2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=4(2−x+3x2)2的导数是( )
A. 8(2−x+3x2)B. 2(−1+6x)2
C. 8(2−x+3x2)(6x−1)D. 4(2−x+3x2)(6x−1)
2.已知单位圆上第一象限一点P沿圆周逆时针旋转π3到点Q，若点Q的横坐标为−12，则点P的横坐标为( )
A. 13B. 12C. 22D. 32
3.准线方程为x=2的抛物线的标准方程为( )
A. y2=−8xB. y2=−4xC. x2=−8yD. x2=4y
4.若满足∠ABC=π4，AC=6，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是( )
A. (0,6]B. (0,6]∪{6 2}C. [6,6 2]D. (6,6 2)
5.将函数f(x)=2sin(2x−π3)的图像向右平移π6个单位后所得到的函数记为g(x)，则下列结论中正确的是( )
A. g(x)的对称中心为(kπ2+π6,0)(k∈Z)
B. g(x)=2sin(2x+π3)
C. g(x)在(π12,7π12)上单调递减
D. g(x)的图像关于x=π12对称
6.已知函数f(x)=4−4|x−1|,x≤2−3x2+24x−36,x>2，若在区间(1,+∞)上存在xi(i=1,2…n)，使得f(xi)xi=k(0A. 1B. 2C. 3D. 4
7.定义域为R的函数f(x)，g(x)满足f(1)>12,f(2)<12，且对于任意s，t均有2f(s)g(t)=g(s+t)−g(s−t)，2g(s)g(t)=f(s−t)−f(s+t)，则( )
A. f(0)+g(0)>1B. 12C. f(1)f(2)1
8.如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CM上一点，( )
A. AP+BP的最小为2
B. 若DP⊥平面ABC，则CP= 64CM
C. 若DP⊥平面ABC，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为9π2
D. 若F为线段EN的中点，且DP//MF，则MP=25MC
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是( )
A. AD,CB共线B. AC,BD相等
C. AD,CB模相等，方向相反D. AC,BD模相等
10.若函数f(x)=tan2x的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象，那么下列说法正确的是( )
A. 函数g(x)的定义域为{x|x≠kπ+5π6,k∈Z}
B. 函数g(x)在(−π12,5π12)单调递增
C. 函数g(x)图象的对称中心为(kπ2+π6,0)，k∈Z
D. 函数g(x)≤1的一个充分条件是π611.下列推导过程，正确的为( )
A. 因为a、b为正实数，所以ba+ab≥2 ba⋅ab=2
B. 因为x∈R，所以1x2+1>1
C. 因为a<0，所以4a+a≥2 4a⋅a=4
D. 因为x、y∈R，xy<0，所以xy+yx=−[(−xy)+(−yx)]≤−2 (−xy)⋅(−yx)=−2当且仅当x=−y时，等号成立
12.下列不等关系正确的是( )
A. 3e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知关于变量x与y的5组数据(1,y1)、(5,y2)、(7,y3)、(13,y4)、(19,y5)，若其得到的线性回归方程为y =2x+45，则y−=______.
14.{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S3=4a4，则a10=______.
15.设P为直线3x−4y+11=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2−2x−2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______.
16.若存在无穷数列{an}，{bn}满足：对于任意n∈N+，an+1，bn+1是方程x2−12(an+bn)x+ anbn=0的两根，且a10=1，b1>0，则b1=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
将下列指数式与对数式互化：
(1)ea=16；
(2)64−13=14；
(3)lg39=2；
(4)lgxy=z(x>0且x≠1，y>0).
18.(本小题12分)
根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(1)焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,−6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+ax2−x−1，a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在(−1,f(−1))处的切线过点(0,0)，求a的值；
(2)若f(x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围.
20.(本小题12分)
(1)已知sin(π12−α)=35，且−3π2<α<−π2，求sin(5π12+α)的值；
(2)在△ABC中，已知sinA+csA=15，求tanA的值.
21.(本小题12分)
四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45∘，AB=2，BC=2 2，SA=SB= 3.
(1)证明SA⊥BC；
(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.
22.(本小题12分)
已知等比数列{an}的公比为λ(λ>1)，且a1=1，数列{bn}满足bn+1−bn=an+1−λ，b1=1λ−1.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)规定：[x]表示不超过x的最大整数，如[−1.2]=−2，[2.1]=2.若λ=2，cn=1bn+2n−2，记Tn=c1+c2+c3+…+cn(n≥2)求[Tn2−2Tn+2Tn−1]的值，并指出相应n的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：函数y=4(2−x+3x2)2，
所以y′=8(2−x+3x2)⋅(−1+6x)=8(2−x+3x2)(6x−1).
