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专题 17.3 勾股定理（基础篇）（专项练习1）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 17.3 勾股定理（基础篇）（专项练习1）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共51页。试卷主要包含了用勾股定理理解直角三角形，两点距离公式，勾股数，勾股树中的面积问题，勾股定理解决网格问题，勾股定理与折叠问题，用勾股定理与两线段的平方和，用勾股定理求最值问题等内容，欢迎下载使用。
专题 17.3 勾股定理（基础篇）（专项练习1）
一、 单选题
类型一、用勾股定理理解直角三角形
1．已知中，，BD是AC边上的高线，，那么BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．3cm B．2cm C．4cm D．2.5cm
类型二、两点距离公式
3．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知点及点，P是x轴上一动点，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．4
类型三、勾股数
5．有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．有下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，．其中勾股数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
类型四、勾股树中的面积问题
7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．445 B．887 C．888 D．889
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则（ ）
A．25 B．20 C．9 D．5
9．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为（ ）
A．18 B．22 C．28 D．36
类型五、勾股定理解决网格问题
11．观察图形，每个小正方形的边长均为1，估计阴影正方形的边长的值在哪两个整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
12．如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（ ）
A．∠1+∠2＝∠3 B．∠1+∠2＝2∠3
C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2+∠3＝135°
类型六、勾股定理与折叠问题
13．如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）．
A． B． C． D．5
14．如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
15．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ）
A．68 B．20 C．32 D．47
类型八、用勾股定理求最值问题
16．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
17．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A． 大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定
类型九、用勾股定理证明两线段的平方关系
18．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A． a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
类型十、勾股定理的证明
19．勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．25
类型十一、以弦图为背景的计算题
21．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
22．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．169 B．25 C．49 D．64
类型十二、用勾股定理构造图形解决问题
23．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
24．如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m
类型十三、勾股定理与无理数
25．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
26．如图所示，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作长方形，以数轴上的原点O为圆心，长方形的对角线OB的长为半径作弧与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ）
A． B． C． D．2
二、 填空题
类型一、用勾股定理理解直角三角形
27．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________
28．如图，是一个圆柱形饮料罐，若底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围为________．
类型二、两点距离公式
29．如图，直角坐标系中，已知A(－2，－1)，B(3，－1)，C(1，2)，请你在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，则点P的坐标是___．（写出一个即可）
30．如图，已知D（6，0），MN∥x轴且经过点E（0，4），点A，B分别是线段OD，OE上的两动点，AB=2，点C为AB的中点，点P为直线MN在第一象限上的动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为_____．
类型三、勾股数
31．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 _____．
32． 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：___________；
类型四、勾股树中的面积问题
33．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形、、、的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形的面积是___．
34．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积和是 ___cm2．
35．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大的正方形的面积______．
36．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为，，S3，则它们满足的数量关系为________．
类型五、勾股定理解决网格问题
37．如图，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，BD⊥AC于点D．若每个小方格的边长为1，则BD的长为_________．
38．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是____．
类型六、勾股定理与折叠问题
39．如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．
40．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若，，则点E的坐标是______．
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
41．如图，在矩形中，，．将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点的对应点落在边上，则的长为___________．
42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____．
类型八、用勾股定理证明两线段的平方关系
43．如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，， 表示，若，则的形状是_______________．
44．如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为______．（平方单位）
类型九、勾股定理的证明
45．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而______＋______，化简后即为______．
46．利用图或图两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为___________，该定理的结论其数学表达式是__________.
