广东省汕头市金平区飞厦中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省汕头市金平区飞厦中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共21页。

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝﹣2x+1C．y＝x2+2D．y＝2x2﹣
3．（3分）用配方法解方程x2+6x+7＝0，则方程可变为（ ）
A．（x﹣3）2＝2B．（x+3）2＝2C．（x﹣6）2＝12D．（x+6）2＝49
4．（3分）下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2的开口向下
B．抛物线 y＝2x2+3的对称轴为直线x＝2
C．抛物线 y＝3（x﹣1）2在对称轴左侧，即x＜1时，y随x的增大而减小
D．抛物线 y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）
5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．AB＝A'B'B．BO＝B'O
C．AB∥A'B'D．∠ACB＝∠C'A'B'
6．（3分）若A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1
7．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0有实数根，则常数a的值不可能为（ ）
A．7B．9C．8D．10
8．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．给出下列三个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC．其中正确的结论共有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
9．（3分）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转 45°，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（﹣，）D．（，﹣）
10．（3分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＜0B．abc＜0C．a﹣b+c＜0D．a+b+c＜0
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）点A（﹣1，4）与点B关于原点对称，则B的坐标为 ．
12．（3分）如果抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6．点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是 个．
14．（3分）关于x的方程x2﹣kx+6＝0有一根﹣2，那么这个方程的另一个根是 ，k＝ ．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18，E为矩形ABCD一边的中点，∠ABE的平分线交边AD于点F，则AF的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）用适当方法解下列方程
（1）3（x+2）2＝x（2+x）；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
17．（8分）在正方形网格中以点A为圆心，AB为半径作圆A交网格于点C（如图（1）），过点C作圆的切线交网格于点D，以点A为圆心，AD为半径作圆交网格于点E（如图（2））．
问题：
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：△AEB≌△ADC；
（3）△AEB可以看作是由△ADC经过怎样的变换得到的？并判断△AED的形状（不用说明理由）．
（4）如图（3），已知直线a，b，c，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形A′B′C′，使三个顶点A′，B′，C′，分别在直线a，b，c上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．
18．（8分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣5，0）．
（1）图中点B的坐标是 ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
（3）△ABC的面积是 ．
19．（9分）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
20．（9分）已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于A（2，b）和B（6，n）两点．
（1）求k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝（x＞0）图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围；
（3）直接写出关于x的不等式（x＞0）＞x+4的解集 ．
21．（9分）黎明同学利用业余时间开设网店销售台灯，第一个月售出A，B两种型号的护眼台灯各50台，售后进行统计得知：A型护眼台灯的平均每台利润是160元，B型护眼台灯的平均每台利润是20元．经网络调查发现：①A型护眼台灯每多销售1台，则其平均每台利润减少2元；每少销售1台．则其平均每台利润增加2元；②B型护眼台灯的平均每台利润始终不变．黎明同学计划第二个月销售A，B两种型号的护眼台灯共100台，设A型护眼台灯比第一期增加x台，第二个月按计划售完A型护眼台灯与B型护眼台灯的利润分别为W1、W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1、W2；