故选：C.
直接利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可．
本题考查了导数的运算，涉及了复合函数的求导公式的应用，解题的关键是掌握常见函数的求导公式以及导数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由单位圆上第一象限内一点P沿圆周逆时针旋转π3到点Q，点Q的横坐标为−12，
可知点Q的纵坐标为 32，即sin∠xOQ= 32，cs∠xOQ=−12
设点P的横坐标为t，
又∠xOP=∠xOQ−π3，
所以t=cs∠xOP=cs(∠xOQ−π3)=12cs∠xOQ+ 32sin∠xOQ=12×(−12)+ 32× 32=12.
故选：B.
利用任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式即可求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：准线方程为x=2的抛物线的标准方程为y2=−2px，
令p2=2，解得p=4，
故y2=−8x.
故选：A.
根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线标准方程的求解，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为∠ABC=π4，AC=6，BC=k的△ABC恰有一个，所以AC=BCsin∠ABC或AC≥BC，
即6=k 22则k=6 2，
或者6≥k，
所以可得k∈(0,6]∪{6 2}；
故选：B.
由只有一个三角形的条件可得AC=BCsin∠ABC或AC≥BC，再由题意可得k的取值范围．
本题考查三角形个数的判断方法，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：将函数f(x)=2sin(2x−π3)的图像向右平移π6个单位后所得到的函数g(x)=2sin(2x−2π3)=−2sin(2x+π3)，B错误，D正确；
令2x−2π3=kπ得x=kπ2+π3，k∈Z，
故函数g(x)的对称中心为(kπ2+π3,0)，k∈Z，A错误；
令π2≤2x−2π3≤3π2得7π12≤x≤13π12，即g(x)的一个单调递减区间为[7π12,13π12]，C错误；
又g(π12)=2sin(−π2)=−2，
则g(x)的图象关于x=π12对称，D正确．
故选：D.
先根据函数图象的平移求出g(x)，然后结合正弦函数的诱导公式，正弦函数的对称性及正弦函数的单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数图象的平移，正弦函数的单调性，对称性的应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=4−4|x−1|,x≤2−3x2+24x−36,x>2，
∵f(x)x表示(x,f(x))点与原点连线的斜率，
∴f(x1)x1=f(x2)x2=…f(xn)xn的几何意义为这些点有相同的斜率，
作出函数f(x)的图象，在区间(1,+∞)上，
y=kx与函数f(x)的交点个数有1个，2个或者3个，
即n的取值集合是{1,2,3}，
故选：D.
作出f(x)的图象，f(x1)x1=f(x2)x2=…f(xn)xn的几何意义为这些点有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论．
本题考查的知识点是斜率公式，正确理解f(x)x表示(x,f(x))点与原点连线的斜率是解答的关键．
7.【答案】C
【解析】解：取f(x)=csx，g(x)=sinx，满足f(1)=cs1>cs60∘=12，f(2)=cs2<0<12，
sin(s+t)−sin(s−t)=2css⋅sint，即2f(s)g(t)=g(s+t)−g(s−t)，
cs(s+t)−cs(s−t)=2sins⋅sint，即2g(s)g(t)=f(s−t)−f(s+t)，
上述函数满足题设要求，
对选项A：f(0)+g(0)=cs0+sin0=1，错误；
对选项B：f(−1)−g(−1)=cs(−1)−sin(−1)= 2sin(1+π4)> 2sin(π2+π4)=1，错误；
对选项C：cs1cs2−sin1sin2=c(1+2)=cs3<0，故f(1)f(2)对选项D：cs1cs2+sin1sin2=cs(1−2)=cs1<1，错误．
故选：C.