类型十、以弦图为背景的计算题
47．如图，面积为3的四个全等的小直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个面积为1的小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，则组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边的平方和为___．
48．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为_____．
类型十一、用勾股定理构造图形解决问题
49．如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为__________．
50．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____．
类型十二、勾股定理与无理数
51．在数轴上找表示的点：要在数轴上画出表示的点，只要画出长为的线段即可．利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数_____的直角三角形的斜边．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝_____，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝_____，连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点_____即为表示的点．
52．如图，借助边长为1的正方形，可以准确地将表示在数轴上．若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为______．
三、解答题
53．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？
54．已知，点A（﹣2，1）和点B（4，3）．
（1）在坐标平面内描出点A和点B的位置．
（2）连接AB并计算AB的长度．
（3）若点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，求a﹣b的值．
55．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：
（1）AB的长；
（2）△CDF的面积．
56．如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知A点的高度为3米，台阶的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡的长；
（2）请根据以上条件求出树的高度．（侧倾器的高度忽略不计）
57．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点P1（，），P2（，）其两点间的距离P1P2 = ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| − |或| − |．
（1）已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标．
58．2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成以下图形）．
试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a，b，c之间的数量关系．
（1）三边a，b，c之间的数量关系为 ．
（2）理由：
59．如图所示，已知某学校点A到直线河流BD的距离为600米，且与该河流上一个取水站点D相距1000米，现要在河边新建一个取水站点C，使之与学校点A及取水站点D的距离相等，则学校点A与取水站点C的距离是多少米？
60．（1）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A．（要求；不写作法，保留作图痕迹）
（2）若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是______．
参考答案
1．C
【分析】由题意根据已知可求得AD的长，再根据勾股定理即可求得BD的长．
解：∵AB=AC=10，DC=2，
∴AD= AC-DC=8，
∴.
故选：C．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形勾股定理是解题的关键.
2．B
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5(cm)；
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．D
【分析】根据题意画出点的位置，然后根据勾股定理计算即可．
解：的位置如图所示：
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，
和交于点，
∴，，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题是关键．
4．C
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，作关于轴的对称点，连接，进而根据勾股定理求得两点的距离即可
解：如图，作关于轴的对称点，连接，
，，
的最小值是
故选C
【点拨】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，作关于轴的对称点是解题的关键．
5．A
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：①32+42=52，三边是整数，同时能构成直角三角形，故为勾股数；
②（62）2+（82）2≠（102）2，不能构成直角三角形，故不为勾股数；
③0.5，1.2，1.3三边不是正整数，故不为勾股数；
④1，，，三边不是正整数，故不为勾股数；
故其中勾股数有1组．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
6．B
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
解：①62+82=102，是勾股数；
②（62）2+（82）2≠（102）2，不是勾股数；
③0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数；
④122+162=202，是勾股数；
其中勾股数有①④，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
7．D
【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n＋1）倍．
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，
生长次后，变成的图中所有正方形的面积，
生长了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是，
故选：．
【点拨】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边分别是，斜边是，那么．
8．C
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
解：根据勾股定理的几何意义，可知：
S＝SF＋SG
＝SA＋SB＋SC＋SD
＝4+2+2+1=9
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．C
【分析】根据直角三角形勾股定理可得出：，根据圆的面积公式，写出三个半圆的面积求和进行化简即可．
解：根据勾股定理可得：，
由图形可得，计算各个半圆面积之和为：
，
，
,
，
故选：C．
【点拨】题目主要考查勾股定理的应用、整式的化简（提公因式），根据图形列出阴影面积的代数式进行化简是解题关键．
10．C
【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．
解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
根据勾股定理a2+b2=42=16，
由题意ab=3即ab=6，
所以（a+b）2=a2+2ab+b2= a2+b2+2×ab=16+12=28，
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．
11．C
【分析】由勾股定理求出阴影正方形的边长，然后利用无理数的定义进行估算即可．
解：根据题意，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴图中阴影部分的正方形的面积=12+32=10；
∴阴影正方形的边长为，
∵，
∴；
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，无理数的估算，解题的关键是正确的求出正方形的边长．
12．A
【分析】根据图形以及勾股定理可以得到边之间关系，从而得到，，为等腰直角三角形，对选项逐个判断即可求解．
解：如图，，，
∴，，为等腰直角三角形
∴∠4＝∠2，∠1＝∠5，
A、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故符合题意
B、∠1+∠2＝2∠3＝90°，故不符合题意
C、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°，故不符合题意
D、∠1+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠3＝90°+45°＝135°，故不符合题意
故选：A．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关基本性质找到角之间的关系是解题的关键．
13．B
【分析】由翻折易得DB=AD，根据勾股定理即可求得CD长，再在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解．
解：解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，
∴BE=AB
设BD为x，则CD=8-x，
∵∠C=90°，AC=4，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2
∴AB2=42+82=80，
∴AB=，
∴BE=，
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，
∴42+(8-x)2=x2，解得x=5，
在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，
即()2+DE2=52，
∴DE=，
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．
14．A
【分析】根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．
解：将此长方形折叠，使点与点重合，，
，
根据勾股定理得：，
解得：．
．
故选：A．
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
15．A
【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2.
