2023-2024学年江苏省扬州市江都区高一下学期期中数学试题

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2023.04
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的实部为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，在根据复数的定义判断即可.
【详解】因为，所以的实部为.
故选：D
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量平行得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故选：B
3. 已知方程的解在内，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，利用函数零点的意义结合零点存在性定理推理作答.
【详解】令函数，显然函数在上单调递增，
而，，因此函数的零点，
所以方程的解在内，即.
故选：C
4. “故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州．”扬州，别称广陵，是我国历史文化名城．扬州瘦西湖畔的白塔外形象一个花瓶，是当地的标志性建筑．游客（视为质点）从地面D点看塔顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进32米到达E点，此时看C点的仰角为45°，若，则该白塔的高AB约为（ ）

A. 18米B. 21米C. 28米D. 35米
【答案】C
【解析】
【分析】设，再分别求出，再根据即可得解.
详解】设，则，
在中，，
则，
所以，
即该白塔的高AB约为28米.
故选：C.
5. 如图所示，在菱形中，，，为 的中点，则的值是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的加法运算，表示出，然后根据数量积的运算法则求得答案.
【详解】由题意得： ,
故
，
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式和二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，所以
.
故选：C
7. 如图，在中，，点在线段上，且满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理，二倍角公式，正弦定理即可求解．
【详解】在中，设角，，的对边分别为，，，
又点在线段上，且满足，，，
又，由角平分线定理可得，，
，又，，，
故选：A．
8. 设函数的定义域为R，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】分析函数的性质，结合幂函数的图象，作出在上的图象，再作出在上的图象，求出两图象的交点个数作答.
【详解】由，得的图象关于y轴对称，由，得的图象关于直线对称，
令，得，函数是周期为1的偶函数，当时，，
在同一坐标系内作出函数在上的图象，函数在上的图象，如图，