取f(x)=csx，g(x)=sinx，验证满足各个条件，再根据三角函数的公式，依次计算每个选项得到答案．
本题考查函数值的计算，函数值比较大小，构造函数是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：∵CM⊥平面ABD，CM⊥BM，CM⊥AM，当点P与点M重合时，AP+BP取得最小值，最小值为AM+BM=4 33，故A错误；
在正四面体ABCD中，∵DP⊥平面ABC，∴DN∩CM=P，则点P为正四面体ABCD内切球的球心，CN=23CE=2 33，
DN= CD2−CN2=2 63，设正四面体ABCD内切球的半径为r，因为VD−ABC=VP−ABC+VP−ABD+VP−BCD+VP−ACD，
∴13S△ABC⋅DN=13S△ABC⋅r+13S△ABD⋅r+13S△BCD⋅r+13S△ACD⋅r，解得r=NP=DN4= 66，故CP=34CM，故B错误；
设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，半径为R，则R2=OC2=CN2+(OP−N+)2，
解得R=3 64，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为4πR2=27π2，故C错误；
MF=ME+16EC=13DE+16ED+16DC=16DM+16DC=14DM+16DC，
设MP=λMC.则DP=DM+λMC=DM+λMD+λDC=(1−λ)DM+λDC，
∵DP//MF，所以μDP，则14=(1−λ)μ16=λμ，解得λ=25μ=512，故MP=25MC，故D正确．
故选：D.
利用正四面体的性质，逐项计算判断即可．
本题考查空间几何体的性质，以及利用向量法解决几何问题的方法，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，|AC|=|BD|，
所以AD,CB共线，AC,BD模相等，故A、D正确；
∵矩形的对角线相等，
∴|AC|=|BD|，AC,BD模相等，但方向不同，故B不正确；
|AD|=|CB|且AD//CB，所以AD,CB的模相等，方向相反，
故C正确．
故选：ACD.
根据向量的加法和减法的几何意义(平行四边形法则)，结合矩形的判定与性质进行分析可解．
本题考查向量的共线，相等，模，向量的加减法的几何意义，属基础题，根据向量的加减法的平行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键．
10.【答案】BD
【解析】解：∵函数f(x)=tan2x的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)=tan(2x−π3)的图象，
由2x−π3≠kπ+π2，求得x≠kπ2+5π12，k∈Z，
可得f(x)的定义域为{x|x≠kπ2+5π12,k∈Z}，故A错误；
当x∈(−π12,5π12)，2x−π3∈(−π2,π2)，
故函数f(x)单调递增，故B正确；
令2x−π3=kπ2，求得x=kπ4+π6，k∈Z，
可得f(x)的图象的对称中心为(kπ4+π6,0)，k∈Z，故C错误；
由g(x)≤1，可得kπ−π2<2x−π3≤π4+kπ，可得kπ2−π12∴g(x)≤1成立的一个充分条件是π6故选：BD.
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A，因为a、b为正实数，所以ba>0,ab>0，
故ba+ab≥2 ba⋅ab=2，
当且仅当ba=ab，即a=b时取等号，
故选项A正确；
对于B，因为x2≥0，所以x2+1≥1，
则0<1x2+1≤1，
故选项B错误；
对于C，当a<0时，4a+a<0，
故选项C错误；
对于D，因为xy<0，则−xy>0,−yx>0，
所以以xy+yx=−[(−xy)+(−yx)]≤−2 (−xy)⋅(−yx)=−2，
当且仅当−xy=−yx，即x=−y时取等号，
故选项D正确．
故选：AD.
利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了基本不等式的理解与应用，“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：∵e<3<π，∴3e<3π，e3令f(x)=lnxx(x>0)，f′(x)=1−lnxx2，由f′(x)<0得x>e，由f′(x)>0得0∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，则当x=e时，f(x)取得极大值也是最大值，即f(x)≤f(e)=1e，
对于A：由f(3)由f(π)又∵e3<π3，
∴3e对于B：f(π)∵f(x)≤1e，令x=e2π，则lne2πe2π<1e，
整理得lnπ>2−eπ，即elnπ>e(2−eπ)≈2.7×(2−2.73.1)=3.048>3，
∴lnπe>lne3，∴e3<πe对于C：由选项B知lnπ>2−eπ，则3lnπ>6−3eπ>6−e>π，即lnπ3>π=lneπ，∴π3>eπ，故C错误；
对于D：f(π)又∵3e<πe<π3，∴3e<π3<3π，故D正确．
故选：ABD.
根据e<3<π，则3e<3π，e30)，求出f′(x)，判断f(x)的单调性，结合指数函数、幂函数的性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查幂函数、指数函数的性质及运用函数的单调性比较大小，考查函数思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】63
【解析】解：由题意，x−=1+5+7+13+195=9，
代入y =2x+45，可得y−=2×9+45=63.
故答案为：63.
将x−代入方程y−=2x−+45计算，即可得答案．
本题主要考查线性回归方程及其应用，属于基础题．
14.【答案】0
【解析】解：因为S3=4a3，所以3a2=4a4，即3a2=4(a2+2d)，
所以a2+8d=0，所以a10=a2+8d=0.