解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∠DAB+∠ ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE （AAS）
∴BE=AD=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 .
故答案是68.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.
16．B
【分析】过点作，由勾股定理得，，继而证明当在同一条直线上，且时，的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的长即可解题.
解：∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，
过点作，
由勾股定理得，
当在同一条直线上，且时，
的值最小为
△ABC中，AB=AC=10，
由等腰三角形两腰上的高相等
中，
的值最小为，
故选：B.
【点拨】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
17．C
【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2−AC2＝BH2−HC2，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，则AB2−AC2＝MB2−MC2．再根据平方差公式即可求解．
解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2−AC2＝BH2−HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，
∴AB2−AC2＝MB2−MC2，
即（AB＋AC）（AB−AC）＝（MB＋MC）（MB−MC），
又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，
则AB−AC＜MB−MC．
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用．
18．A
解：设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
19．C
【分析】利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解．
解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；
③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个．
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键．
20．B
【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据S1+S2+S3＝60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，进而得出S2的值．
解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
∵S1+S2+S3＝45，
∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，
即3S2＝45，
解得S2＝15．
故选B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
21．B
【分析】根据大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得ab的值．
解：∵大正方形边长为3，小正方形边长为1，
∴大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，
∴一个直角三角形的面积是(9-1)÷4=2，
又∵一个直角三角形的面积是ab=2，
∴ab=4．
故选：B．
【点拨】本题考查了与弦图有关的计算，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
22．C
【分析】先利用勾股定理求出，再利用大正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积即可得．
解：，，，
，
则阴影部分的面积是，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．
23．B
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB=m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′=m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．
24．A
【分析】根据河水的深度、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．
解：根据如图画简图
在直角△ABC中，AC＝1.5米．AB﹣BC＝0.5米．
设河水的深度BC＝x米，则AB＝0.5+x（米）．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2
∴1.52+x2＝（x+0.5）2
解得：x＝2．
即河水的深度为2米，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，解一元一次方程，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决．
25．D
【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长.
解：由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的数为：．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26．C
【分析】由已知可求OB=OA=，即可求解．
解：由已知可求OB=，
∵OA=OB，
∴OA=，
∴点A表示的数为，
故选C．
【点拨】本题考查实数与数轴；熟练运用勾股定理，掌握数轴点的特点是解题的关键．
27．4
【分析】观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得BF的长，从而得结论．
解：Rt△ABF中，AB=10，AF=8，
由勾股定理得：BF==6，
∴FG=8-6=2，
∴小正方形EFGH的面积=22=4，
故答案为：4．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
28．
【分析】当吸管底部在O点时吸管在罐内部分时，a最短，此时a就是圆柱的高，可得a=12，当吸管底部在A点时吸管在罐内部分时，a最长，即线段AB的长，根据勾股定理即可求出AB的长，即可得．
解：如图所示，
当吸管底部在O点时吸管在罐内部分时，a最短，此时a就是圆柱的高，
即a=12，
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分时，a最长，
在中，根据勾股定理得，
，
即a=13，
综上，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是构造直角三角形．
29．(0
【分析】根据在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，分两种情况点P在y轴正半轴上，ABP≌BAC，可得AP=BC，即m+1=2+1，点P在y轴负半轴时，P与点（0，2）关于y=-1对称即可求解，
解：设点P的坐标为（0，m），
在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，
点P在y轴正半轴上，ABP≌BAC，
∴AP=BC，即m+1=2+1，
∴m=2，
点P（0，2），
点P在y轴负半轴时，P与点（0，2）关于y=-1对称，
∴2+1=-1-m
∴m=-4
P（0，-4）．
点P的坐标为（0，2）或（0，-4）．
故答案为（0，2）或（0，-4）．
【点拨】本题考查图形与坐标，三角形全等的性质，两点间距离，掌握图形与坐标特征，三角形全等的性质，两点间距离运用是解题关键．
30．9
【分析】作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．判断出点D′坐标，求出OD′，根据OD′≤OC+PC+PD′，可以推出PC+PD′≥9，可得结论．
解：作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．
∵E（0，4），D（6，0），MN∥x轴，D，D′关于MN对称，
∴D′（6，8），
∴OD′==10，
∵∠AOB=90°，AB=2，AC=CB，
∴OC=AB=1，
∵PD=PD′，
∴PC+PD=PC+PD′，
∵OD′≤OC+PC+PD′，
∴PC+PD′≥9，
∴PC+PD的最小值为9，
故答案为9．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
31．79
【分析】根据给出的数据找出规律：，，，由此求出的值，即可求出答案．
解：由题可得：，，，
，，，
，，，
……，
∴，，，
∴当时，，
∴，，
∴，
故答案为：79．
【点拨】本题考查勾股定理，根据题目给出的数据找出规律是解题的关键．
32．11、60、61
【分析】根据所提供的数据发现股 ，弦，即可解答．
解：根据已知可得，下一组勾股数为：11、60、61．
故答案为：11、60、61．
【点拨】本题考查勾股数之间的关系，属于规律性题．根据题意找出所给勾股数之间的关系是解答本题的关键．
33．30
【分析】根据勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，从而得到正方形的面积正方形的面积正方形的面积，即可求解．
解：如图，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积．
故答案为：30
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
34．49
【分析】如图，正方形A，B的面积和等于,正方形C，D的面积和等于，,
解：如图，设正方形A，B，C，D的边长分别为，设标有的两个正方形的边长为，
根据勾股定理可得
则
故答案为：49
【点拨】此题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用.
