广东省汕头市金平区飞厦中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

这是一份广东省汕头市金平区飞厦中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了下列函数中是二次函数的是，将方程化为的形式，正确的是，在抛物线上的一个点是等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数中是二次函数的是( )
A．B．C．D．
3．将方程化为的形式，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在抛物线的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点B．C．D．
6．在抛物线上的一个点是（ ）
A．(4，4)B．(3，-1)C．(-2，-8)D．(1，-)
7．如果一元二次方程总有实数根，那么p应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，与相交于点E，下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．是等腰三角形
9．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，顶点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．若抛物线，点为抛物线上两点，则 ．（用“”或“”号连接）
13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，相交于点O，CE平分交BD于点E，则 ．
14．若一元二次方程的两个根为，，则的值为 ．
15．如图，P是正方形内一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接下列结论：
①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为2；③；④；⑤．其中正确的结论是 （填序号）．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解方程：．
17．如图，菱形的对角线，交于点，，将线段绕点逆时针旋转度得到线段．

（1）尺规作图：求作线段；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求证：，，在同一条直线上．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为

(1)请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标．
(2)求的面积？
19．在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的每平方米10000元下降到5月份的每平方米8100元．
（1）求4、5两月平均每月降价的百分率；
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到6月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米7200元？请说明理由．
20．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出的的取值范围．
21．网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．材料：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，∵M是的中点，∴，……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知内接于，D是的中点，依据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为__________；
(3)如图4，已知等腰内接于，D为上一点，连接于点E，的周长为，请求出的长．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）
(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判定，判定轴对称图像关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴对折后可重合；判定中心对称图形是寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2．D
【分析】根据二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、右边不是整式，不符合题意；
C、，当时，不是二次函数，不符合题意；
D、是二次函数，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握形如（a、b、c是常数，）的函数是二次函数是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查一元二次方程的配方法.
【详解】方程原式得：x2-7x=-6
即x2-7x+=
即（x-）2=.
所以答案选C.
【点睛】掌握完全平方公式是解题关键.
4．B
【分析】确定对称轴及开口方向后即可讨论其增减性．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为，
开口向下，
若随的增大而增大，则的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定抛物线的对称轴，难度不大．
5．D
【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．
【详解】解：A．∵与关于点O成中心对称，
点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意；
B．∵对应点到对称中心的距离相等，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵与是对应线段，
∴，故C正确，不符合题意；
D．与不是对应角，
∴不成立，故D符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】把的值代入，计算函数值，比较，等于给定的函数值即可．
【详解】解：当时，，
∴A选项不符号题意；
当时，，
∴B选项不符号题意；
当时，，
∴C选项不符号题意；
当时，，
∴D选项符号题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与抛物线的位置关系，当点的坐标满足二次函数的解析式，点在抛物线上；当点不满足二次函数的解析式时，点不在抛物线上，体现了数形结合的思想．
7．A
