广东省江门市蓬江区陈白沙中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省江门市蓬江区陈白沙中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了下列命题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是1%，那么买100张彩票一定有1张中奖
B．某次试验投掷图钉500次，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．如果一个事件发生的可能性很小，那么它的概率为0
D．试验得到的频率与概率不可能相等
3．（3分）一元二次方程x2﹣6x+3＝0，配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝6B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝6D．（x+3）2＝3
4．（3分）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1．若关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣4≤x＜1的范围内只有一个解，则t的值是（ ）
A．t＝7B．t＝3C．t＝7或t＝D．t＝3或t＝
5．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣3
6．（3分）如图，⊙O中弦AB、CD相交于点E，连接BD、AC，则图中相等的角共有（ ）对．
A．2B．4C．6D．8
7．（3分）下列命题：
①三角形的内心到三角形各边的距离相等；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③过平面内三点可以作一个圆；
④经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
⑤90°的圆周角所对的弦是直径．
其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB'C'D'，使点D恰好与AC'的中点重合，AB'交DC于点E，则△ADE的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．4
9．（3分）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽增加（2﹣4）m时，则水面应下降的高度是（ ）
A．2mB．1mC．mD．（﹣2）m
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④4b+c＝12m．其中正确的有是（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知点A（3，﹣2）与点B（a，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．（4分）如果二次函数y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，那么a的值是 ．
13．（4分）若a是方程2x2﹣4x+1＝0的一个根，则代数式2021﹣2a2+4a的值为 ．
14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝40°，则∠C＝ °．
15．（4分）“抛掷图钉实验”的结果如下：
由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是 ．（精确到0.1）
16．（4分）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4…，B2022在y轴的正半轴上，△OA1B1，、△B1A2B2、…、△B2021A2022B2022都是等腰直角三角形，则B2021A2022＝ ．
三．解答题（共9小题，满分66分）
17．（6分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
18．（6分）如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，点D落在AC边上．
（1）尺规作图：作出△ADE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接CE，若AB＝3，BC＝4，求CE的长．
19．（6分）已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到边BC边的距离为4，且BC＝6，则边BC上的高为 ．
20．（7分）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ．
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率．
21．（7分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．
22．（7分）某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）．在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：
（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式 （不用写自变量x的取值范围）；
（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与轴交于另一点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）a2+ba+c＜﹣5x+5的解集是 ；
（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．
24．（9分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，D在⊙O上，连接CD、BD，CD交AB于点F，过点C作CE⊥DB于点E，CE＝DE，连接OE．
（1）如图1，求证：∠BOC＝90°；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于H，求证：HF＝DH；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EG∥AB交CD于点G，若点F为BH的中点，EG＝5，求线段DH的长．
25．（9分）综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将正方形纸片ABCD依次沿对角线AC、BD对折，把纸片展平，折痕的交点为O；
操作二：在AB上取一点E，在BC上取一点F，沿EF折叠，使点B落在点O处，然后延长EO交DC于点G，连接FG．
