2023-2024学年河北省保定市曲阳县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市曲阳县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2+x=0B. 2x3−x=0C. xy−1=0D. 1x2+x=2
2.把函数y=(x−1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )
A. y=x2+2B. y=(x−1)2+1C. y=(x−2)2+2D. y=(x−1)2−3
3.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是
( )
A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE
4.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是( )
A. 中位数是4，平均数是3.75B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8D. 众数是2，平均数是3.8
5.如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则sin∠ABC的值是( )
A. 1
B. 32
C. 22
D. 510
6.如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是( )
A. 甲与丙
B. 甲与乙
C. 乙与丙
D. 三个矩形都不相似
7.某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S乙2=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为( )
A. 甲、乙均可B. 甲C. 乙D. 无法确定
8.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是
( )
A. 25°B. 27.5°C. 30°D. 35°
9.学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)，计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. x2=21B. x(x−1)2=21C. x22=21D. x(x−1)=21
10.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为( )
A. 12B. 920C. 25D. 13
11.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为( )
A. π2+12B. π−14C. π4+12D. π4−12
12.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(−3,4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为( )
A. −12
B. −27
C. −32
D. −36
13.已知α、β是方程x2−2x−2022=0的两个实数根，则α2−4α−2β−2的值是( )
A. 2016B. 2018C. 2022D. 2024
14.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1.5,0)，D(4.5,0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若C(1,3)，则点F的坐标是( )
A. (2,6)
B. (2.5,4.5)
C. (3,9)
D. (4,8)
15.二次函数y=x2+bx+c(a≠0)，自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下B. 当x>−3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最大值是4.9D. 抛物线的对称轴是直线x=−52
16.如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=kx(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是( )
A. 1B. 1≤k≤3
C. 1≤k≤4
D. 1≤k<4
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是______．
18.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是___________．
19.用绘图软件绘制双曲线m：y=60x与动直线l：y=a，且交于一点，图(1)为a=8时的视窗情形．
(1)当a=15时，l与m的交点坐标为______ ；
(2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心.例如，为在视窗中看到(1)中的交点，可将图(1)中坐标系的单位长度变为原来的12，其可视范围就由−15≤x≤15及−10≤y≤10变成了−30≤x≤30及−20≤y≤20(如图(2)).当a=−0.8和a=−1.2时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图(1)中坐标系的单位长度至少变为原来的1k，则整数k= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
20.计算：|−3|−4sin45°+ 8+(π−3)0
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题4分)
解方程：x2−4x−3=0．
22.(本小题9分)
数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cs34°=0.83，tan34°≈0.67， 3≈1.73)
23.(本小题9分)
如图，一次函数y=−x+4的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限内的图象交于
A(1,n)和B(3,m)两点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在第一象限内，当一次函数y=−x+4的值大于反比例函数y=kx(k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围．
(3)求△AOB面积．
24.(本小题10分)
如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC、BC于点M、N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E．
(1)求证：ME是⊙O的切线；
(2)若AC=8，BC=6，求AE的长．
25.(本小题10分)
如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(−2,0)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．
26.(本小题10分)
(1)问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD⋅BC=AP⋅BP．
(2)探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
(3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
27.(本小题12分)
某农户要改造部分农田种植蔬菜．经调查，改造农田费用(元)与改造面积(亩)的成正比，比例系数为900，添加辅助设备费用(元)与改造面积(亩)的平方成正比，比例系数为18，以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植疏菜还需种子、人工费用600元．这项费用每年均需再投入，除上述费用外，没有其他费用．设改造x亩，每亩蔬菜年销售额为m元．
(1)设改造当年收益为y元，用含x，m的式子表示y；
(2)按前三年计算，若m=1500，是否改造而积越大收益越大？改造面积为多少时，可以得到最大收益？
(3)当收益不低于43200元时，求改造面积x的取值范围？
(4)若20≤x≤60，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求m的取值范围，注：收益=销售额−(改造费+辅助设备费+种子、人工费)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.方程x2+x=0是一元二次方程，选项A符合题意；
B.方程2x3−x=0是一元三次方程，选项B不符合题意；
C.方程xy−1=0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D.方程1x2+x=2是分式方程，选项D不符合题意．