35．27
【分析】设两个正方形的面积分别为a和3a，根据勾股定理求出BC2，再利用勾股定理BD2＋CD2＝BC2，由正方形的面积公式可得a＋3a＝36，即可求解．
解：设两个正方形的面积分别为a和3a，
∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，
∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴a+3a＝36，
∴a＝9，
∴3a＝27，
∴较大的正方形的面积为27，
故答案为：27．
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键．
36．
【分析】设，，，利用等边三角形的性质和勾股定理求出面积，再根据勾股定理计算即可．
解：如图，设，，，
是直角三角形，
，
，
∵直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，
∴等边三角形的高平分底边，
∴三个等边三角形的高分别为
，，，
，， ，
∴，
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质是解题的关键．
37．
【分析】根据勾股定理计算即可；
解：如图，由勾股定理得 AC＝＝5．
∵S△ABC＝AB×3＝AC•BD，即×2×3＝×5BD，
∴BD＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
38．
【分析】如图，连接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理计算即可得出ED的长．
解：如图，连接AD，则AD=AB=3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED=
=
=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
39．##
【分析】利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，设CD=x，在△B′CD中，利用勾股定理列出方程，解之即可．
解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，
∴AC==4，
由折叠可知：AB=AB′=5，BD=B′D，
∴B′C=AB′-AC=1，
设CD=x，则BD=B′D=3-x，
在△B′CD中，，
即，
解得：x=，
即CD=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用折叠的性质求出B′C的长是解题的关键．
40．
【分析】设，根据题意可得在中，在中勾股定理分别求得的值，进而即可求得点的坐标．
解：
四边形是长方形
根据折叠的性质可得
设，根据题意可得
在中，
即
解得
在中，
即
解得
点在第二象限
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理，坐标与图形，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
41．4
【分析】根据旋转的性质得到，再结合勾股定理解题即可．
解：由旋转的性质得到，
在中，，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查旋转的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
42．36
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
解：在Rt△ACB中，，
则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和
故答案为：36．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
43．直角三角形
【分析】先求，面积，得等式即可．
解：，
，
，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理判断直角三角形问题，掌握勾股定理的逆定理，利用面积关系得到三角形三边具有两短边的平方和等于长边的平方是解题关键．
44．14
【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC-直径为AB的半圆面积
=
=
=
=
=
=14
故答案为：14．
【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
45．
【分析】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可．
解：根据题意，得
=
=，
∵，
∴；
故答案为：，，.
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键．
46．勾股定理 c2=a2+b2
解：试题分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．
用图（2）较简单，
如图正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，
即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．
这个定理称为 勾股定理．
考点：本题考查的是勾股定理的几何背景
点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
47．13
【分析】设小直角三角形的两个直角边长分别为，再根据三角形和正方形的面积公式可得，然后利用完全平方公式进行变形运算即可得．
解：设小直角三角形的两个直角边长分别为，
由题意得：，即，
则，
即组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边的平方和为13，
故答案为：13．
【点拨】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟记公式是解题关键．
48．5
【分析】由大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加小正方形面积即，列式计算即可得到答案
解：∵四个三角形是全等的直角三角形
∴其面积和为：
又∵大正方形由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成
∴大正方形的面积为：
∴所以大正方形的边长为5．
故答案为：5
【点拨】本题考查勾股定理的验证，牢记定理内容并能灵活应用是解题是关键．
49．##
【分析】根据题意将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，即可求出AC的长．
解：将正方体展开后如图：
因为，
．
故答案为：.
