2022-2023学年重庆市长寿区高二（下）期末数学试卷（B卷）(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年重庆市长寿区高二（下）期末数学试卷（B卷）(含详细答案解析)，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数(1+i)(1−i)=( )
A. 0B. 1C. 2iD. 2
2.某射击运动员连续射击10次，命中环数如表：
则这组数据的中位数和众数分别为( )
A. 4，4B. 3.5，4C. 8.5，9D. 9，9
3.下列函数是偶函数的是( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=exD. y=lnx
4.某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取200人进行调查，已知该校高一年级学生有1300人，高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有( )
A. 50人B. 60人C. 65人D. 75人
5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=30∘,a= 2,b= 6，则B=( )
A. 30∘B. 60∘C. 30∘或150∘D. 60∘或120∘
6.对于任意实数a，b∈R，则“a>b”是“ea>eb”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是( )
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8
8.在( x−2)5的展开式中，x2的系数为( )
A. −5B. 5C. −10D. 10
9.已知D是△ABC的边BC上的点，且BC=3BD，则向量AD=( )
A. AB−ACB. 13AB−13ACC. 23AB+13ACD. AB+AC
10.已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为( )
A. 145π3B. 116π3C. 65πD. 52π
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设集合A={1,3,5,7,9}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=______.
12.为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如表的2×2列联表：
则m=______，n=______.
13.若函数f(x)=lga(2+x)+1(a>0且a≠1)，则函数f(x)恒过定点______.
14.已知正实数a，b满足ab=1，则a+2b的最小值等于______.
15.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x3+2x+a，则f(−2)=______.
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知向量a=(x,−2),b=(2,4).
(1)若a//b，求实数x的值；
(2)若|a+b|= 13，求实数x的值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2+2kx+4.
(1)若函数f(x)在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数k的取值范围；
(2)若f(x)>0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围.
18.(本小题15分)
某校高中数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，现从中选2人去参加一项活动.
(1)求选出的2人中，恰有1名男生的概率；
(2)用X表示选出的2人中男生的个数，求X的分布列.
19.(本小题15分)
若函数f(x)= 3sin(π2−2x)+2sinxcsx.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数g(x)的图象，当x∈[−π6,π2]时，求g(x)的值域.
20.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，PB=PD，E，F分别为AB和PD的中点.
(1)求证：EF//平面PBC；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC.
(3)若PA=PC= 5,AB=2,∠BAD=60∘，求二面角A−PB−C的平面角的余弦值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(1+i)(1−i)=1−i2=2.
故选：D.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由已知该运动员射中7环2次，8环3次，9环4次，10环1次，
射中9环的次数最多，所以命中环数的众数为9，
将所有数据按从小到大排列可得7，7，8，8，8，9，9，9，9，10，
所以命中环数的中位数为8+92=8.5.
故选：C.
根据中位数和众数的定义求解．
本题主要考查中位数和众数的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：A选项，y=sinx是奇函数，A选项错误．
B选项，y=csx是偶函数，B选项正确．
C选项，y=ex是非奇非偶函数，C选项错误．
D选项，y=lnx是非奇非偶函数，D选项错误．
故选：B.
根据函数的奇偶性确定正确答案．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题可知，三个年级共有1300+1200+1500=4000人，
抽样比例为2004000=120，
则抽取的学生中，高三年级有1500×120=75人．
故选：D.
根据分层抽样的定义求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题，
5.【答案】D
【解析】解：因为A=30∘,a= 2,b= 6，
则由正弦定理可得：sinB=bsinAa= 6×12 2= 32，
又a所以B=60∘或120∘.
故选：D.
利用正弦定理以及大边对大角即可求解．
本题考查了正弦定理的应用，涉及到大边对大角，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为函数y=ex在R上单调递增，当a>b时，可得ea>eb，故充分性满足；
当ea>eb时，由y=ex在R上单调递增，可得a>b，故必要性满足；
所以“a>b”是“ea>eb”的充要条件．
故选：C.
根据题意，由函数y=ex在R上单调递增即可判断．
本题主要考查充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：依题意，在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是25−1=12=0.5.
故选：B.
根据条件概型的知识求得正确答案．
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数，属于基础题．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．
【解答】
解：( x−2)5的展开式中，通项公式为Tr+1=C5r⋅(−2)r⋅x5−r2，
令5−r2=2，求得r=1，可得x2的系数为C51⋅(−2)=−10.
故选：C.
9.【答案】C
【解析】解：∵BC=3BD，
∴AC−AB=3(AD−AB)，
∴AD=23AB+13AC.
故选：C.
根据BC=3BD可得出AC−AB=3(AD−AB)，然后根据向量的数乘运算即可用AB,AC表示出AD.
本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：如图，作AD//BC，在RtΔADE中，
AD= AE2−ED2= 52−(5−2)2=4，
即圆台的高为4，
则该圆台的体积为V=13π(22+52+2×5)×4=52π.
故选：D.
根据勾股定理求出圆台的高，直接代入圆台的体积公式即可
本题考查圆台的体积，属于基础题．
11.【答案】{3,5}
【解析】解：∵A={1,3,5,7,9}，B={x|2≤x≤5}，
∴A∩B={1,3,5,7,9}∩{x|2≤x≤5}={3,5}.
故答案为：{3,5}.
直接利用交集运算的定义得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
12.【答案】18 24
【解析】解：依题意可得列联表如下：
故m=18，n=24.
故答案为：18；24.