故选：A．
利用一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：二次函数y=(x−1)2+2的图象的顶点坐标为(1,2)，
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,2)，
∴所得的图象解析式为y=(x−2)2+2．
故选：C．
先求出y=(x−1)2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．
利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．
【解答】
解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为：3+3.5+4×2+4.55=3.8．
故选：C．
根据众数和中位数的概念求解．
本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
5.【答案】C
【解析】解：连接AC，
则可得AC═ 5，BC= 5，AB= 10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，sinB=ACAB= 22．
故选：C．
连接AC，则利用勾股定理可得AC= 5，BC= 5，AB= 10，从而可得∠ACB=90°，在Rt△ABC中求解sinB的值即可．
此题考查了解直角三角形，属于基础题，解答本题的关键是求出AB、AC、BC的长度，判断出△ABC是直角三角形．
6.【答案】A
【解析】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2=3：4，2：3，
∴甲和丙相似，
故选：A．
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，
∵141.7<433.3，
∴S甲2即甲种水稻的产量稳定，
∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．
故选：B．
首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种即可．
此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．
直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解答】
解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°−60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°−95°−50°=35°．
故选：D．
9.【答案】B
【解析】解：设邀请x个球队参赛，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：x(x−1)2=21，
故选：B．
赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=x(x−1)2.即可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC−BF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=(3−x)2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正切的定义即可求解．
【解答】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=5，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF= AF2−AB2= 25−9=4，
∴CF=BC−BF=5−4=1，
设CE=x，则DE=EF=3−x，
在Rt△ECF中，
∵CE2+FC2=EF2，
∴x2+12=(3−x)2，
解得x=43，
∴DE=EF=3−x=53，
∴tan∠DAE=DEAD=535=13，
故选：D．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．
连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】
解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=12AB=1，四边形DMCN是正方形，DM= 22．
则扇形FDE的面积是：90π×12360=π4．
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
∠DMG=∠DNHDM=DN∠GDM=∠HDN,
∴△DMG≌△DNH(ASA)，
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=12．
则阴影部分的面积是：π4−12．
12.【答案】C
【解析】解：∵A(−3,4)，
∴OA= 32+42=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=CB=OC=AB=5，
则点B的横坐标为−3−5=−8，
故B的坐标为：(−8,4)，
将点B的坐标代入y=kx得，4=k−8，
解得：k=−32．
故选：C．
根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
13.【答案】A
【解析】解：∵α是方程x2−2x−2022=0的实数根，
∴α2−2α−2022=0，
∴α2−2α=2022．
∵α、β是方程x2−2x−2022=0的两个实数根，
∴α+β=2，
∴α2−4α−2β−2=(α2−2α)−2(α+β)−2=2022−2×2−2=2016．
故选：A．
利用一元二次方程的解，可得出α2−2α=2022，利用根与系数的关系，可得出α+β=2，再将其代入α2−4α−2β−2=(α2−2α)−2(α+β)−2中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“α2−2α=2022，α+β=2”是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，A(1.5,0)，D(4.5,0)，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∵点C的坐标为(1,3)，
∴点F的坐标为(1×3,3×3)，即(3,9)，
故选：C．
根据点A、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，根据点A、D的坐标求出相似比是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：由数据可得：当x=−3和−2时，对应y的值相等，
故函数的对称轴为：直线x=−52，且数据从x=−5到−3对应的y值不断减小，
故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，x>−52时，y随x的增大而增大．
故选项A，B，C都错误，只有选项D正确．
故选：D．
直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键．
16.【答案】C
【解析】解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是(1,1)，
∵AB=AC=2，
∴B点的坐标是(3,1)，C(1,3)，
∴BC的中点坐标为(2,2)．
当双曲线y=kx经过点(1,1)时，k=1；
当双曲线y=kx经过点(2,2)时，k=4，
因而1≤k≤4．
故选：C．
先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=AC=2，AB、AC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y=kx(k≠0)分别经过A、BC中点两点时k的取值范围即可．
本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
17.【答案】15π
【解析】解：圆锥的侧面积=12⋅2π⋅3⋅5=15π．
故答案为15π．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18.【答案】80°或100°
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．
首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠AB′C的度数．
【解答】
解：如图，圆O的弦AC对两种圆周角∠ABC和∠AB′C，
∵四边形ABCB′内接于圆O，
∴∠ABC+∠AB′C=180°，
∵∠AOC=160°，
∴∠ABC=12∠AOC=12×160°=80°，
∴∠AB′C=180°−∠ABC=180°−80°=100°．
因此满足条件的∠ABC的度数是：80°或100°．