【点拨】本题考查勾股定理的运用和两点之间线段最短以及解答此题的关键是根据两点之间线段最短将图形展开，然后利用勾股定理解答．
50．13米
【分析】设高的那棵树用AB表示，低的那棵树用CD表示，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，然后由题意可得CE=12米，AB=10米，CD=5米，则有AE=5米，最后利用勾股定理可求解．
解：设高的那棵树用AB表示，低的那棵树用CD表示，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，如图所示：
由题意得：CE=12米，AB=10米，CD=5米，∠AEC=90°，
∴AE=5米，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：（米）；
故答案为13米．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
51．2和3和2 3 2 C
【分析】利用勾股定理可得：，由此求解即可．
解：利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数2和3的直角三角形的斜边．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2，连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．
故答案为：2和3；3；2；C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理与无理数的关系是解题的关键．
52．##
【分析】先求出圆的半径，从而得出长度，进而得出点表示的数，即可得出点表示的数．
解：正方形的边长为1，
圆的半径为，
，
点表示的数为，
点表示的数为．
故答案为：．
【点拨】本题考查实数与数轴以及勾股定理，掌握作图方法是解题的关键．
53．（1）修建的公路CD的长为；（2）总路程为．
【分析】（1）根据题意可得：，，，利用勾股定理可得，再由三角形的等面积法计算即可得出；
（2）由垂直的性质及（1）中结论，再利用勾股定理可得出长度，然后求长即可．
解：（1）∵，
∴，
根据题意可得：，，
∴，
，
∴，
∴，
∴修建的公路CD的长为；
（2）∵，
∴，
根据题意可得：，，
∴，
∴，
∴总路程为．
【点拨】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键．
54．（1）见解析；（2）AB；（3）a-b的值为8．
【分析】（1）利用点A、B的坐标描点即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出方程组，即可求解．
解：（1）如图，点A、点B为所作；
（2）AB=；
（3）∵点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，
∴a-1=4，2b+3=-3，
解得：a=5，b=-3，
∴a-b=5-(-3)=8．
【点拨】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标以及勾股定理，关键是掌握点的坐标的变化规律．
55．（1）9；（2）54
【分析】（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案；
（2）由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案．
解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴，
∴AB=AE+BE=9；
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，
由折叠的性质可得AD=DF，
∴BC=AD=DF，
设CF=x，则BC=DF=x+3，
∵，
∴，
解得，
∴CF=12，
∴
【点拨】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
56．（1）米；（2）树高为9米．
【分析】（1）过点A作于F，构造矩形，设，在中，利用正切定义解得，在中，由正切定义解得，利用勾股定理解得；
（2）在中，设，，由正切定义解得，结合线段和差解题即可．
解：（1）如图，过点A作于F，
则四边形为矩形，
∴米，
设，
在中，，
在中，，
∵，，
∴，
（米）；
（2）在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
答：树高为9米．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
57．（1）；（2）是直角三角形；（3）．
【分析】（1）根据题目中给出的两点间的距离P1P2 = ，代入求解即可；
（2）根据两点间距离公式分别求出DE，DF，EF的长度，即可判断此三角形的形状；
（3）设点P的坐标为(x，0)，根据两点间距离公式分别表示出PD和PF的长度，根据列出方程求解即可．
解：（1）∵两点间的距离P1P2 = ，A (1，4)、B (-3，2)，
∴；
（2）∵三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）设点P的坐标为(x，0)，
∵∆PDF是以DF为底的等腰三角形，
∴，
∴，
即，
整理得：，
解得：．
∴点P的坐标为．
【点拨】此题考查了两点间距离公式的运用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用两点间距离公式．
58．（1）a2+b2=c2；（2）见解析
【分析】（1）由勾股定理即可得出结果；
（2）选择图①由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即可得出结果；
选择图②由梯形的面积=2个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积，即可得出结果；
选择图③由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即可得出结果．
解：（1）由勾股定理得：a2+b2=c2．
故答案为：a2+b2=c2；
（2）选择图①．
∵大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴（a+b）2=4×ab+c2，即a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
选择图②由梯形的面积=2个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积，
∴（a+b）2=2×ab+c2，即a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
选择图③由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴c2=4×ab+ (b-a)2，即c2=2ab+b2-2ab+a2，
∴a2+b2=c2．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明、正方形和三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理的证明，通过图形面积关系得出结论是解决问题的关键．
59．学校点A与取水站点C的距离是米
【分析】由题意可得，，，，，设米，根据勾股定理求解即可．
解：由题意可得，，，，，
由勾股定理得，米，
设米，则米，
由勾股定理得，，即，
解得：，
即学校点A与取水站点C的距离是米．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确利用勾股定理进行求解．
60．（1）见解析；（2）
【分析】（1）将表示3的点向上平移1个单位，得到点，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求
（2）根据对称性可知点是的中点，设表示的数为，根据即可求得点B对应的数．
解：（1）如图，点即为所求
，
点表示的数是
（2）设表示的数为，则
解得
表示的数为
故答案为：
【点拨】本题考查了实数与数轴，勾股定理，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
专题 17.3 勾股定理（基础篇）（专项练习1）
一、 单选题
类型一、用勾股定理理解直角三角形
1．已知中，，BD是AC边上的高线，，那么BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．3cm B．2cm C．4cm D．2.5cm
