广东省东莞市香市中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省东莞市香市中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．
C．3x2﹣4x+5＝0D．2x2﹣2xy﹣5y＝0
2．（3分）一元二次方程2x2+1＝6x化成一般形式后，一次项和常数项分别是（ ）
A．2x2、1B．2、6C．﹣6x、1D．﹣6、1
3．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x﹣3）2+4
C．y＝（x﹣3）2+3D．y＝2（x﹣3）2+3
4．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
5．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（ ）个球队参加比赛．
A．6B．7C．8D．9
6．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
7．（3分）若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（ ）
A．2B．3C．﹣4D．﹣9
8．（3分）对于二次函数y＝5（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大
9．（3分）若函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．3或5B．3C．4D．5
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，下列结论：
①abc＞0；
②a+2b＝0；
③a﹣b+c＞0；
④若P（﹣4，y1），Q（8，y2）是该函数图象上两点，则y1＝y2．
正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．1
二、填空题（每小题3分，共6小题）
11．（3分）方程x（2x+1）＝0的解为 ．
12．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
13．（3分）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．
14．（3分）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝x2与y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
15．（3分）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为 ．
16．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是 ．
三、解答题（每小题6分，共3小题）
17．（6分）解方程：
（1）；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣m＝0（m为常数）．若x＝2是该方程的一个实数根，求m的值和另一个实数根．
19．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
四、解答题（每小题8分，共3小题）
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1•x2＝﹣3，求k的值．
21．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
22．（8分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
五、解答题（每小题10分，共3小题）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）求原方程的两个根（用含m的式子表示）；
（3）若原方程的两个实数根均大于3，求m的取值范围．
24．（10分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接CD、BD，求△BDC面积的最大值；
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
2023-2024学年广东省东莞市香市中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共10小题）
1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．
C．3x2﹣4x+5＝0D．2x2﹣2xy﹣5y＝0
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项判断即可．
【解答】解：A．ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，故选项A不符合题意；
B.，分母含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，故选项B不符合题意；
C.3x2﹣4x+5＝0符合一元二次方程的定义，故选项C符合题意；
D.2x2﹣2xy﹣5y＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项D不符合题意．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程2x2+1＝6x化成一般形式后，一次项和常数项分别是（ ）
A．2x2、1B．2、6C．﹣6x、1D．﹣6、1
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．
【解答】解：2x2+1＝6x，
2x2﹣6x+1＝0，
所以一次项和常数项分别是﹣6x，1，
故选：C．
3．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x﹣3）2+4
C．y＝（x﹣3）2+3D．y＝2（x﹣3）2+3
【分析】利用函数图象的平移规律即可求解．
【解答】解：将抛物线y＝2x2﹣1的图象先向右平移3个单位得到：y＝2（x﹣3）2﹣1，
再向上平移4个单位得到：y＝2（x﹣3）2+3．
故选：D．
4．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：∵x2+8x+7＝0，
∴x2+8x＝﹣7，
⇒x2+8x+16＝﹣7+16，
∴（x+4）2＝9．
∴故选：A．
5．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（ ）个球队参加比赛．
A．6B．7C．8D．9
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程求解．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）÷2＝28，
解得x＝8或﹣7（舍去）．
故应邀请8个球队参加比赛．
故选：C．
6．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝2，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+c+4，
∴对称轴为x＝2，
∵a＜0，
∴x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，且﹣1＜2＜3，|﹣1﹣2|＞|2﹣3|，
∴y1＜y3＜y2．
故选：D．
7．（3分）若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（ ）
A．2B．3C．﹣4D．﹣9
【分析】把x＝a代入方程求得2a2+a＝4，然后根据6a2+3a﹣9＝3（2a2+a）﹣9即可求解．
【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2+a﹣4＝0，
则2a2+a＝4，
则6a2+3a﹣9＝3（2a2+a）﹣9＝12﹣9＝3．
故选：B．
8．（3分）对于二次函数y＝5（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题．
【解答】解：因为二次函数的表达式为y＝5（x+3）2，
所以抛物线的开口向上．
故A说法正确；
又抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，
故B说法正确；
因为抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），
故C说法正确；
因为抛物线对称轴为直线x＝﹣3，且开口向上，
所以当x＜﹣3时，y随x的增大而减小．
故D说法不正确；
故选：D．
9．（3分）若函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．3或5B．3C．4D．5
【分析】分m﹣3＝0及m﹣3≠0两种情况考虑：当m＝3时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出m＝3符合题意；当m≠3时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上即可得出结论．
【解答】解：①当m﹣3＝0，即m＝3时，y＝﹣4x+2，
令y＝0，则﹣4x+2＝0，
解得x＝，
∴此时函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，
②当m﹣3≠0时，
∵二次函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣8（m﹣3）＝0，
解得m＝5．
综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5．
故选：A．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，下列结论：
①abc＞0；
②a+2b＝0；
③a﹣b+c＞0；
④若P（﹣4，y1），Q（8，y2）是该函数图象上两点，则y1＝y2．
正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．1
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及对称性逐个进行判断即可．
【解答】解：抛物线开口向上得a＞0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，因此①符合题意；