如图1是经过以上两次操作后得到的图形，则线段EF和FG的数量关系是 ．
（2）迁移思考
图2是把矩形纸片ABCD按照（1）中的操作一和操作二得到的图形．请判断AE，EF，FC三条线段之间有什么数量关系？并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
图2中，若点E是边AB的三等分点，直接写出的值．
广东省江门市蓬江区陈白沙中学2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2． A、某彩票的中奖概率是1%，那么买100张彩票一定有1张中奖，故A不符合题意；
B、某次试验投掷500次，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616，故B符合题意；
C、如果一个事件发生的可能性很小，那么它的概率在0和1之间，故C不符合题意；
D、试验得到的频率与概率可能相等，故D不符合题意；
故选：B．
3． 解：方程x2﹣6x+3＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣3，
配方得：x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6．
故选：A．
4． 解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
解得b＝2，
∴一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0可以写成x2+3x+3﹣t＝0，
当方程x2+3x+3﹣t＝0有两个相等的实数根时，32﹣4×（3﹣t）＝0，解得t＝，此时x＝﹣＝﹣，
∵关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣4≤x≤1的范围内只有一个解，
∴当t＝，x＝﹣符合题意；
令y＝x2+3x+3﹣t，
则或，
解得t＝7，
由上可得，t的值是或7，
故选：C．
5． 解：将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3．
故选：C．
6． 解：由同弧所对的圆周角相等，可得∠A＝∠D，∠B＝∠C，
由对顶角相等，可得∠DEB＝∠AEC，∠AED＝∠BEC．
故相等的角共有4对．
故选：B．
7． 解：①∵三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，
∴三角形的内心到三角形各边的距离相等，本小题说法正确；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故本小题说法错误；
③过平面内不在同一直线上的三点可以作一个圆，故本小题说法错误；
④经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本小题说法错误；
⑤90°的圆周角所对的弦是直径，本小题说法正确；
故选：A．
8． 解：如图，连接AC，
∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，
∴sin∠ACD＝，
∴∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，
∵AB＝CD＝6，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DAC＝60°，
∴∠DAD′＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝2，
∴S△ADE＝×AD×DE＝2．
故选：A．
9． 解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，
∴OA＝OB＝AB＝2米，
∵抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把x＝代入抛物线解析式得出：y＝﹣0.5×6+2＝﹣1，
∴水面应下降的高度是1米，
故选：B．
10． 解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，
故结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b＝﹣m，
∵b＝2a，
∴a＝﹣m，
∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝m，
∴4b+c＝﹣2m+m＝﹣m，
故结论④错误．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11． 解：∵点A（3，﹣2）与点B（a，b）关于原点对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12． 解：∵y＝﹣x2+2ax+3
＝﹣（ x2+2ax+a2）+a2+1
＝﹣（x+a）2+a2+1，
由于对称轴是直线x＝﹣1，
∴a＝﹣1，
故答案为﹣1．
13． 解：把x＝a代入2x2﹣4x+1＝0，得2a2﹣4a+1＝0，
变形得2a2﹣4a＝﹣1，
∴2021﹣2a2+4a＝2021﹣（2a2﹣4a）＝2021﹣（﹣1）＝2022．
故答案为：2022．
14． 解：连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠A＝40°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝80°，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣80°＝10°，
故答案为：10．
15． 解：由表可知，随着抛掷次数的增加，频率逐渐稳定在0.6附近，
故“针尖不着地的”的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6．
16． 解：设A1B1＝x，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，
∴OB1＝x，
则A1的坐标为（x，x），代入二次函数，
得x＝x2+x，
解得x＝1或x＝0（舍），
设A2B2＝m，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴B1B2＝m，
∴A2的坐标为（m，1+m），
代入二次函数y＝x2+x，得m2+m＝1+m，
解得m＝2或m＝﹣1（舍），
同理可求出A3B3＝3，
A4B4＝4，
∴B2022A2022＝2022，根据勾股定理，得B2021A2022＝2022，
故答案为：2022．
三．解答题（共9小题，满分66分）
17． 解：x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0，x﹣2＝0，
解方程得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴方程的解是x1＝﹣4，x2＝2．