类型二、两点距离公式
3．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知点及点，P是x轴上一动点，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．4
类型三、勾股数
5．有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．有下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，．其中勾股数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
类型四、勾股树中的面积问题
7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．445 B．887 C．888 D．889
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则（ ）
A．25 B．20 C．9 D．5
9．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为（ ）
A．18 B．22 C．28 D．36
类型五、勾股定理解决网格问题
11．观察图形，每个小正方形的边长均为1，估计阴影正方形的边长的值在哪两个整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
12．如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（ ）
A．∠1+∠2＝∠3 B．∠1+∠2＝2∠3
C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2+∠3＝135°
类型六、勾股定理与折叠问题
13．如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）．
A． B． C． D．5
14．如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
15．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ）
A．68 B．20 C．32 D．47
类型八、用勾股定理求最值问题
16．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
17．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A． 大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定
类型九、用勾股定理证明两线段的平方关系
18．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A． a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
类型十、勾股定理的证明
19．勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．25
类型十一、以弦图为背景的计算题
21．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
22．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．169 B．25 C．49 D．64
类型十二、用勾股定理构造图形解决问题
23．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
24．如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m
类型十三、勾股定理与无理数
25．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
26．如图所示，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作长方形，以数轴上的原点O为圆心，长方形的对角线OB的长为半径作弧与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ）
A． B． C． D．2
二、 填空题
类型一、用勾股定理理解直角三角形
27．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________
28．如图，是一个圆柱形饮料罐，若底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围为________．
类型二、两点距离公式
29．如图，直角坐标系中，已知A(－2，－1)，B(3，－1)，C(1，2)，请你在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，则点P的坐标是___．（写出一个即可）
30．如图，已知D（6，0），MN∥x轴且经过点E（0，4），点A，B分别是线段OD，OE上的两动点，AB=2，点C为AB的中点，点P为直线MN在第一象限上的动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为_____．
类型三、勾股数
31．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 _____．
32． 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：___________；
类型四、勾股树中的面积问题
33．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形、、、的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形的面积是___．
34．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积和是 ___cm2．
35．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大的正方形的面积______．
36．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为，，S3，则它们满足的数量关系为________．
类型五、勾股定理解决网格问题
37．如图，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，BD⊥AC于点D．若每个小方格的边长为1，则BD的长为_________．
38．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是____．
类型六、勾股定理与折叠问题
39．如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．
40．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若，，则点E的坐标是______．
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
41．如图，在矩形中，，．将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点的对应点落在边上，则的长为___________．
42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____．
类型八、用勾股定理证明两线段的平方关系
43．如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，， 表示，若，则的形状是_______________．
44．如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为______．（平方单位）
类型九、勾股定理的证明
45．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而______＋______，化简后即为______．
46．利用图或图两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为___________，该定理的结论其数学表达式是__________.