故答案为80°或100°．
19.【答案】(4,15) 5
【解析】】解：(1)根据题意，得y=60x=15，
∴x=4．
∴当a=15时，l与m的交点坐标为：(4,15)．
故答案为：(4,15)．
(2)当a=−0.8时，得60x=−0.8，
∴x=−75．
∴l与m的交点坐标为：A(−75,−0.8)．
当a=−1.2时，60x=−1.2，
∴x=−50．
∴l与m的交点坐标为：B(−50,−1.2)．
∴要能看到m在A和B之间的一整段图象，则−75≤x≤60．
∵1575=15，
∴k=5，
故答案为：5．
(1)依据题意，结合所给条件，根据一次函数和反比例函数的性质列分式方程并求解，即可得到答案；
(2)当a=−0.8和a=−1.2时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，得出−75≤x≤60，结合题意即可得到答案．
本题主要考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识，解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解．
20.【答案】解：原式=3−4× 22+2 2+1
=3−2 2+2 2+1
=4．
【解析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，
第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：移项得x2−4x=3，
配方得x2−4x+4=3+4，
即(x−2)2= 7，
开方得x−2=± 7，
∴x1=2+ 7，x2=2− 7．
【解析】本题考查配方法解一元二次方程．
根据配方法即可解．
22.【答案】解：∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=CEAC，
∴AC=CEtan34∘≈550.67≈82.1m，
∵AB=21m，
∴BC=AC−AB=61.1m，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
则tan∠CBD=tan60°=CDBC= 3，
∴CD= 3BC≈1.73×61.1≈105.7m，
∴DE=CD−EC=105.7−55=50.7≈51m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
由三角函数求出AC=CEtan34∘≈82.1m，得出BC=AC−AB=61.1m，在Rt△BCD中，由三角函数得出CD= 3BC，即可得出答案．
23.【答案】解：(1)∵点A、点B在一次函数图象上，
∴n=−1+4=3，m=−3+4=1，
∴A(1,3)，B(3,1)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为y=3x；
(2)结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1(3)如图，设一次函数与x轴交于点C，
在y=−x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C(4,0)，即OC=4，
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC=12×4×3−12×4×1=4．
【解析】(1)把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，则可求得反比例函数解析式；
(2)由(1)可知B点坐标，结合图象可求得满足条件的x的取值范围；
(3)设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用S△AOB=S△AOC−S△BOC可求得△ABO的面积．
本题主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OM，

∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD=DA=DB=12AB，
∴∠ACD=∠A，
∵OC=OM，
∴∠ACD=∠OMC，
∴∠OMC=∠A，
∴OM/​/AB，
∵ME⊥AB，
∴ME⊥OM，
∵OM为半径，
∴ME为⊙O的切线；
(2)解：如图，连接DM，

∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2=10，
∴CD=5，
∴BD=CD=AD=5，
∵CD为直径，
∴∠CMD=90°，
∴DM/​/BC，
∵D是AB的中点，
∴M是AC的中点，
∴AM=CM=12AC=4，
∴DM= CD2−CM2=3，
∵S△ADM=12AM⋅DM=12AD⋅ME，
∴ME=AM⋅DMAD=125，
∴AE= AM2−ME2=165．
【解析】(1)连接OM，证出OM/​/AB，证明OM⊥ME即可；
(2)连接DM，证明DM⊥AC，再由勾股定理求得DM，最后三角形的面积公式及勾股定理求得结果．
本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25.【答案】解：(1)将A(−2,0)，O(0,0)代入解析式y=−x2+bx+c，得c=0，−4−2b+c=0，
解得c=0，b=−2，
所以二次函数的解析式为y=−x2−2x=−(x+1)2+1．
(2)∵AO=2，S△AOP=1，
∴P点的纵坐标为±1，
∴−x2−2x=±1，
当−x2−2x=1时，解得x1=x2=−1，
当−x2−2x=−1时，
解得x3=−1+ 2，x4=−1− 2，
∴点P的坐标为(−1,1)或(−1+ 2,−1)或(−1− 2,−1)．
【解析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式与图象上点的坐标特征，解题的关键是正确求出二次函数的表达式．
(1)把A(−2,0)，O(0,0)代入解析式y=−x2+bx+c，可得出二次函数解析式；
(2)利用三角形的面积可得出P点的纵坐标，可求出点P的横坐标，即可得出点P的坐标．
26.【答案】解：(1)如图1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴ADBP=APBC，
∴AD⋅BC=AP⋅BP；
(2)结论AD⋅BC=AP⋅BP仍然成立．
理由：如图2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴ADBP=APBC，
∴AD⋅BC=AP⋅BP；
(3)如图3，

过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5−4=1．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∴∠DPC=∠A=∠B．
由(1)、(2)的经验可知AD⋅BC=AP⋅BP，
∴5×1=t(6−t)，
解得：t1=1，t2=5，
∴t的值为1秒或5秒．
【解析】(1)如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
(2)如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
(3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5−4=1.易证∠DPC=∠A=∠B.根据AD⋅BC=AP⋅BP，就可求出t的值．
本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
27.【答案】解：(1)由题意可得，
w=yx−(900x+18x2+600x)=−18x2+(y−1500)x，
即w=−18x2+(y−1500)x；
(2)①设这三年的收益为z，
z=1500x×3−(900x+18x2+600x×3)=−18(x−50)2+45000，
∵a=−18<0，
∴开口向下，且x=50时，z有最大值；
∴不是改造面积越大收益越大，改造面积为50亩时，可以得到最大收益；
②解方程：−18(x−50)2+45000=43200得到x1=40，x2=60，
∴当收益不低于43200元时，40≤x≤60；
(3)由题意可得，
z=3px−(900x+18x2+600x×3)=−18(x−y−90012)2+(y−900)28
∵20≤x≤60，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，
∴y−90012≥60，
解得y≥1620，
即y的取值范围是y≥1620．
【解析】(1)根据题意可以用含x，m的式子表示y；
(2)根据题意和(1)中函数解析式及p的值可以解答本题；
(3)根据效益不低于43200列出不等式求得x的取值范围即可；
(4)根据题意和x的取值范围，可以求得p的取值范围．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．劳动时间(小时)
3
3.5
4
4.5
人 数
1
1
2
1
x
……
−5
−4
−3
−2
−1
0
……
y
……
4.9
0.06
−2
−2
0.06
4.9
……