2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】- （新高考专用）

这是一份2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】- （新高考专用），文件包含专题41同角三角函数关系式诱导公式与三角恒等变换八大题型举一反三新高考专用原卷版docx、专题41同角三角函数关系式诱导公式与三角恒等变换八大题型举一反三新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】
【新高考专用】
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\l "_Tc3988" 【题型1 正、余弦齐次式的计算】 PAGEREF _Tc3988 \h 2
\l "_Tc3842" 【题型2 “和”“积”转换】 PAGEREF _Tc3842 \h 3
\l "_Tc16394" 【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】 PAGEREF _Tc16394 \h 5
\l "_Tc27692" 【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】 PAGEREF _Tc27692 \h 6
\l "_Tc644" 【题型5 三角恒等变换的化简问题】 PAGEREF _Tc644 \h 7
\l "_Tc9714" 【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】 PAGEREF _Tc9714 \h 9
\l "_Tc9271" 【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】 PAGEREF _Tc9271 \h 11
\l "_Tc23535" 【题型8 三角恒等变换的综合应用】 PAGEREF _Tc23535 \h 14
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等.
【知识点1 同角三角函数关系式的常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
2.同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【知识点2 诱导公式及其应用】
1.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
3.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.
4.同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三角函数值符号的影响.
【知识点3 三角恒等变换几类问题的解题策略】
1.给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4.三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
【题型1 正、余弦齐次式的计算】
【例1】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知1−2sinαcsαcs2α−sin2α=13，则tanα=（ ）
A．13B．12C．13或1D．12或1
【解题思路】利用弦化切可得出关于tanα的等式，即可求得tanα的值.
【解题思路】因为1−2sinαcsαcs2α−sin2α=cs2α+sin2α−2sinαcsαcs2α−sin2α=csα−sinα2csα+sinαcsα−sinα
=csα−sinαcsα+sinα=1−tanα1+tanα=13，解得tanα=12.
故选：B.
【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）已知α∈0,π，且sinα−3csα=2，则tanα=（ ）
A．−3B．−33C．33D．3
【解题思路】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.
【解题思路】由题设(sinα−3csα)2=sin2α−23sinαcsα+3cs2α=4，
所以sin2α−23sinαcsα+3cs2αsin2α+cs2α=tan2α−23tanα+3tan2α+1=4，且α∈0,π，
故tan2α−23tanα+3=4tan2α+4，即3tan2α+23tanα+1=(3tanα+1)2=0，
所以tanα= −33.
故选：B.
【变式1-2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知tanθ=2，则csθ−2sinθcsθ+sinθ=（ ）
A．0B．−53C．-1D．13
【解题思路】分子分母同时除以csθ进行弦切互化即可求解.
【解题思路】由题知，tanθ=2，
则csθ−2sinθcsθ+sinθ=csθcsθ−2sinθcsθcsθcsθ+sinθcsθ=1−2tanθ1+tanθ
=1−2×21+2=−33=−1.
故选：C.
【变式1-3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P−2,5，则sin2αcs2α+1=（ ）
A．−752B．−4513C．−1354D．−257
【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.
【解题思路】由题意知tanα=−52，
则原式=2sinαcsα2cs2α+sin2α=2tanα2+tan2α=−52+54=−4513.
故选：B.
【题型2 “和”“积”转换】
【例2】（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知sinα−csα=13，则sinαcsα=（ ）
A．−89B．23C．49D．179
【解题思路】把sinα−csα=13左右两边进行平方，再根据同角三角函数基本关系即可得到答案.
【解题思路】∵sinα−csα=13，∴(sinα−csα)2=19,1−2sinαcsα=19，∴sinαcsα=49.
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知sinαcsα=−16, π40，可得sinα+csα>0，
因为sinα+csα2=1+2sinαcsα=4925，可得sinα+csα=75，
所以sinαcsαsinα+csα=122575=1235.
故选：D.
【变式2-3】（2023·上海宝山·统考一模）设sinα+csα=x，且sin3α+cs3α=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3=（ ）
A．－1B．12C．1D．2
【解题思路】根据题意，求出sinαcsα=x2−12，则可以得到，
sin3α+cs3α=3x2−x32=a3x3+a2x2+a1x+a0，进而可得a0+a1+a2+a3的值.
【解题思路】sinα+csα=x，故(sinα+csα)2=x2，
得1+2sinαcsα=x2，得到sinαcsα=x2−12，
sin3α+cs3α=(sinα+csα)(sin2α−sinαcsα+cs2α)
=x(3−x2)2=3x2−x32，
所以，3x2−x32=a3x3+a2x2+a1x+a0，
得a0=0，a1=32，a2=0，a3=−12，
则a0+a1+a2+a3=1
故选：C.