（2）当x取何值时、第二个月按计划售完A，B两种型号的护眼台灯所获得的总利润最大？最大总利润是多少？
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）．
（1）记△ABC外接圆的圆心为点M，求点M的坐标；
（2）D为x轴上的一点，且DC2＝DA•DB，求证：直线DC与圆M相切；
（3）在y轴上是否存在点P，使得，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由．
23．（12分）如图，抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+2m（其中m＞0）与其对称轴l相交于点P．与y轴相交于点A（0，m），连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC，将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C落在抛物线上，设点B、C的对应点分别是点B′和C′．
（1）当m＝1时，该抛物线的解析式为： ．
（2）求证：∠BCA＝∠CAO；
（3）试问：BB′+BC﹣BC′是否存在最小值？若存在，求此时实数m的值，若不存在，请说明理由．
广东省汕头市金平区飞厦中学2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2． 解：A、y＝2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；
B、y＝﹣2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；
C、y＝x2+2，是二次函数，故本选项符合题意；
D、y＝2x2﹣，右边中不是整式，不是二次函数，故本选项不合题意．
故选：C．
3． 解：方程移项得：x2+6x＝﹣7，
配方得：x2+6x+9＝2，即（x+3）2＝2，
故选：B．
4． 解：A．当a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，A选项错误；
B．抛物线 y＝2x2+3的对称轴为直线x＝0，B选项错误；
C．抛物线 y＝3（x﹣1）2在对称轴左侧，即x＜1时，y随x的增大而减小，C选项正确；
D．抛物线 y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），D选项错误．
故选：C．
5． 解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴AB＝A'B'，BO＝B′O，AB∥A′B′，故A，B，C选项正确，
∠ACB＝∠A'C'B'，故D选项错误．
故选：D．
6． 解：∵y＝﹣（x﹣2）2+1，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
∵C（4，y3）关于直线x＝2的对称点是（0，y3），
∵﹣1＜0＜1，
∴y1＜y3＜y2，
故选：A．
7． 解：
∵关于x的方程x2﹣6x+a＝0有实数根，
∴△≥0，即（﹣6）2﹣4a≥0，解得a≤9，
∴不可能为10，
故选：D．
8． 解：∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBC，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠FBC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DB＝DC，AD⊥BC，②、③结论正确；
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，①结论正确；
故选：D．
9． 解：如图，连接OD，BD．把OD绕点O顺时针旋转90°至OD′，过点D作DG⊥y轴于点G，过点D′作DH⊥y轴于点H，
在正六边形ABCDEF中，AF＝AB＝BC＝CD＝1，∠FAB＝∠BCD＝120°，
∴∠FAO＝60°，∠OFA＝30°，
∴OA＝AF＝，BD＝，
BD⊥OB，
∴OB＝OA+AB＝，
∴D（，），
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转45°，
∴8次一个循环，
∵2026÷8＝253……2，45°×2＝90°，
∴经过第2026次旋转后，顶点D的坐标在D′的位置，
∵∠GDO+∠DOG＝90°，∠D′OH+∠DOG＝90°，
∴∠GDO＝∠D′OH，∠DGO＝∠OHD′，
∵OD＝OD′，
∴△DGO≌△OHD′（AAS），
∴OH＝DG＝，OG＝HD′＝，
∴D′（，﹣），
∴经过第2028次旋转后，顶点D的坐标（，﹣），
故选：D．
10． 解：A、∵抛物线开口向上，
∴a＞0，所以A选项错误；
B、∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以B选项错误；
C、由图象可知当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以C选项错误；
D、当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以D选项正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：点A（﹣1，4）与点B关于原点对称，则B的坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
12． 解：根据题意得，
＝±3，
解得c＝6或12．
13． 解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，
