2023-2024学年河北省保定市涿州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市涿州市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.下面的计算结果不是a6的是( )
A. a3⋅a2B. (a2)3C. a8÷a2D. 12a6+12a6
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，E是AD上一点，若CE=5，则BE=( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
4.下列能用平方差公式计算的是( )
A. (a−2)(2+a)B. (a−2)(2−a)C. (−a−2)(a+2)D. (a+2)(2+a)
5.如果一个三角形中最小的一个内角为46°，那么这个三角形一定为( )
A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
6.若分式|x|−1x+1的值为0，则x的值为( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 0
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于点D，如果AD=10，P为AB上一动点，那么PD的最小值为( )
A. 6B. 5C. 3D. 2
8.如图，AB=ED，BC=DC，CA=CE，∠ACB=80°，∠1=50°，则∠2=( )
A. 20°
B. 30°
C. 50°
D. 80°
9.若n为任意整数，则(2n+1)2−(2n−1)2的值不一定能( )
A. 被2整除B. 被4整除C. 被6整除D. 被8整除
10.已知x+2y=0，则表示(x−y)2xy−x2的值的点落在数轴上的位置位于( )
A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④
11.要测量A，B间的距离(无法直接测出)，两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD=OB；③连接DC，测量DC的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA；③连接EF，测量EF的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是( )
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行C. Ⅰ、Ⅱ都不可行D. Ⅰ、Ⅱ都可行
12.如图，在E，F，G，H四个点中，有一个点是△ABC的重心，请你用刻度尺确定这个点是( )
A. 点E
B. 点F
C. 点G
D. 点H
13.纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10−9m.下列说法正确的是( )
A. 10−9−10=10−8B. 10−9−10=10−10
C. 10−9的小数点后有9个0D. 10−9的小数点后有8个0
14.如图，AC/​/ED，∠B=∠E，AB=CE，AC=2，DE=5，则BD=( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
15.a取下列何值时，方程2x+a2−x−1=0的解是正数( )
A. 3B. −2C. −4D. −2或−4
16.如图，OC平分∠AOB，CA⊥OA于点A，OC=5，AC=2.小明用长度为3的线段CD搭出了一个△OCD，它的一个外角∠CDB=n°，他必然还能搭成另一个△OCD′(D′在OB上)，则∠OD′C=( )
A. 90°−n°
B. 180°−n°
C. 2n°
D. n°
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.△ABC的边长如图所示，写出一个符合条件的m的整数值：______．
18.两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的27，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通.记总工程量为1．
(1)甲队单独施工1天完成总工程的______；
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为______．
19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，D，E分别是线段BC，BA上的点，作EF⊥DE，交AC于点F．
(1)∠B= ______°；
(2)若DB=DE，则∠2= ______°.
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题11分)
(1)计算：(2x−1)(x+2)；
(2)化简：a2−4a2+2a+1÷a−2a+1−1．
21.(本小题8分)
如图，五边形ABCDE的内角都相等，各边也都相等，∠AEF是它的一个外角，求∠BEF的度数．
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=72°，∠CAB=48°，作AD⊥BC于点D后，按如图所示方式进行尺规作图．
(1)求∠EBD的度数；
(2)连接EC，若ED=3.1cm，CD=3cm，求△AEC的面积．
23.(本小题10分)
现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(1(1)请用含a的式子分别表示S1，S2；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
24.(本小题10分)
问题：如图，小明和爸爸的身高分别是1.5m，1.8m，即EB=1.5m，FC=1.8m，二人配合测量树的高度AD．
操作：小明在距离树0.3m的B处(AB=0.3m)看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸可以前后移动，当EF⊥ED时爸爸站着不动，这时小明测得AC=9.5m．
问题解决：已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD．
25.(本小题12分)
如图，点A，B，C，D分别代表四个地点，△ABC是等边三角形，其边长为60km，点D为BC的中点.甲、乙同时从A地出发，甲去往B地，乙去往C地，乙的速度是甲的1.2倍，结果比甲早到了1h．