18． 解：（1）如图，△ADE即为所求．
（2）由旋转可得，AD＝AB＝3，DE＝BC＝4，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
由勾股定理得，AC＝＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝，
∴CE的长为．
19． 解：（1）如图，⊙O即为所求．
（2）连接OC．
在Rt△ODC中，∵OD＝4，CD＝3，
∴OC＝＝＝5，
∵OA＝OC＝5，
∴AD＝AO+OD＝5+4＝9，
故答案为9．
20． 解：（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的两张牌牌面数字之和大于9的结果有4个，
∴抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率为＝．
21． 解：（1）把x＝1代入方程得1+2m﹣1+m2＝0，
解得m1＝0，m2＝﹣2，
即m的值为0或﹣2；
（3）存在．
∵α、β是方程的两个实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∴m≤；
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
22． 解：设（1）y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+400，
故答案为：y＝﹣2x+400；
（2）根据题意得：（x﹣60）（﹣2x+400）＝8000，
解得x1＝100，x2＝160，
∵公司尽可能多让利给顾客，
∴应定价100元；
（3）根据题意得w＝（x﹣60﹣10）（﹣2x+400）＝﹣2x2+540x﹣28000＝﹣2（x﹣135）2+8450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝135时，w有最大值，最大值为8450，
答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大．
23． 解：（1）∵直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，
∴A（1，0）C（0，5），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．
当y＝0时，0＝x2﹣6x+5．解得x1＝1，x2＝5．
所以B点坐标为（5，0）．
答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；B点坐标为（5，0）．
（2）观察图象可知：a2+ba+c＜﹣5x+5的解集是0＜x＜1．
故答案为：0＜x＜1．
（3）设M（m，m2﹣6m+5），
∵S△ABM＝S△ABC＝××4×5＝6．
∴×4•|m2﹣6m+5|＝6，
∴|m2﹣6m+5|＝±3．
∴m2﹣6m+8＝0或m2﹣6m+2＝0，
∴m1＝2，m2＝4或．
∴M点的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）或或．
答：此时点M的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）或或．
24． （1）证明：∵CE⊥DB，CE＝DE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
∵∠CDB与∠COB是弧BC所对的圆周角与圆心角，
∴∠BOC＝2∠CDB＝90°；
（2）证明：连接OD，
∵HD为⊙O的切线，
∴∠HDO＝90°，即∠HDF+∠CDO＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠COB＝90°，
∴∠OCF+∠OFC＝90°，
∴∠HDF＝∠OFC＝∠HFD，
∴DH＝HF；
（3）解：连接AD，
在△CEO与△DEO中，
OC＝OD，EO＝EO，CE＝DE，
∴△CEO≌△DEO（SSS），
∴∠DEO＝∠CEO＝，
∵∠GDE＝45°＝∠OED，OD＝OB，
∴∠ODE＝∠OBD，
∵GE∥FB，
∴∠GED＝∠OBD＝∠ODE，
∵DE＝ED，
∴△GDE≌△PED（ASA），
∴GE＝OD＝5，
∵HD＝HF＝BF，
设HD＝2x，
∴BH＝2x，
∵AB＝2OD＝10，
∴HA＝2x﹣10，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADH＝90°﹣∠ADO＝90°﹣∠OAD﹣∠ABD，
∵∠DHA＝∠BHD，
∴△AHD∽△BHD，
∴，
即，
∴x＝，
经检验，x＝符合题意，
∴线段DH的长为．
25． 解：（1）线段EF和FG的数量关系是：EF＝FG．
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，点O为对角线AC，BD的交点，
∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°，∠ABC＝90°，
在△OAE和△OCG中，
，
∴△OAE≌△OCG（ASA），
∴OE＝OG，
由折叠的性质得：∠EOF＝∠ABC＝90°，
即：OF⊥EG，
∴OF为EG的垂直平分线，
∴EF＝FG．
（2）AE，EF，FC三条线段之间的数量关系是：AE2+CF2＝EF2．
证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，点O为对角线AC，BD的交点，
∴AB∥CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，
∴∠OAE＝∠OCG，
在△OAE和△OCG中，
，
∴△OAE≌△OCG（ASA），
∴AE＝CG，OE＝OG，
由折叠的性质得：∠EOF＝∠ABC＝90°，
即：OF⊥EG，
∴OF为EG的垂直平分线，
∴EF＝FG，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：CG2+FC2＝FG2，
即：AE2+FC2＝EF2．
（3）的值为或．
理由如下：
∵点E为边AB的三等分点，
∴有以下两种情况，
①当时，
设AE＝a，BC＝b，
∴AB＝3a，
∴BE＝AB﹣AE＝3a﹣a＝2a，
由（2）可知：CG＝AE＝a，
过点O作OT⊥AB于点T，
则OT为△ABC的中位线，
∴，
∴，，
∴．
②当时，
设BE＝a，BC＝b，
∴AB＝3a，
∴AE＝AB﹣BE＝2a，
过点O作OT⊥AB于点T，
同理得：，
∴，，
∴．
抛掷次数n
100
200
300
400
600
800
1000
针尖不着地的频数m
64
118
189
252
360
488
610
针尖不着地的频数
0.64
0.59
0.63
0.63
0.60
0.61
0.61
销售价格x（元/件）
80
90
100
110
日销售量y（件）
240
220
200
180