【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于p的不等式，解答即可．
【详解】∵方程总有实数根，
∴，
∵，，，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．C
【分析】先证明，可得，从而得到，进而得到，再根据，可得，从而得到是等腰三角形，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故C选项错误，符合题意；
∵，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故D选项正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查了三角形全等的判定定理以及性质，等腰三角形的性质．关键是要把握三角形全等的判定定理是解题的关键．
9．D
【分析】根据正六边形的特点分别求出每个内角，外角的度数，以及边长的关系，再根据旋转的特殊计算出旋转规律，由此可知当时，点所在位置，由此即可求解．
【详解】解：∵正六边形，
∴每个内角的度数为，即，
∴正六边形的一个外角为，即与轴正半轴的夹角为，
如图所示，未旋转时，连接，正六边形的边长为，，过点作于点，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴，
当正六边形绕点顺时针旋转，
∴，即旋转次，正六边形回到起始位置，
∴当时，，即旋转次后，又旋转了个，即回到起始位置后又旋转了，如图所示，
∴，，
∴，即当时，顶点的坐标是，
故选：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形变换与点坐标，掌握几何图形的特点及变换的规律，找出点坐标变换的规律是解题的关键．
10．B
【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝−，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．
【详解】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．
11．
【分析】根据题意直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而分析得出答案．
【详解】解：点M（-5，4）关于原点对称的点的坐标为（5，-4）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查点关于原点对称点的性质，熟练并正确掌握关于原点对称点的性质是解题的关键．
12．
【分析】根据题意可得抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，从而得到点离抛物线的对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴点离抛物线的对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键．
13．
【分析】由正方形对角线相交于点O，则DO⊥CO，DO=BD，过点E作EF⊥CD于F，设EO=EF=DF=x，则DE=，列出方程，解出x，最后得出答案．
【详解】如图所示，过点E作EF⊥CD于F，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC=BD=，DO⊥CO，
∴OA=OC=OB=OD=，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO=EF，
∵在正方形ABCD中，∠ADB=∠CDB=45°，
∴EF=DF，
设EO=EF=DF=x，则DE=
∵OD=OE+DE=，
∴解得
∴DE=OD-OE=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与角平分线的性质，解题的关键是根据角平线的性质作出辅助线．
14．2
【分析】根据一元二次方程的根的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
15．①③④
【分析】①证明，则可知①正确；
②连接点P与点，证出 为等腰直角三角形，进而得到，故②错误；
③由 为等腰直角三角形可得，由可得，根据勾股定理可得为直角三角形，且 ，即可得到，故③正确；
④将△APD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接PE，过点A作AH⊥PE交于H，先得到D、P、E三点共线，再利用等腰直角三角形的性质得到AH=PH= ，在Rt△DAH中，利用勾股定理可得，即，故④正确；
⑤过P点作PF⊥AB于F，设AF=x，可得 即，解方程求x，再利用勾股定理求出，则，故⑤错误．
【详解】解：①∵四边形是正方形，
∴ ，
∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴可以由绕点A逆时针旋转得到，正确；
②连接点P与点，
∵，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
故点P与的距离为2错误；
③由②知 为等腰直角三角形，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴为直角三角形，且 ，
∴ ，
④将△APD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接PE，过点A作AH⊥PE交于H，
∴ ，
∴∠APE=45°，
由③知∠DPA=135°，
∴ ，
∴D、P、E三点共线，
∵AP=AE=2，△APE为等腰直角三角形，
∴AH=PH= ，
∴在Rt△DAH中， ，
∴，正确；
⑤由④知，，
∴ ，
过P点作PF⊥AB于F，设AF=x，
∵ ，
∴ 即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故错误；
故答案为：①③④．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是解本题的关键．
16．．
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
，
∴，
∴，
两边开平方，得
，
∴．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．
17．（1）画图见解析；（2）见解析
【分析】（1）作等边三角形即可；
（2）由和旋转得，，由菱形的性质得，，由等边三角形的性质得，，可证，即可得出，即为平角得证．
【详解】（1）
如图，以点为圆心，为半径画一段弧，再以点为圆心，为半径画一段弧，两弧的交点为点，
则，，
是等边三角形，
，
为所做线段；
（2）
如图所示，连接，
，，DO=DE，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
在与中，
，
，
，
，
为平角，
，，在同一条直线上．