完善列联表，即可得解；
本题考查独立性检验相关知识，属于基础题．
13.【答案】(−1,1)
【解析】解：由于f(−1)=lga1+1=1，
所以函数f(x)恒过定点(−1,1).
故答案为：(−1,1).
根据对数函数的知识求得定点坐标．
本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
14.【答案】2 2
【解析】解：因为a>0，b>0，且ab=1，
则a+2b≥2 2ab=2 2，当且仅当ab=1a=2b时，即a= 2b= 22时，等号成立，
所以a+2b的最小值等于2 2.
故答案为：2 2.
根据题意，由基本不等式即可得到结果．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】−19
【解析】解：因为y=f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，
所以f(0)=0，f(−2)=−f(2)，
又当x≥0时，f(x)=2x3+2x+a，
所以1+a=0，f(−2)=−(2×23+22+a)，
所以a=−1，f(−2)=−19.
故答案为：−19.
由奇函数的性质可得f(0)=0，由此可求a，再由f(−2)=−f(2)，结合所给解析式求f(−2).
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为a//b，a=(x,−2),b=(2,4)，
所以4x+4=0，
所以x=−1；
(2)由已知a+b=(x+2,2)，
则|a+b|= (x+2)2+4= 13，解得：x=1或x=−5.
【解析】(1)根据向量平行的坐标表示列方程，解方程求x即可；
(2)根据向量加法运算及模的坐标表示列出方程，解方程求x即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为函数f(x)在区间[1,4]上是单调递增函数，且f(x)的对称轴为x=−k，
所以−k≤1，解得k≥−1，即k的取值范围是[−1,+∞).
(2)若f(x)>0对一切实数x都成立，
则Δ=4k2−16<0，解得−2即实数k的取值范围是(−2,2).
【解析】(1)利用对称轴和区间的关系，列不等式，解不等式即可；
(2)利用判别式Δ<0即可解决．
本题主要考查二次函数的图象与性质，函数恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)选出的2人中恰有1名男生的概率是P=C31C21C52=610=35；
(2)X的值可取0，1，2，
则P(X=0)=C22C52=110，P(X=1)=C31C21C52=610=35，P(X=2)=C32C52=310，
所以X的分布列如下：

【解析】(1)根据古典概型的概率公式结合组合知识和分步乘法原理，即可求解；
(2)先求出随机变量的取值，求出其对应的概率，最后列出表格写出分布列即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)= 3sin(π2−2x)+2sinxcsx= 3cs2x+sin2x=2sin(2x+π3)，
则函数f(x)的周期为2π2=π；
(2)函数f(x)的图象向右平移π6得：g(x)=2sin(2x−π3+π3)=2sin2x，
因为x∈[−π6,π2]，所以2x∈[−π3,π]，故− 32≤sin2x≤1，
当x=−π6时，sin2x=− 32，当x=π4时，sin2x=1，
g(x)=2sin2x∈[− 3,2]，故函数g(x)的值域为[− 3,2].
【解析】(1)利用三角恒等变换得到f(x)=2sin(2x+π3)，从而求出函数的最小正周期；
(2)先求出g(x)的解析式，从而利用整体法求解函数的值域．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)证明：取PC的中点为G，连接FG，BG，
则因为F，G分别是PD，PC的中点，所以FG//CD，且FG=12CD，
又因为点E是AB的中点，AB//DC，AB=DC，所以BE//CD且BE=12CD，
所以FG//BE且FG=BE，即四边形BEFG是平行四边形，
所以EF//BG，BG⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，
所以EF//平面PBC.
(2)取AC与BD的交点为点O，连接PO，
因为PB=PD，点O是BD的中点，所以PO⊥BD，
又因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
由AC⊥BD，PO⊥BD，AC∩PO=O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
得BD⊥平面PAC.
又因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.
(3)因为 PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，
又由(2)知PO⊥BD，
又AC∩BD=O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，
以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系如图，
因为∠BAD=60∘，所以在等边△ABD中，AO= 3,OB=1，
在直角△PAO中，AO= 3,PA= 5，所以PO= 2，
设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1)，
则A( 3,0,0),B(0,1,0),P(0,0, 2)，AB=(− 3,1,0)，PB=(0,1,− 2)，
由n⋅AB=− 3x1+y1=0n⋅PB=y1− 2z1=0，得 3x1= 2z1，
取x1=2 33,y1=2,z1= 2，得n=(2 33,2, 2).
设平面PBC的法向量为u=(x2,y2,z2)，
则C(− 3,0,0),B(0,1,0),P(0,0, 2)，CB=( 3,1,0)，PB=(0,1,− 2)，
由u⋅CB= 3x2+y2=0u⋅PB=y2− 2z2=0，取u=(−2 33,2, 2)，
所以cs⟨n,u⟩=n⋅u|n||u|=−43+4+243+4+2=711，
由图可知二面角A−PB−C为钝二面角，
所以二面角A−PB−C的平面角的余弦值为−711.
【解析】(1)利用已知条件和中位线的性质得线线平行，利用线面平行判定定理即可证明线面平行；
(2)利用已知得出线面垂直，利用面面垂直判定定理即可证明面面垂直；
(3)建立空间直角坐标系，由两法向量所成角的余弦值即可得到二面角的余弦值．
本题考查线面平行的证明，面面垂直的证明，向量法求解二面角问题，属中档题．命中球数
7
8
9
10
频数
2
3
4
1
爱运动
不爱运动
合计
男生
m
12
30
女生
8
20
合计
n
50
经常打篮球
不经常打篮球
合计
男生
18
12
30
女生
8
12
20
合计
26
24
50
X
0
1
2
P
110
35
310