(1)求甲、乙的速度；
(2)若乙到达C地后立即按原速去往D地，甲到达B地后也立即去往D地，要与乙同时到达，甲的速度需是原速的多少倍？
26.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点P在线段OA上(不与点O，A重合)，连接PC，将△PCO沿PC折叠得到△PCD，延长PD交AB于点E，连接CE．
(1)求证：△CEB≌△CED．
(2)当点P位于不同位置时，△PEA的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其周长．
(3)设P(m,0)，E(1,n)，直接写出当点A，D的距离最小时，m+n的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.∵a3⋅a2=a5，∴此选项的结果不是a6，故此选项符合题意；
B.∵(a2)3=a6，∴此选项的结果是a6，故此选项不符合题意；
C.∵a8÷a2=a6，∴此选项的结果是a6，故此选项不符合题意；
D.∵12a6+12a6=a6，∴此选项的结果是a6，故此选项不符合题意；
故选：A．
A.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D.根据合并同类项法则进行合并，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关计算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则和合并同类项法则．
3.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE=5，
故选：C．
由AB=AC，AD为中线，利用三线合一得到AD垂直于BC，BD=CD，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得解．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A.(a−2)(2+a)=(a−2)(a+2)=a2−4，因此选项A符合题意；
B.(a−2)(2−a)=−(a−2)2，可以利用完全平方公式进行计算，因此选项B不符合题意；
C.(−a−2)(a+2)=−(a+2)(a+2)=−(a+2)2，可以利用完全平方公式进行计算，因此选项C不符合题意；
D.(a+2)(2+a)=(a+2)(a+2)=(a+2)2，可以利用完全平方公式进行计算，因此选项D不符合题意．
故选：A．
根据平方差公式、完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
本题考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为在一个三角形中，至少有2个锐角，
再根据三角形中最小的一个内角为46°，可知另一个锐角的度数一定大于或等于46°，
则46°+46°=92°，
即这两个锐角的和一定大于90°，
又因为三角形内角和是180°，
所以可以得出第三个内角必定小于90°，
所以这个三角形一定为锐角三角形，
故选：B．
根据题意先得出两个锐角的和一定大于90°，从而判断出第三个内角必定小于90°，于是可判断三角形的形状．
本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据角的度数判定三角形的形状．
6.【答案】A
【解析】解：由题可知，
∵分式|x|−1x+1的值为0，
∴|x|−1=0且x+1≠0，
解得x=1．
故选：A．
根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，当PD⊥AB时，PD的值最小，
此时，∠DPA=90°，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°−30°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAP=∠CAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∴PD=12AD=12×10=5，
故选：B．
当PD⊥AB时，PD的值最小，此时，∠DPA=90°，先求出∠BAC=60°，再由角平分线的定义得出∠DAP=∠CAD=30°，然后由含30°角的直角三角形性质即可得出结果．
本题考查了垂线段最短、角平分线的定义、含30°角的直角三角形性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC和△EDC中，
AB=EDBC=DCCA=CE，
∴△ABC≌△EDC(SSS)，
∴∠ACB=∠ECD=80°，
∵∠1=50°，
∴∠2=∠ECD−∠1=80°−50°=30°，
故选：B．
由AB=ED，BC=DC，CA=CE，根据“SSS”证明△ABC≌△EDC，得∠ACB=∠ECD=80°，则∠2=∠ECD−∠1=30°，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△EDC是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：(2n+1)2−(2n−1)2
=[(2n+1)+(2n−1)][(2n+1)−(2n−1)]
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n×2
=8n，
∴(2n+1)2−(2n−1)2的值一定能被2，4，8整除，但是不一定能被6整除，
故选：C．
根据平方差公式将题目中的式子因式分解，然后即可发现(2n+1)2−(2n−1)2的值不一定能被哪个数整除．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式因式分解．
10.【答案】A
【解析】解：由x+2y=0，得x=−2y，代入分式(x−y)2/xy−x2=9y2/−6y2=−3/2，点落在段①，
故选：A．
此题应先先解出代数式再结合图形判断选项．
此题综合考查了数轴、代数式求值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
11.【答案】D
【解析】解：方案Ⅰ：在△AOB与△COD中，
AO=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴AB=CD；
方案Ⅱ：在△AOB与△EOF中，
AO=EO∠AOB=∠EOFOB=OF，
∴△AOB≌△EOF(SAS)，
∴AB=EF，
故选：D．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，△ABC的重心为G点．
故选：C．
如图，利用刻度尺可判断AG的延长线平分BC，CG的延长线平分AB，BG的延长线平分AC，于是根据三角形重心的定义可判断G点为△ABC的重心．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．
13.【答案】D
【解析】解：10−9=0.000000001．
即10−9的小数点后有8个0．
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】C
【解析】解：∵AC/​/ED，
∴∠ACB=∠D，
又∵∠B=∠E，
在△ABC和△CED中，
∠ACB=∠D∠B=∠EAB=CE，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=DE=5，AC=CD=2，
∴BD=BC+CD=7，
故选：C．
利用AAS证明△ABC≌△CED，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABC≌△CED是解题的关键．
15.【答案】B
【解析】解：原方程去分母得：2x+a−(2−x)=0，
整理得：3x=2−a，
解得：x=2−a3，
当a=3时，x=−13<0；
当a=−2时，x=43>0；
当a=−4时，x=2，不符合题意；
故选：B．
通过去分母将原方程化为整式方程，解方程后根据题意确定a的值即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
16.【答案】D
【解析】解：如图，在△CDD′中，
∵CD=CD′，
∴∠CDB=∠CD′O，
∵∠CDB=n°，
∴∠CD′O=n°，
故选：D．
根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角是解答本题的关键．
17.【答案】6(答案不唯一)
【解析】解：由三角形三边关系定理得：5−2∴3∴符合条件的一个m的整数值是6(答案不唯一)．
故答案为：6(答案不唯一)．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到3本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
18.【答案】249 249×(7+5)+5x=1
【解析】解：(1)∵甲队先独立施工1周完成总工程的27，
∴甲队单独施工1天完成总工程的：27÷7=249，
故答案为：249；
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，
根据题意得：249×(7+5)+5x=1，
故答案为：249×(7+5)+5x=1．
(1)由甲队先独立施工1周完成总工程的27，即可得出结果；
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据“甲队先独立施工1周完成总工程的27，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通，记总工程量为1”，列出分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】65 75
【解析】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50°，
∴∠B=∠C=65°，
故答案为：65；
(2)∵DB=DE，
∴∠B=∠BED=65°，
∴∠1=180°−65°−65°=50°，
∴∠CDE=180°−∠1=130°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∵∠C+∠CDE+∠DEF+∠2=360°，
∴∠2=75°，
故答案为：75．
(1)根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可；
(2)根据四边形内角和是360°求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)(2x−1)(x+2)
=2x(x+2)−(x+2)
=2x2+2x−x−2
=2x2+x−2；
(2)a2−4a2+2a+1÷a−2a+1−1
=(a−2)(a+2)(a+1)2⋅a+1a−2−1
=a+2a+1−a+1a+1
=1a+1．
【解析】(1)根据多项式乘多项式运算法则运算即可；
(2)根据平方差公式和完全平方公式化简后再做除法转换成乘法，最后进行减法运算．
本题考查了整式和分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】解：根据多边形外角和定理可得∠AEF=360°÷5=72°，
∴∠A=∠AED=180°−∠AEF=108°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠BEF=∠AEB+∠AEF=36°+72°=108°．
【解析】根据多边形外角和定理可得∠AEF=360°÷5=72°，进而可得∠A=∠AED=108°，再根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB=36°，再根据∠BEF=∠AEB+∠AEF可得结论．
本题主要考查了正多边形的内角和定理和外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
22.【答案】解：(1)∵∠ACB=72°，∠CAB=48°，
∴∠ABC=180°−(∠ACB+∠CAB)=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAC=90°−∠ACB=18°，
由作图痕迹知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=∠CAB−∠CAD=30°，
∴∠EBD=∠ABC−∠EBA=30°；
(2)由(1)知∠EBD=30°，

∵∠BDE=90°，ED=3.1cm，
∴BE=2ED=6.2cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=6.2cm，
∴△AEC的面积=12AE⋅CD=12×6.2×3=9.3(cm2).
