初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理课堂检测

这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理课堂检测，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在中，，，，线段的垂直平分线交于点P和点Q，则的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
2．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
A．B．C．4D．5
4．如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，则ED的长为（ ）
A．2.5B．4.5C．8.5D．10
6．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺） （ ）
A．3B．C．D．
7．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
8．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A．13B．12C．10D．8
9．如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若的周长是30，则这个风车的外围周长是（ ）
A．76B．57C．38D．19
10．在中， ，则的面积为( )．
A．B．C．或D．或
11．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．如图所示，在中，，平分，于E，，，则的长为__________．
14．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则______．
15．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是_____．
16．如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．
17．如图，在中，，点为上一点，连接，，，，则________．
18．在中，，，，点是的内心，过作于点．
（1）______
（2）______
19．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙的距离为2寸，点C和点D距离门槛都是1尺（1尺=10寸），则的长是几寸？若设图中单扇门的宽寸，则可列方程为：_______．
20．如图，在长方形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为________．
21．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为___________
22．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为___________．
23．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为______．
24．如图放置的，，，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，都在直线上，则点的坐标是_______．
25．如图，小华将升旗的绳子拉倒竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______．
三、解答题
26．如图，在中，，，．
(1) 直接写出的形状是___________；
(2) 若点为线段上一点，连接，且，求的长．
27．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．
若点在上，且满足时，求出此时的值；
若点恰好在的角平分线上，求的值．
28．在中，，，，，求阴影部分的面积．
29．已知：如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线BC以的速度移动，设运动的时间为．
(1) 求边的长；
(2) 当为直角三角形时，求t的值．
30．如图，中，，，．
(1) 的长为 ．
(2) 把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
31．如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且，．
求证：是直角三角形；
求的长．
参考答案
1．D
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理求出，然后设，则，在中，由勾股定理，即可求解．
解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：．
故选：D
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键．
2．D
【分析】由折叠可知，，，设，则，，在中，由勾股定理得，求出即为所求．
解：由折叠可知，，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
3．D
【分析】设，由折叠的性质可得，利用勾股定理得到，计算即可．
解：∵D是的中点，，
∴，
设，
由折叠的性质可得，
在中，，
，
解得．
故线段的长为．
故选D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据勾股定理列出方程，即可求解．
4．D
【分析】设，则，利用长方形纸片中，现将其沿对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求即可．
解：∵长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，
∴，，，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得：．
即的长为．
故选：D．
【点拨】本题考查了图形的翻折变换，勾股定理的应用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．
5．B
【分析】延长到，使得，连接．证明，得到，，结合已知证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
解：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【点拨】本题属考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．C
【分析】根据题意可设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢的长度是尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
解：设折断处离地面的高度是x尺，则折断处离竹梢的长度是尺，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：
故折断处离地面的高度是4.2尺．
故答案选：C．
【点拨】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
7．C
【分析】利用勾股定理求解即可．
解：∵的顶点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键．
8．A
【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．
解：由折叠的性质可知，
设为x，则为，
∵四边形为长方形
∴，
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得，
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
9．A
【分析】设，则，由勾股定理得到，则，求出，，
即可得到答案．
解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴这个风车的外围周长是：．
故选：A．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理内容是解题的关键．
10．B
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理解三角形确定高，即可得出面积．
解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
设，则,
∴,
在中，，
∴
解得：（负值舍去）
∴，
此时重合，如图，
∴的面积为,
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关键．
11．C
【分析】由折叠的性质可得，设，则中由勾股定理建立方程求解即可解答；