由﹣＝2，可知b＝﹣4a，所以a+2b＝﹣7a＜0，因此②不符合题意；
由对称轴和抛物线的对称性，可得当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故③符合题意；
由对称轴和抛物线的对称性，可得P（﹣4，y1），Q（8，y2）是该函数图象上两点，则y1＝y2．因此④符合题意；
综上所述，正确的结论有3个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共6小题）
11．（3分）方程x（2x+1）＝0的解为 x1＝0， ．
【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【解答】解：∵x（2x+1）＝0，
∴x＝0或2x+1＝0，
解得：x1＝0，．
故答案为：x1＝0，．
12．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+．
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，y取得最大值，最大值＝．
故答案为：．
13．（3分）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 10 ．
【分析】方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．
【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝4，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；
若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4＝10，
故答案为：10．
14．（3分）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝x2与y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是 8 ．
【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵函数y＝x2与y＝﹣x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为8．
15．（3分）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为 ﹣1＜x＜6 ．
【分析】根据图象关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集是：﹣1＜x＜6．
故答案为：﹣1＜x＜6．
16．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是 7 ．
【分析】由根与系数的关系得出x1+x2＝3，x1•x2＝1，x1是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根得出x12﹣3x1＝﹣1，进一步整体代入求得答案即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝1，x12﹣3x1＝﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2
＝﹣1+3（x1+x2）+x1x2﹣2
＝﹣1+9+1﹣2
＝7．
故答案为：7．
三、解答题（每小题6分，共3小题）
17．（6分）解方程：
（1）；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
【分析】（1）直接开方法解方程；
（2）利用配方法解方程．
【解答】解：（1）（x+1）2＝25，
∴（x+1）2＝100，
∴x1＝9，x2＝﹣11；
（2）x2﹣4x﹣12＝0，
x2﹣4x＝12，
x2﹣4x+4＝16，
（x﹣2）2＝16，
x﹣2＝±4，
∴x1＝6，x2＝﹣2．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣m＝0（m为常数）．若x＝2是该方程的一个实数根，求m的值和另一个实数根．
【分析】将x＝2代入原方程可求出m的值和另一个根．
【解答】解：将x＝2代入原方程得2×22﹣5×2﹣m＝0，
解得m＝﹣2，
∴原方程为2x2﹣5x+2＝0，
解得，x2＝2，
∴m的值为﹣2；另一个根为．
19．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，利用抛物线的解析式解答即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论分别求出线段AB，OC的长度，利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
∴△ABC的面积＝AB•OC＝4×3＝6．
四、解答题（每小题8分，共3小题）
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1•x2＝﹣3，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2，x1x2＝2k﹣5，代入中即可求解．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（2k﹣5）＞0，
∴解得：k＜3，
即k的取值范围为：k＜3；
（2）∵x1，x2是方程x2+2x+2k﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝2k﹣5，
∵，
∴，
∴（﹣2）2+2k﹣5＝﹣3，
解得：k＝﹣1．
21．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
22．（8分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝ （51﹣3x） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
【分析】（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【解答】解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
五、解答题（每小题10分，共3小题）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）求原方程的两个根（用含m的式子表示）；
（3）若原方程的两个实数根均大于3，求m的取值范围．
【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可；
（2）利用因式分解计算即可；
（3）根据两根都大于3，列出不等式解不等式即可．
【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0，
Δ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）＝4m2﹣8m+4﹣4m2+8m＝4＞0，
∴无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0，
（x﹣m）（x﹣m+2）＝0，
∴x1＝m，x2＝m﹣2；
（3）解：由（2）可知方程的两根为x1＝m，x2＝m﹣2，
∵原方程的两个实数根均大于3，
∴，
∴m＞5．
24．（10分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可求出结论；
（3）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价7元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．
故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．
（2）（60﹣4﹣40）×（20×4+60）
＝16×140
＝2240（元）．
答：当每千克干果降价4元时，超市获利2240元．
（3）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，
整理得：x2﹣17x+60＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝12．
答：这种干果每千克应降价12元．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接CD、BD，求△BDC面积的最大值；
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由点D横坐标为m得出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可求解；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+BM2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【解答】解：（1）由题意得：C（0，5），
∴设y＝a（x+1）（x﹣5），
∴5＝a（0+1）（0﹣5），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
即y＝﹣x2+4x+5；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，
设D（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+5），
∴DE＝﹣m2+4m+5+m﹣5＝﹣m2+5m，
∴△BDC面积＝5（﹣m2+5m）＝﹣（m﹣）2+≤，
∴△BDC面积的最大值为：；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，故设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，
解得t＝7，
此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，
解得t＝﹣3，
此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+BM2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，
解得t1＝6，t2＝﹣1，
此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．