类型十、以弦图为背景的计算题
47．如图，面积为3的四个全等的小直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个面积为1的小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，则组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边的平方和为___．
48．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为_____．
类型十一、用勾股定理构造图形解决问题
49．如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为__________．
50．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____．
类型十二、勾股定理与无理数
51．在数轴上找表示的点：要在数轴上画出表示的点，只要画出长为的线段即可．利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数_____的直角三角形的斜边．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝_____，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝_____，连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点_____即为表示的点．
52．如图，借助边长为1的正方形，可以准确地将表示在数轴上．若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为______．
三、解答题
53．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？
54．已知，点A（﹣2，1）和点B（4，3）．
（1）在坐标平面内描出点A和点B的位置．
（2）连接AB并计算AB的长度．
（3）若点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，求a﹣b的值．
55．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：
（1）AB的长；
（2）△CDF的面积．
56．如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知A点的高度为3米，台阶的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡的长；
（2）请根据以上条件求出树的高度．（侧倾器的高度忽略不计）
57．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点P1（，），P2（，）其两点间的距离P1P2 = ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| − |或| − |．
（1）已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标．
58．2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成以下图形）．
试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a，b，c之间的数量关系．
（1）三边a，b，c之间的数量关系为 ．
（2）理由：
59．如图所示，已知某学校点A到直线河流BD的距离为600米，且与该河流上一个取水站点D相距1000米，现要在河边新建一个取水站点C，使之与学校点A及取水站点D的距离相等，则学校点A与取水站点C的距离是多少米？
60．（1）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A．（要求；不写作法，保留作图痕迹）
（2）若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是______．
参考答案
1．C
【分析】由题意根据已知可求得AD的长，再根据勾股定理即可求得BD的长．
解：∵AB=AC=10，DC=2，
∴AD= AC-DC=8，
∴.
故选：C．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形勾股定理是解题的关键.
2．B
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5(cm)；
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．D
【分析】根据题意画出点的位置，然后根据勾股定理计算即可．
解：的位置如图所示：
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，
和交于点，
∴，，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题是关键．
4．C
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，作关于轴的对称点，连接，进而根据勾股定理求得两点的距离即可
解：如图，作关于轴的对称点，连接，
，，
的最小值是
故选C
【点拨】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，作关于轴的对称点是解题的关键．
5．A
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：①32+42=52，三边是整数，同时能构成直角三角形，故为勾股数；
②（62）2+（82）2≠（102）2，不能构成直角三角形，故不为勾股数；
③0.5，1.2，1.3三边不是正整数，故不为勾股数；
④1，，，三边不是正整数，故不为勾股数；
故其中勾股数有1组．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
6．B
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
解：①62+82=102，是勾股数；
②（62）2+（82）2≠（102）2，不是勾股数；
③0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数；
④122+162=202，是勾股数；
其中勾股数有①④，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
7．D
【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n＋1）倍．
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，
生长次后，变成的图中所有正方形的面积，
生长了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是，
故选：．
【点拨】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边分别是，斜边是，那么．
8．C
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
解：根据勾股定理的几何意义，可知：
S＝SF＋SG
＝SA＋SB＋SC＋SD
＝4+2+2+1=9
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．C
【分析】根据直角三角形勾股定理可得出：，根据圆的面积公式，写出三个半圆的面积求和进行化简即可．
解：根据勾股定理可得：，
由图形可得，计算各个半圆面积之和为：
，
，
,
，
故选：C．
【点拨】题目主要考查勾股定理的应用、整式的化简（提公因式），根据图形列出阴影面积的代数式进行化简是解题关键．
10．C
【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．
解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
根据勾股定理a2+b2=42=16，
由题意ab=3即ab=6，
所以（a+b）2=a2+2ab+b2= a2+b2+2×ab=16+12=28，
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．
11．C
【分析】由勾股定理求出阴影正方形的边长，然后利用无理数的定义进行估算即可．
解：根据题意，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴图中阴影部分的正方形的面积=12+32=10；
∴阴影正方形的边长为，
∵，
∴；
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，无理数的估算，解题的关键是正确的求出正方形的边长．
12．A
【分析】根据图形以及勾股定理可以得到边之间关系，从而得到，，为等腰直角三角形，对选项逐个判断即可求解．
解：如图，，，
∴，，为等腰直角三角形
∴∠4＝∠2，∠1＝∠5，
A、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故符合题意
B、∠1+∠2＝2∠3＝90°，故不符合题意
C、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°，故不符合题意
D、∠1+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠3＝90°+45°＝135°，故不符合题意
故选：A．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关基本性质找到角之间的关系是解题的关键．
13．B
【分析】由翻折易得DB=AD，根据勾股定理即可求得CD长，再在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解．
解：解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，
∴BE=AB
设BD为x，则CD=8-x，
∵∠C=90°，AC=4，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2
∴AB2=42+82=80，
∴AB=，
∴BE=，
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，
∴42+(8-x)2=x2，解得x=5，
在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，
即()2+DE2=52，
∴DE=，
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．
14．A
【分析】根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．
解：将此长方形折叠，使点与点重合，，
，
根据勾股定理得：，
解得：．
．
故选：A．
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
15．A
【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2.