∴EC＝4，FC＝2＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝2，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴EM＝，
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为2＜5，
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝4+2＝6，
∴点P在CH上时，2＜PE+PF≤6，
在点H左侧，当点P与点B重合时，
∵FN⊥BC，∠ABC＝90°，
∴FN∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴，
∵AB＝BC＝，
∴FN＝AB＝，
CN＝，
∴BN＝BC﹣CN＝2，
BF＝，
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF＝，
∴PE+PF＝2，
∴点P在BH上时，2＜PE+PF＜2，
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝5．
即共有8个点P满足PE+PF＝5，
故答案为8．
14． 解：设方程的另一个根为t，
根据题意得﹣2+t＝k，﹣2t＝﹣6，
解得t＝﹣3，k＝﹣5，
所以这个方程的另一个根是﹣3，k＝﹣5．
故答案为﹣3，﹣5．
15． 解：在矩形ABCD中，DC＝AB＝12，AD＝BC＝18，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，
∵E为矩形ABCD一边的中点，∠ABE的平分线交边AD于点F，
∴E点不可能是AB的中点，可能是BC的中点或AD的中点或CD的中点，
①如图，若E是BC的中点，则∠ABE＝90°，
∵BF是∠ABE的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABE＝45°，
在Rt△ABF中，∠A＝90°，AB＝12，
∴AF＝AB•tan∠ABF＝12×1＝12；
②若E是AD的中点，则AE＝AD＝9，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE＝＝＝15，
如图，过点F作FGIBE于点G，
则∠BGF＝∠EGF＝90°＝∠A，
∵BF是∠ABE的平分线，
∴∠ABF＝∠GBF，
在△BFG和△BFA中，
，
∴△BFG≌△BFA（AAS），
∴BG＝BA＝12，FG＝FA，
∴EG＝BE﹣BG＝3，
设AF＝x，则FG＝FA＝x，EF＝AE﹣AF＝9﹣x，
在Rt△EFG中，由勾股定理，得
FG2+EG2＝EF2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
即此时AF＝4；
③若E是DC的中点，则CE＝DE＝CD＝6，
在Rt△BCE中，∠C＝90°，由勾股定理，得
BE＝＝＝6，
过点F作FG⊥BE于点G，连接EF，如图，
则∠BGF＝∠EGF＝90°＝∠A，
∵BF是∠ABE的平分线，
∴∠ABF＝∠GBF，
在△BFG和△BFA中，
，
∴△BFG≌△BFA（AAS），
∴BG＝BA＝12，FG＝FA，
∴EG＝BE﹣BG＝6﹣12，
设AF＝y，则FG＝FA＝y，
∴DF＝AD﹣AF＝18﹣y，
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
EF2＝DE2+DF2＝62+（18﹣y）2，
在Rt△EFG中，由勾股定理，得
EF2＝FG2+EG2＝y2+（6﹣12）2，
∴y2+（6﹣12）2＝62+（18﹣y）2，
解得y＝4﹣4，
即此时AF＝4﹣4．
综上所述：AF的长为12或4或4﹣4．
故答案为：12或4或4﹣4．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）∵3（x+2）2＝x（2+x），
∴3（x+2）2﹣x（2+x）＝0，
∴（x+2）（3x+6﹣x）＝0，
∴x+2＝0或2x+6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣3；
（2）∵2x2+3x﹣2＝0，
∴（x+2）（2x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或2x﹣1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝．
17． 解：（1）连接BC，由网格可知点C在AB的中垂线上，
∴AC＝BC，
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠ABC＝60°；
（2）∵CD切⊙A于点C，
∴∠ACD＝90°∠ABE＝∠ACD＝90°，
在Rt△AEB与Rt△ADC中，
∵AB＝AC，AE＝AD．
∴Rt△AEB≌Rt△ADC（HL）；
（3）△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的．
△AED是等边三角形；
（4）①在直线a上任意取一点，记为A′，作A′M⊥b，垂足为点M，并延长AM；
②以点M为圆心，A'M的长为半径画弧，交A'M的延长线于N；
③以点A′为圆心，A′N的长为半径画弧，与直线b交于点H，连接AH，NH，则△A'NH是等边三角形；
④过点N作NC'⊥HN交直线c于点C′，连接A′C′；
⑤以点A′为圆心，A′C′的长为半径画弧，交直线b于点B′；（注：△A'NC'≌△A'HB'）
⑥连接A′B′、B′C′，则△′AB′C′为所求等边三角形．
①在直线a上任取一点，记为点A′，作A′M′⊥b，垂足为点M′；②作线段A′M′的垂直平分线，此直线记为直线d；③以点A′为圆心，A′M′长为半径画圆，与直线d交于点N′；④过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′，连接A′C′；⑤以点A′为圆心，A′C′长为半径画圆，此圆交直线b于点B′；⑥连接A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求等边三角形．