解：在长方形中，，
根据翻折可得：，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
解得，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
12．C
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则，，
在中，，即，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
13．
【分析】根据角平分线的性质可得，在中求出，再证，在中应用勾股定理求解即可．
解：是的平分线，
，，，
，
在中
在与中
在中
解得：，
故答案为：.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理解直角三角形；解题的关键是角平分线的性质和利用勾股定理解决线段相等．
14．3
【分析】设，由翻折易得，，在中，根据勾股定理即可求得的长．
解：设，
∵两直角边，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，，，
在中，，，，
，即，
∴，即，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．
15．
【分析】连接，得垂直平分线段，推出，设，在中，，根据构建方程即可解决问题．
解：连接．
∵，，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．5
【分析】设，由，利用勾股定理可得的长，在中，利用勾股定理列式，即可解得，据此即可求解．
解：∵四边形是长方形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理及应用等知识，熟练掌握翻折的性质和矩形性质是解题的关键．
17．
【分析】根据勾股定理的逆定理可得，然后设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
解：∵，，，
∴，
∴，即，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题意得到是解题的关键．
18．
【分析】（1），，，根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）点是的内心，连接，，，过点作于点，作于点，即可求解．
解：（1）∵，，，
∴，即，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：；
（2）是直角三角形，点是的内心，即角平分线的交点，如图所示，连接，，，过点作于点，作于点，
∴在，中，
，
∴，
∴，，
同理可证，，，
∴，，，即四边形是正方形，
∵，，，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴，，，
故答案是：．
【点拨】本题主要考查直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握勾股定理的逆定理，内心的定义和性质是解题的关键．
19．
【分析】取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论．
解：取的中点，过作于，如图2所示：
由题意得：，
设寸，
则（寸），寸，寸，
寸，
在中，
，即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
20．
【分析】根据将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，可得到，从而得到，在 中，利用勾股定理即可解答．
解：∵在长方形中，，，
∴，
∴，
∵将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在 中， ，
∴ ，解得：，
∴．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用矩形的折叠结合勾股定理解答问题．
21．##5厘米
【分析】由折叠知，在中用勾股定理即可求解．
解：由折叠知，
，
在中，
解得，
故答案为：．
【点拨】此题考查了折叠的性质和勾股定理、此题难度不大，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
22．
【分析】设，则，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；
解：设，则，
由题意得，
由勾股定理得，
∴，
解得，
即的长为；
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．
23．
【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．
解：在中，
，
设秋千的绳索长为，
则，
故，
解得：，
答：绳索AD的长度是．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
24．
【分析】先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标．
解：由题意知，
设，
则，
解得，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要能根据图象计算出的值，然后才能根据勾股定理算出的坐标，而的坐标和的坐标只有纵坐标差了一个2，加上即可．
25．10
【分析】根据题意画出示意图，设绳子的长度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．
解：过作于，

设绳子的长度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
即绳子的长度为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
26．(1) 直角三角形(2)
【分析】（1）由勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可．
解：（1）是直角三角形，理由如下：
在中，，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
（2）设，则．
在中，∵，
∴，
解得，
∴的长为．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
27．(1) (2)
【分析】（1）在中，用勾股定理计算出，用t表示出，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）作的平分线，过P作于D点，由角平分线性质可得，利用面积法求出的长，进而求出的长，由此即可得到答案．
解：（1）∵在中，，，，
∴，
由题意得，则
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得，即，
解得：；
（2）解：如图所示，作的平分线，过P作于D点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
28．9
【分析】设，则，由勾股定理得出，解方程求出，则可得出，由三角形面积公式可求出答案．
解：设，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理求出是解题的关键．
29．(1) ；(2) 当为直角三角形时，t的值为或．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得．
（1）解：在中，，，
由勾股定理得；
（2）解：由题意知．
①当时，如图，点P与点C重合，，
∴；
②当时，如图2，，．
在中，，
在中，，
因此，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或．
【点拨】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
30．(1)20(2)6
【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的长；
（2）首先根据折叠的性质可得，，则，设，则，根据勾股定理得出即可求出．
（1）解：∵
∴
∵，
∴
故答案为：；
（2）根据折叠可得：，
则，
设，则，
∵
∴
解得：，
∴
【点拨】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
31．(1) 见分析(2) cm
【分析】（1）由，，，知道，根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形；
（2）设，根据勾股定理得到关于的方程，解方程可求出的长．
（1）解：证明：∵，，，
，，
即，
为直角三角形；
（2）设，
是等腰三角形，
．
为直角三角形，
为直角三角形，
，即，
解得：，
故的长为．
【点拨】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理解答．