故答案为：0.
根据等差数列的性质及通项公式计算即可得解．
本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
15.【答案】 3
【解析】解：∵圆的方程为：x2+y2−2x−2y+1=0
∴圆心C(1,1)、半径r为：1
根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，
即最小距离为圆心到直线的距离，切线长PA，PB最小，
圆心到直线的距离为d=|3−4+11| 32+42=2，
∴|PA|=|PB|= d2−r2= 3，
∴SPACB=2×12|PA|⋅r= 3.
故答案为： 3.
由圆的方程为求得圆心C(1,1)、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．属中档题．
16.【答案】512
【解析】解：an+1，bn+1是方程x2−12(an+bn)x+ anbn=0的两根，可得
an+1+bn+1=12(an+bn)，an+1bn+1= anbn，
即有an+1+bn+1=12n(a1+b1)，an+1bn+1=(a1b1)12n，
若a1，b1>0，可得an，bn>0，
由an+1+bn+1≥2 an+1bn+1，可得12n(a1+b1)≥2(a1b1)12n+1，
对于给定的a1，b1，这显然是不可能的对于任意的n成立；
同样可以证明an>0，bn>0，也不可能同时成立，所以a10=1，可得b10=0，
倒推可得a1+b1=29(a10+b10)，a1b1=(a10b10)29，所以a1=0，b1=29=512.
故答案为：512.
运用二次方程的韦达定理和等比数列的通项公式和数列的递推式，对数列{an}，{bn}的各项符号讨论，即可得到所求值．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17.【答案】解：(1)ea=16，化为对数：a=ln16；
(2)64−13=14，化为对数：lg6414=−13；
(3)lg39=2，化为指数：32=9；
(4)lgxy=z，化为指数：xz=y.
【解析】根据题意把指数化为对数，把对数化为指数即可．
本题考查了指数与对数的互化问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则2b=a4a2+36b2=1，解得a2=148，b2=37，
所以椭圆方程为：x2148+y237=1.
(2)解：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且半焦距为6，如图所示，c=b=6，所以a=6 2，
∴椭圆的方程为：x272+y236=1.
【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，利用已知条件列出方程组，求解a，b，得到椭圆方程．
(2)由等腰三角形的性质可知：c=b=6.则a2=b2+c2=72，即可求得椭圆的标准方程；
本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=ex+ax2−x−1，
所以f(−1)=1e+a，
故切点为(−1,1e+a)，
又f′(x)=ex+2ax−1，
则f′(−1)=1e−2a−1，
故切线方程为y−(1e+a)=(1e−2a−1)(x+1)，
又切线过点(0,0)，
故−(1e+a)=1e−2a−1，
所以a=2e−1；
(2)函数f(x)=ex+ax2−x−1，
则f′(x)=ex+2ax−1，
所以f′′(x)=ex+2a，
因为f(x)在x=0处取得极小值，
则f′(0)=0，
当f′′(x)>0时，则f′(x)单调递增，
故当x<0时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，
当x>0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，
此时f(x)在x=0处取得极小值，
则f′′(0)=1+2a>0，解得a>−12，
故实数a的取值范围为(−12,+∞).
【解析】(1)先求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而得到切线方程，利用切线过点(0,0)，即可求出a的值；
(2)利用二次求导的导数值大于0，则该点为函数的极小值点，列出不等式，求解即可．
本题考查了导数的应用，主要考查了导数几何意义的理解与应用，曲线切线方程的求解，函数极值的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵−3π2<α<−π2，
∴7π12<π12−α<19π12，即π12−α可能在第二，三，四象限，
又∵sin(π12−α)=35>0，
∴π12−α在第二象限，
∴cs(π12−α)=− 1−sin2(π12−α)=−45，
∴sin(5π12+α)=sin[π2−(π12−α)]=cs(π12−α)=−45；
(2)∵sinA+csA=15①，
∴(sinA+csA)2=1+2sinAcsA=125，
∴sinAcsA=−1225②，
由①②得sinA=45csA=−35或sinA=−35csA=45，
又∵在△ABC中必有sinA>0，
∴sinA=45csA=−35，
∴tanA=sinAcsA=−43.