【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】
【例3】（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知α∈π2,π，若csπ6−α=−24，则csα+5π6的值为（ ）
A．24B．−24C．−144D．144
【解题思路】根据诱导公式，结合题设，即可求得答案.
【解题思路】由题意得csα+5π6=cs[π−(π6−α)]=−csπ6−α=24，
故选：A.
【变式3-1】（2023上·全国·高一期末）已知sinπ6+α=13，且α∈π3,π，则csπ3−α的值为（ ）
A．−223B．−13C．223D．13
【解题思路】以π6+α为整体，结合诱导公式运算求解.
【解题思路】由题意可得：csπ3−α=csπ2−π6+α=sinπ6+α=13.
故选：D.
【变式3-2】（2023上·高一课时练习）已知 sin(π−α)=13，则sin(α−2021π)的值为（ ）
A．223B．−223
C．13D．−13
【解题思路】根据题意得到sinα=13，再结合诱导公式，准确运算，即可求解.
【解题思路】由sin(π−α)=sinα，可得sinα=13，
则sin(α−2021π)=sin[(α−π)−2020π]=sin(α−π)=−sinα=−13.
故选：D.
【变式3-3】（2023上·江苏常州·高一校联考阶段练习）若cs(π6+α)=13 ，则cs(5π6−α)−sin(5π3+α)=（ ）
A．0B．23C．1+223D．1−223
【解题思路】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.
【解题思路】依题，令π6+α=t，则sint=13,5π6−α=π−π6+α=π−t，
5π3+α=3π2+π6+α=3π2+t，
所以cs(5π6−α)−sin(5π3+α)
=cs(π−t)−sin(3π2+t)
=−cst+cst=0.
故选：A.
【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】
【例4】（2023上·天津·高一校考阶段练习）若tan(7π+α)=a，则sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α的值为（ ）
A．a−1a+1B．a+1a−1C．-1D．1
【解题思路】由诱导公式以及商数公式进行化简运算即可.
【解题思路】由题意得tan(7π+α)=tanα=a，sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α=−sinα−csα−sinα+csα=tanα+1tanα−1=a+1a−1.
故选：B.
【变式4-1】（2023上·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知cs−x+sinπ−x=35，则sinx⋅sinπ2+x=（ ）
A．1625B．−1625C．825D．−825
【解题思路】由诱导公式有sinx⋅sinπ2+x=sinxcsx，已知cs−x+sinπ−x=35，由诱导公式有csx+sinx=35，两边同时平方即可求值.
【解题思路】由cs−x+sinπ−x=35得：csx+sinx=35，
两边平方得：1+2sinxcsx=925，解得：sinxcsx=−825，
∴sinx⋅sinπ2+x=sinxcsx=−825.
故选：D.
【变式4-2】（2023上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）已知sinα+csα=−12，则csπ2+α1−tan−α的值为（ ）
A．−34B．34C．−316D．316
【解题思路】对sinα+csα=−12平方，得到sinαcsα的值，然后对csπ2+α1−tan−α化简求值即可.
【解题思路】因为sinα+csα=−12，所以sinα+csα2=1+2sinαcsα=14，
所以sinαcsα=−38，
所以csπ2+α1−tan−α=−sinα1+tanα=−sinα1+sinαcsα=−sinαcsα+sinαcsα=−sinαcsαcsα+sinα=38−12=−34，
故选：A.
【变式4-3】（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知3cs3π2+θsinπ−θ=2，且θ为第二象限角，则csπ+θsinπ2−θ+sinθ−π=（ ）
A．−1−2B．1+2C．2−1D．1−2
【解题思路】先用诱导公式，将已知和要求的因式都转化成单角形式，即只含有sinθ,csθ,tanθ的形式，再用同角三角函数基本关系式转化即可.
【解题思路】因为3cs3π2+θsinπ−θ=3sin2θ=2，所以sin2θ=23，
且tan2θ=sin2θ1−sin2θ=2.
因为θ为第二象限角，所以tanθ=−2.
则csπ+θsinπ2−θ+sinθ−π=−csθcsθ−sinθ=−11−tanθ=1−2，
故选：D.
【题型5 三角恒等变换的化简问题】
【例5】（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知csx+sinx=23，则sin2xcsx−π4＝（ ）
A．−716B．−726C．−76D．−73
【解题思路】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.
【解题思路】sin2xcsx−π4=2sinxcsx22csx+22sinx=sinx+csx2−122×23=3232−1=−73.
故选：D.
【变式5-1】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）设0