【解析】(1)由三角形内角和定理求出∠ABC，∠CAC，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出∠EBA，即可求出答案；
(2)由含30度直角三角形的性质求出BE=2ED=6.2cm，由线段垂直平分线的性质得到AE=BE=6.2cm，根据三角形面积公式即可求出答案．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意可得：
S1=a2+2a+1，
S2=4a+1；
(2)S1−S2
=(a2+2a+1)−(4a+1)
=a2+2a+1−4a−1
=a2−2a
=a(a−2)，
∵1∴a(a−2)<0，
∴S1【解析】(1)根据题意，列出S1和S2关于a的代数式即可；
(2)作差法比较大小即可．
本题考查了列代数式，熟练掌握作差法比较大小是解答本题的关键．
24.【答案】解：过E作EG⊥CF于G，延长GE交AD于H，
则GH⊥AD，
∵CF⊥AC，AD⊥AC，BE⊥AC，
∴四边形CBEG，四边形AHEB是矩形，
∴AH=BE=CG=1.5m，BC=EG=9.5−0.3=9.2(m)，AB=HE=0.3m，
∵∠FGE=∠EHD=∠FED=90°，
∴∠EFG+∠FEG=∠FEG+∠DEH=90°，
∴∠GFE=∠DEH，
∴△EFG∽△DEH，
∴FGEH=DHEG，
∴1.8−，
∴DH=9.2，
∴AD=DH+AH=9.2+1.5=10.7(米)，
答：树的高度AD为10.7米．
【解析】过E作EG⊥CF于G，延长GE交AD于H，则GH⊥AD，根据矩形的性质得到AH=BE=CG=1.5m，BC=EG=9.5−0.3=9.2(m)，AB=HE=0.3m，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，其边长为60km，点D为BC的中点，
∴AB=AC=BC=60km，BD=CD=12BC=30km，
(1)设甲的速度为x km/h，则乙的速度为1.2x km/h，
由题意得：60x=601.2x+1，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×10=12，
答：甲的速度为10km/h，乙的速度为12km/h；
(2)设甲的速度需是原速的y倍，
由题意得：3012−1=3010y，
解得：y=2，
经检验，y=2是原方程的解，且符合题意，
答：甲的速度需是原速的2倍．
【解析】(1)设甲的速度为x km/h，则乙的速度为1.2x km/h，根据“甲、乙同时从A地出发，甲去往B地，乙去往C地，乙的速度是甲的1.2倍，结果比甲早到了1h”，列出分式方程，解分式方程即可；(2)设甲的速度需是原速的y倍，根据“乙到达C地后立即按原速去往D地，甲到达B地后也立即去往D地，要与乙同时到达”，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用、等边三角形的性质，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，
∴AO=AB=BC=OC=1，
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=∠OAB=∠B=90°，
∵将△PCO沿PC折叠得到△PCD，
∴OC=CD，∠COP=∠CDP=90°，OP=PD，
∴CB=CD，∠B=∠CDE=90°，
又∵CE=CE，
∴△CEB≌△CED(HL)；
(2)解：当点P位于不同位置时，△PEA的周长不会变化，理由如下：
∵△CEB≌△CED，
∴DE=BE，
∵△PEA的周长=PA+AE+PD+DE=PA+OP+AE+BE=AO+AB=2，
∴当点P位于不同位置时，△PEA的周长不会变化；
(3)如图，连接AC，AD，
∵P(m,0)，E(1,n)，
∴OP=m，AE=n，
在△ACD中，AD>AC−CD，
∴当点D在AC上时，AD=AC−CD，即AD有最小值，
此时，EP⊥AC，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠CAO=∠CAB=45°，
∴∠APE=∠AEP=45°，
∴AP=AE=n，
∴m+n=OP+PA=AO=1．
【解析】(1)由折叠的性质可得OC=CD，∠COP=∠CDP=90°，由HL可证△CEB≌△CED；
(2)由全等三角形的性质可得DE=BE，由线段的数量关系可求解；
(3)由三角形的三边关系可得AD>AC−CD，则当点D在AC上时，AD=AC−CD，即AD有最小值，由正方形的性质和等腰三角形的性质可求AE=AP，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．