18． 解：（1）根据图示知，点B的坐标为（﹣3，4）；
（2）由（1）知，B（﹣3，4），
∴点B关于原点对称的点C的坐标是（3，﹣4）；
∵点A的坐标（﹣5，0），
∴点A关于y轴对称的点D的坐标是（5，0）；
（3）由勾股定理求得，AB＝2，AC＝4，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AB⊥AC，
∴S△ABC＝AB•AC＝×2×4＝20；
故答案为：（1）（﹣3，4）；
（2）（3，﹣4）；（5，0）；
（3）20；
19． 解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（33﹣2x+2）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，33﹣2x+2＝15＜18，
当x2＝7.5时33﹣2x+2＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（33﹣2x+2）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
Δ＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
20． 解：（1）当x＝6时，n＝﹣×6+4＝1，
∴点B的坐标为（6，1）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B（6，1），
∴k＝6×1＝6．
（2）∵k＝6＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤x≤6时，1≤y≤3；
（3）由图象可知，不等式（x＞0）＞x+4的解集是0＜x＜2或x＞6，
故答案为0＜x＜2或x＞6．
21． 解：（1）A型护眼台灯比第一期增加x台，则B型护眼台灯比第一期减少x台，
由题意的：W1＝（160﹣2x）（50+x）＝﹣2x2+60x+8000，
W2＝20（50﹣x）＝﹣20x+1000；
（2）设总利润为W，
则W＝W1+W2＝﹣2x2+60x+8000﹣20x+1000＝﹣2x2+40x+9000＝﹣2（x﹣10）2+9800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝10时，W有最大值，最大值为9800，
∴当x＝10时，第二个月按计划售完A，B两种型号的护眼台灯所获得的总利润最大，最大总利润是9800元．
22． （1）解：∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB＝4+1＝5，，，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴△ABC外接圆的直径为AB，
∴外接圆的圆心点M的坐标为；
（2）证明：∵DC2＝DA⋅DB，即，
又∵∠CDA＝∠BDC，
∴△CDA∽△BDC，
∴∠DCA＝∠DBC，
连接MC，如图1，
∵MC＝MB，
∴∠MCB＝∠MBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠MCA+∠MCB＝∠MCA+∠DCA＝90°，
即CD⊥半径MC，
∴直线DC与圆M相切；
（3）解：过点M作MQ⊥AB交圆M于点Q，当点Q在x轴上方时，以点Q为圆心，QA为半径作圆，交y轴正半轴于点P，则，
过点Q作QN⊥y轴于点N，连接PQ，如图2，
则四边形OMQN是矩形，
∴，，
∵圆Q是△ABP的外接圆，
∴，
∴，
∴，
∴P点坐标为；
如图3，过点M作MQ⊥AB交圆M于点Q，当点Q在x轴下方时，以点Q为圆心，QA为半径作圆，交y轴负半轴于点P，则，
同理，求得P点坐标为；
综上，P点坐标为或．
23． 解：（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，
则二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m…①，
则点P的坐标为（m+1，2m），点A的坐标为（0，m），
把m＝1代入①式，整理得：y＝﹣x2+x+1，
故：答案为：y＝﹣x2+x+1；
（2）把点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：
，解得：，
则直线PA的表达式为：y＝x+m，
令y＝0，解得：x＝﹣m﹣1，即点B坐标为（﹣m﹣1，0），
同理直线OP的表达式为：y＝x…②，
将①②联立得：a（x﹣m﹣1）2+2m﹣x＝0，其中a＝﹣，
该方程的常数项为：a（m+1）2+2m，
由韦达定理得：x1x2＝xC•xP＝＝＝﹣（m+1）2，
其中xP＝m+1，
则xC＝﹣m﹣1＝xB，
∴BC∥y轴，
∴∠BCA＝∠CAO；
（3）如图当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC﹣BC′存在最小值，
设：直线l与x轴的交点为D点，连接BB′、CC′，
∵点C关于l的对称点为C′，
∴CC′⊥l，而OD⊥l，∴CC′∥OD，∴∠POD＝∠PCC′，
∵∠PB′C′+∠PB′B＝180°，
△PB′C′由△PBC旋转而得，
∴∠PBC＝∠PB′C′，PB＝PB′，∠BPB′＝∠CPC′，
∴∠PBC+∠PB′B＝180°，
∵BC∥AO，
∴∠ABC+∠BAO＝180°，
∴∠PB′B＝∠BAO，
∵PB＝PB′，PC＝PC′，
∴∠PB′B＝∠PBB′＝，
∴∠PCC′＝∠PC′C＝，
∴∠PB′B＝∠PCC′，
∴∠BAO＝∠PCC′，
而∠POD＝∠PCC′，
∴∠BAO＝∠POD，
而∠PDO＝∠BOA＝90°，
∴△BAO∽△POD，
∴＝，
将BO＝m+1，PD＝2m，AO＝m，OD＝m+1代入上式并解得：
m＝1+（负值已舍去）．