【解析】(1)先通过角的范围求出cs(π12−α)，再利用诱导公式变形sin(5π12+α)=sin[π2−(π12−α)]后，即可利用cs(π12−α)求值；
(2)将sinA+csA=15两边同时平方可得sinAcsA的值，再结合sinA+csA可求出sinA，csA，进而可求出tanA的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：在四棱锥S−ABCD中，连接AC,∠ABC=45∘,AB=2,BC=2 2，
由余弦定理得AC2=22+(2 2)2−2×2×2 2× 22=42，
则AC=2=AB，AC2+AB2=BC2，∠CAB=90∘，
取BC中点G，连接SG，AG，
则AG⊥BC,AG= 2，
因为平面SBC⊥平面ABCD，
平面SBC∩平面ABCD=BC，AG⊂平面ABCD，于是AG⊥平面SBC，
又SG⊂平面SBC，则有AG⊥SG,SG= SA2−AG2=1，
从而SG2+BG2=3=SB2，
即有SG⊥BC，
而SG∩AG=G，SG，AG⊂平面SAG，
因此BC⊥平面SAG，又SA⊂平面SAG，
所以BC⊥SA.
(2)由(1)知，SG⊥BC，平面SBC⊥平面ABCD，平面SBC∩平面ABCD=BC，SG⊂平面SBC，
则SG⊥平面ABCD，
在▱ABCD中，∠DAB=135∘，连接BD，
由余弦定理得DB2=22+(2 2)2−2×2×2 2×(− 22)=20，即DB=2 5，
S△ABD=12S▱ABCD=S△ABC=12BC⋅AG=2，
等腰△SAB底边AB上的高h= SA2−(12AB)2= 2,S△SAB=12AB⋅h= 2，
设D到平面SAB的距离为d，
由VD−SAB=VS−ABD，得13S△SAB⋅d=13S△ABD⋅SG，
即 2d=2×1，解得d= 2，
设BD与面SAB所成角为θ，
则sinθ=dDB= 22 5= 1010，
所以直线DB与平面SAB所成角的正弦值是 1010.
【解析】(1)取BC的中点G，利用余弦定理求出AC并证明AG⊥BC，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理作答．
(2)利用余弦定理求出BD，再利用等体积法求出点D到平面SAB的距离即可求出．
本题考查了空间中的垂直关系的证明以及直线与平面所成的角的计算问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得an=λn−1，所以an+1=λn，
所以有b2−b1=λ1−λ，b3−b2=λ2−λ，…，bn+1−bn=λn−λ，
所以bn+1−b1=λ1+λ2+…+λn−nλ=λ(1−λn)1−λ−nλ=λn+1−λλ−1−nλ，
所以bn+1=λn+1−λλ−1−nλ+b1=λn+1−λλ−1−nλ+1λ−1，
即当n≥2，bn=λn−λλ−1−(n−1)λ+1λ−1，
由于b1=1λ−1，符合上式，
所以bn=λn−λλ−1−(n−1)λ+1λ−1；
(2)结合(1)知当λ=2，bn=λn−λλ−1−(n−1)λ+1λ−1=2n−1−2(n−1)=2n−2n+1，
所以cn=12n−1，
令g(x)=2x−1−x(x−1)，
则g′(x)=2xln2−2x+1，g′′(x)=2xln22−2，
当x≥3，g′′(x)>0，g′(x)单调递增，
又g′(3)=8ln2−5>0，
所以当x≥3，g′(x)>0，g(x)单调递增，
又g(3)=8−7=1>0，
所以当x≥3，g(x)>0，
所以当x≥3，2x−1>x(x−1)>0，
又22−1>2×(2−1)>0，
所以当n≥2，有2n−1>n(n−1)>0，
即12n−1<1n(n−1)=1n−1−1n，
所以Tn=1+13+17+…+12n−1<1+11×2+12×3+…+1n(n−1)
=1+1−12+12−13+…+1n−1−1n=2−1n<2，
又{cn}为正项数列，所以数列{Tn}为递增数列，
所以当n≥2时有c1=1所以0结合对钩函数可知数列{Tn−1+1Tn−1}为递减数列，
所以2又T3−1+1T3−1=1021+2110=541210<3，
所以当n=2，[Tn2−2Tn+2Tn−1]=[103]=3，
当n≥3，2【解析】(1)由题意可知b2−b1=λ1−λ，b3−b2=λ2−λ，…，bn+1−bn=λn−λ，所以有bn+1−b1=λ1+λ2+…+λn−nλ，由此即可得到数列{bn}的通项公式；
(2)求出cn，而后得到Tn的范围，又Tn2−2Tn+2Tn−1=Tn−1+1Tn−1，结合数列{Tn−1+1Tn−1}的增减性分析其范围．
本题主要考查递推法求数列通项公式，属中档题．