【点睛】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形，掌握相关知识点找出边角关系是解决本题的关键．
18．(1)见解析，
(2)
【分析】（1）首先确定、、三点关于原点成中心对称的对称点，再连接即可；
（2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：的面积为．
【点睛】本题主要考查了作图——中心对称变换，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
19．（1）10%；（2）不会，见解析
【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为，连续两次降价后的价格为每平方米元，列方程求出的值即可；
（2）按（1）中求出的百分比求出的值即得到6月份的成交均价，可知是否会跌破每平方米7200元．
【详解】解：（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为，
根据题意得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：4、5两月平均每月降价的百分率为．
（2）不会．
理由：（元，且7290元元，
到6月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方米7200元．
【点睛】本题考查解一元二次方程、列一元二次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是根据题意列出相应的等式，是一道求平均降价率的典型题．
20．(1)；
(2)
【分析】（1）将点代入反比例函数求得，进而求得，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据函数图像，结合交点坐标的横坐标，写出直线在双曲线上方的自变量的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上．
∴，解得：．
∴反比例函数的解析式为：．
∵A(，4)在反比例函数的图像上．
∴，解得：．
∴
把，代入，得：
，
解得：．
一次函数的解析式为：．
（2）解：∵，，
结合函数图像可知，的的取值范围为，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
21．（1）；（2）销售单价x应定为15元；（3）当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【分析】（1）当时，可直接根据图象写出；当时，y与x成一次函数关系，用待定系数法求解即可；
（2）每千克的利润=x－10，根据销售利润=每千克的利润×销售量，列出方程，解方程即得结果；
（3）销售利润w，根据销售利润=每千克的利润×销售量，可得w与x的二次函数，再根据二次函数求最值的方法即可求出结果．
【详解】解：（1）由图象知，当时，；
当时，设，将，代入得
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
综上所述，；
（2），
∵，
∴，
∴，
解得：（不合题意舍去），，
答：销售单价x应定为15元；
（3）当时，，
∵，，
∴当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键．
22．(1)该证明的剩余部分见解析
(2)
(3)4
【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可证明结论；
（2）直接根据“截长法”即可证明结论；
（3）根“截长法”得出CE=BD+DE，进而求出CE，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD．
（2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为
故答案为：．
（3）解：∵AB=AC，D为上一点
∴A是的中点，
根据“截长法”可得：CE=BD+DE，
∵△BCD的周长为4+2，
∴BD+CD+BC=4+2，
∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4+2，
∵BC=2，
∴CE=2，
在Rt△ACE中，∠ACD=45°，
∴AC=CE=4．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长法”是解答本题的关键．
23．(1)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，顶点坐标为(-1，4)；
(2)①P(−−1，2)
②当x＝−时，S四边形PABC最大=，此时P(-，)．
【分析】(1)把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)①由PA⊥NA，且PA=NA，可证△PAD≌△ANQ(AAS)，则PD=AQ，PD=AQ=AO-QO=3-1=2，即：即y=-x2-2x+3=2，即可求解；②利用S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA，求解即可．
（1）
解：把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得，
故：抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1，4)；
（2）
∵A(-3，0)，B(1，0)，
OA=3，OB=1，
如解图，作PD⊥x轴于点D，设对称轴l与x轴交于点Q，连接AC，OP，
∵点P在y=-x2-2x+3上，
∴设点P(x，-x2-2x+3)，
∵PA⊥NA，且PA=NA，
∴∠PAD+∠APD=∠PAD+∠NAQ=90°，
∴∠APD=∠NAQ，
又∵∠PDA=∠AQN=90°，
∴△PAD≌△ANQ(AAS)，
∴PD=AQ，
∴PD=AQ=AO-QO=3-1=2
即：y=-x2-2x+3=2
解得：x＝−1(舍去)或x＝−−1，
∴点P坐标为(−−1，2)；
②连接OP，设P(x，-x2-2x+3)，且-3＜x＜0
S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA
∵S△OBC=OB×OC=×1×3=，S△OCP=OD×OC=|x|×3
又-3＜x＜0，所以S△OCP=−x，
S△OAP=×3×|yP|=(-x2-2x+3)=−x2−3x+
∴S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA
=+(−x)+(−x2−3x+)=−x2−x+6，
∴当x＝−时，S四边形PABC最大=，
此时P(-，)．
【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用．涉及到待下系数法求二次函数解析式，三角形全等、三角形的面积等知识，其中(2)，S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA是本题的难点．