观察图象知，函数与的图象在上的交点有7个，
所以函数在区间上零点的个数为7.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量，可以作为平面内所有向量的一组基底
B. 已知，，若在方向上的投影向量为，则
C. 若，则与夹角为钝角
D. 非零向量，满足，则与夹角为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于选项A，因为基底是不共线的两向量，再利用向量共线的坐标运算即可判断出正误；选项B，利用投影向量的定义即可判断出正误；选项C，通过特例：与共线反向，即可判断出选项的正误；选项D，利用，通过运算得到，从而判断出选项D的正误.
【详解】选项A，因为，，故与共线，所以选项A错误；
选项B，，，所以在方向上的投影向量为，所以选项B正确；
选项C，当与共线反向时，有，此时，所以选项C错误；
选项D，因为，所以，得到，
又，为非零向量，故，所以选项D正确.
故选：BD.
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. ，，，则此三角形有两解
C. 若，则△ABC为等腰直角三角形
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理化简，即可判断A；利用正弦定理解三角形即可判断B；利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可判断C；根据大角对大边，再结合正弦定理即可判断D.
【详解】对于A，由于，
所以
，
因为，所以中必有一个钝角，
故为钝角三角形，故A正确；
对于B，因为，
所以，
又，所以有两解，即此三角形有两解，故B正确；
对于C，由于，利用正弦定理可得，
即，而，
所以或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，若，则，则，故D正确.
故选：ABD
12. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则
C. 在中，若为锐角且，角对边，则面积的最大值为
D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，利用正弦函数的性质即可判断A；由题意可求，利用正弦函数的性质即可判断B；由题意可求的值，利用余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式即可判断C；由题意可求，利用三角形的面积公式求出，再由、数量积的运算律及基本不等式判断D．
【详解】因为
，
对于A：因为，所以，的最大值为，故A错误；
对于B：，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，，在上单调递减，，
又方程在区间有两个不相等的实根，
即与在区间有两个交点，
，，故B正确；
对于C：，为锐角，则，
，，
，，
，可得，当且仅当时等号成立，
面积为，当且仅当时等号成立，
的面积最大值为，故C正确；
对于D：，为锐角，则，
，，
面积为，，
又，所以
，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，
最小值为，故D正确．
故选：BCD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数（为虚数单位），则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用共轨复数的概念与模的运算公式即可得解.
【详解】因为，则，
所以.
故答案为：.
14. 已知角是第一象限角，且，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正切公式即可得解.
【详解】因为角是第一象限角，且，
所以，则，
所以.
故答案为：.
15. 在中，角，，所对的边分别是，，，若，，的面积，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用面积公式可得，结论余弦定理可得，利用正弦定理，即可得出答案．
【详解】，，的面积，
，解得，
在中，由余弦定理得，即，
由正弦定理得，即，解得．
故答案为：．
16. 设，为直线l上的两个不同的点，则，我们把向量及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．当直线l与x轴不垂直时，（其中叫做直线l的斜率）也是直线l的一个方向向量．如果直线l经过点，且它的一个方向向量是，则直线l上任意一点的坐标x，y满足的关系式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出，利用方向向量即可得出答案.
【详解】由题意知，，因为方向向量是，
所以即，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设复数，，若复数
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数代数形式的除法运算化简复数，再根据纯虚数的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【小问1详解】
因为，，
则，
若为纯虚数，则，解得；
【小问2详解】
在复平面上对应的点在第二象限，
则，解得，
故取值范围为．
18. 已知非零向量，满足，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当k为何值时，向量与垂直？
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用数量积定义求出，再利用数量积的运算律计算作答.
（2）利用垂直关系的向量表示求解作答.
【小问1详解】
由，，与的夹角为，得，
所以.
【小问2详解】
向量与垂直，则，
而，
因此，解得，
所以当时，向量与垂直.
19. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求边，的值．
【答案】（1）
（2），或，
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得，即可得解；
（2）利用面积公式得①，利用余弦定理得，即②，联立①②，即可得出答案．
【小问1详解】
，
在中，由正弦定理得，
即，
，即，
，,，
又，则；
【小问2详解】
，的面积为，
，即①，
在中，由余弦定理得，即，
，即②，
由①②得或，
故，或，．
20. 已知的两个顶点分别为原点和，且，．
（1）求点的坐标；
（2）若点落在第二象限，，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标，并求的值．
【答案】（1）或
（2），
【解析】
【分析】（1）设点的坐标为，结合与，可得关于和的方程组，解得即可；
（2）根据题意可设点，利用平面向量数量积可得，再采用配方法，并结合向量的夹角公式，即可得解．
【小问1详解】
设点的坐标为，则，，
因为，所以，
又，所以，
联立解得或，
所以点的坐标为或．
【小问2详解】
因为点落在第二象限，所以，
因为点是直线上的一个动点，所以，设，则，
所以，，
所以，
所以当时，取得最小值，此时，
所以，，，
所以．
21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）若，求的值；
（2）在下列条件中选择一个，判断是否存在，如果存在，求b的最小值；如果不存在，说明理由．
①；
②的面积；
③．
【答案】（1）
（2）选①②，存在，b的最小值为4；选③，不存在
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合得到，两边平方后求出答案；
（2）选①，变形得到，结合，得到，所以存在，b的最小值为4；选②，结合三角形面积公式变形得到，结合，得到，所以存在；选③，为直角，互余，故，，化简得到，结合得到矛盾，这样的三角形不存在.
【小问1详解】
由正弦定理得，
因为，所以，故，
两边平方得，
解得；
【小问2详解】
选①，，
因为，所以，
故，
因为，所以，，
，
故当，即时，取得最大值1，此时取得最小值，最小值为16，
故，所以存在，b的最小值为4；
选②，的面积，
因为，所以，
因为，所以，
故，
因为，所以，，
则，，
，
即当，即时，取得最小值，最小值为16，
故，所以存在，b的最小值为4；
选③，，由勾股定理逆定理可得为直角，所以互余，故，，
由于，故，
化简得，
即，由辅助角公式得，
因为，故矛盾，
这样的不存在.
22. 已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）设函数的值域为A，
①求A；
②若至少有两个不同的，使得，求正数的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）令，求解即可；
（2）①分离常数，求解即可；
②由题意可知至少有两个不同的，使得，再根据正弦函数的性质列出不等式组即可得解.
【小问1详解】
令，则，解得，
所以函数的零点为；
【小问2详解】
①因为，
因为，所以，所以，
所以，
所以函数的值域；
②因为至少有两个不同的，使得，
所以至少有两个不同的，使得，
因为，所以，
令，解得，
又，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：解决（2）中第二问的关键是将问题转化为至少有两个不同的，使得.