵， ， ，
∴， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
13．解：到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；
到的距离是1的点，在与平行且与的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是的点共有4个．
故答案为：4．
14．∵，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．解：过点作∥，如图：
，
．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：．
16．解：延长FA与直线MN交于点K，

由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，
∵MN∥PQ，
∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
∴∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，
即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°，
故∠ACD的度数是27°，
故答案为：27°．
17．解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），
∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
18．解：如图，过作，而，
∴，

∴，，
∵，
∴，
∵的角平分线相交于G点，
∴，
过作，
同理：，
同理可得：．
如图，过作，而，
∴，

∴，，
∵，
∴，
∵的角平分线相交于G点，
设，，
∴，
∴，即，
过作，则，
∴，，
∴；
故答案为：或
19．∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
即平分，
故②正确；
∵，，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵，，
∴，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
20．①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=∠CGE，则②正确；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且EG⊥CG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，则③正确；
④无法证明CA平分∠BCG，则④错误．
故答案为①②③．
21．解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两边分别平行，分两种情况：
如图①，根据平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，则
2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；
如图②，根据平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，则
2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
综上所述，∠1的度数为30°或110°．
故答案为：30°或110°．
22．过点、、分别作，
∵
，
，
平分，平分 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
23．解：如图，当点M在线段AD上时，
过点M作ME∥AB，
∴∠AME＝∠BAD＝40°，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
∴∠EMN+∠MNC＝180°，
∵∠MNC＝α，
∴∠EMN＝180°﹣α，
∴∠AMN＝∠AME+∠EMN＝40°+（180°﹣α）＝220°﹣α；
如图，当点M在AD的延长线上时，
过点M作ME∥AB，
∴∠AME＝∠BAD＝40°，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
∴∠EMN+∠MNC＝180°，
∵∠MNC＝α，
∴∠EMN＝180°﹣α，
∴∠AMN＝∠AME﹣∠EMN＝40°﹣（180°﹣α）＝α﹣140°；
如图，当点M在DA的延长线上时，
过点M作ME∥AB，
∴∠AME＝∠BAD＝40°，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
∴∠EMN＝∠MNC＝α，
∴∠AMN＝∠EMN﹣∠AME＝α﹣40°＝α﹣40°；
故答案为：220°﹣α或α﹣140°或α﹣40°．
24．解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
25．（1）∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）延长，交于点，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

26．解：（1）如图1中，延长DE交MN于H．
∵∠ADQ=110°，ED 平分∠ADP，
∴∠PDH=∠PDA=35°，
∵PQ∥MN，
∴∠EHB=∠PDH=35°，
∵∠CBN=120°，EB 平分∠ABC，
∴∠EBH=∠ABC=30°，
∴∠BED=∠EHB+∠EBH=65°．
（2）有 3 种情形，如图 2 中，当点 E 在直线 MN 与直线 PQ 之间时．延长 DE 交 MN 于 H．
∵PQ∥MN，
∴∠QDH=∠DHA=n°，
∴∠BED=∠EHB+∠EBH=180°﹣（n）°+30°=210°﹣（n）°，
当点 E 在直线 MN 的下方时，如图 3 中，
设 DE 交 MN 于 H．
∵∠PBC=∠ABP=30°，
∴∠HBE=∠ABP=30°（对顶角）.
∵∠ADH=∠CDH=（n）°，
∴∠CDH=∠DHB=（n）°(两直线平行，内错角相等).
又∵∠DHB=∠HBE+∠HEB，
∴∠BED=（n）°﹣30°，
当点 E 在 PQ 上方时，如图 4 中，
设 PQ 交 BE 于 H，
∵∠ABH=∠CBH=30°，
∴∠ABH =∠CHB=30°(两直线平行，内错角相等).
∵∠ADN=∠QDN=（n）°，
∴∠QDN =∠EDH=（n）°(对顶角)
又∵∠BED=∠CHB -∠EDH，
同法可得∠BED=30°﹣（n）°，
由，可得，即∠ADQ＜60°，此条件下当A在B左侧时，D也在C的左侧，不符合题意，舍去.
综上所述，∠BED=210°﹣（n）°或（n）°﹣30°．
27．（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，
，，
，，
．

（2）解：如图2，过点作，过点作，
，
，
，，，
，
平分，平分，
，，
又由（1）得，


．

（3）解：如图3，设直线交于点，与相交于点，
，
，
，
，
，
，
即，
，在内，，
，
，
，
，
，
即，
，
解得．

28．（1）解：过点M作，如图，

∵
∴，
∴，，
∴，即，
∵ ，，
∴；
（2）解：过点M作，如图2所示：

∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵、分别是和的平分线，
∴，，
过点P作，如图3所示：

∵，∴，
∴，，
∴
，
由第（2）得：，
∴，
∴，
∴．
29． （1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点作
∴，
∴
∴，
故答案为：．
（3）解：如图所示，
过点分别作的平行线，
∴
∵、恰好平分、，
∴，，
设，，，
∴，
∴，
∵
∴
∴①
∵，
∴，
∴②
∵，即
∴代入②得，③
由①③可得，，即．
30．试题分析：（1）过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”，再通过角的计算即可得出结论；
（2）分别在B点和A点处画方位图，结合（1）的结论即可算出结果；
（3）分点P的位置不同来考虑：①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠QPC=∠ACP，∠QPD=∠BDP”，再通过角的计算即可得出结论；②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，利用①的方法可得出结论．综合①②即可得出结论．
解：（1）当点P在A、B两点间滑动时，∠2=∠1+∠3保持不变．理由如下：
过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图1所示．
∵PQ∥AC，
∴∠1=∠CPQ，
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠3=∠DPQ，
∴∠1+∠3=∠CPQ+∠DPQ，
即∠1+∠3=∠2．
（2）分别在B点和A点处画方位图，如图2所示．
由（1）知：∠2=∠1+∠3
∴∠BAC=32°+56°=88°．
（3）①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．
∵PQ∥AC，
∴∠QPC=∠ACP．
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠QPD=∠BDP．
又∵∠CPD=∠QPD﹣∠QPC，
∴∠CPD=∠BDP﹣∠ACP．
②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．
同理可得：∠CPD=∠ACP﹣∠BDP．
综上：∠CPD=|∠ACP﹣∠BDP|．
31．（1）解：如图，过顶点的格线为，

，，
，
．
（2）如图，过点作平行于格线，
，，
，
．

（3）如图，过点作平行于格线，
，，
，
，
．

32．（1）∵与有共同的边AB，
又∵，
∴与的高相等，即与同底等高，
∴=，
故答案为：=；
（2）方法一：
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，
∴，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
方法二
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，
∴，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
（3）方法一
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案；
方法二：
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案．