解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∠DAB+∠ ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE （AAS）
∴BE=AD=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 .
故答案是68.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.
16．B
【分析】过点作，由勾股定理得，，继而证明当在同一条直线上，且时，的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的长即可解题.
解：∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，
过点作，
由勾股定理得，
当在同一条直线上，且时，
的值最小为
△ABC中，AB=AC=10，
由等腰三角形两腰上的高相等
中，
的值最小为，
故选：B.
【点拨】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
17．C
【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2−AC2＝BH2−HC2，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，则AB2−AC2＝MB2−MC2．再根据平方差公式即可求解．
解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2−AC2＝BH2−HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，
∴AB2−AC2＝MB2−MC2，
即（AB＋AC）（AB−AC）＝（MB＋MC）（MB−MC），
又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，
则AB−AC＜MB−MC．
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用．
18．A
解：设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
19．C
【分析】利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解．
解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；
③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个．
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键．
20．B
【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据S1+S2+S3＝60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，进而得出S2的值．
解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
∵S1+S2+S3＝45，
∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，
即3S2＝45，
解得S2＝15．
故选B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
21．B
【分析】根据大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得ab的值．
解：∵大正方形边长为3，小正方形边长为1，
∴大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，
∴一个直角三角形的面积是(9-1)÷4=2，
又∵一个直角三角形的面积是ab=2，
∴ab=4．
故选：B．
【点拨】本题考查了与弦图有关的计算，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
22．C
【分析】先利用勾股定理求出，再利用大正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积即可得．
解：，，，
，
则阴影部分的面积是，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．
23．B
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB=m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′=m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．
24．A
【分析】根据河水的深度、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．
解：根据如图画简图
在直角△ABC中，AC＝1.5米．AB﹣BC＝0.5米．
设河水的深度BC＝x米，则AB＝0.5+x（米）．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2
∴1.52+x2＝（x+0.5）2
解得：x＝2．
即河水的深度为2米，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，解一元一次方程，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决．
25．D
【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长.
解：由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的数为：．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26．C
【分析】由已知可求OB=OA=，即可求解．
解：由已知可求OB=，
∵OA=OB，
∴OA=，
∴点A表示的数为，
故选C．
【点拨】本题考查实数与数轴；熟练运用勾股定理，掌握数轴点的特点是解题的关键．
27．4
【分析】观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得BF的长，从而得结论．
解：Rt△ABF中，AB=10，AF=8，
由勾股定理得：BF==6，
∴FG=8-6=2，
∴小正方形EFGH的面积=22=4，
故答案为：4．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
28．
【分析】当吸管底部在O点时吸管在罐内部分时，a最短，此时a就是圆柱的高，可得a=12，当吸管底部在A点时吸管在罐内部分时，a最长，即线段AB的长，根据勾股定理即可求出AB的长，即可得．
解：如图所示，
当吸管底部在O点时吸管在罐内部分时，a最短，此时a就是圆柱的高，
即a=12，
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分时，a最长，
在中，根据勾股定理得，
，
即a=13，
综上，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是构造直角三角形．
29．(0
【分析】根据在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，分两种情况点P在y轴正半轴上，ABP≌BAC，可得AP=BC，即m+1=2+1，点P在y轴负半轴时，P与点（0，2）关于y=-1对称即可求解，
解：设点P的坐标为（0，m），
在y轴上找一点P．使ABP和ABC全等，
点P在y轴正半轴上，ABP≌BAC，
∴AP=BC，即m+1=2+1，
∴m=2，
点P（0，2），
点P在y轴负半轴时，P与点（0，2）关于y=-1对称，
∴2+1=-1-m
∴m=-4
P（0，-4）．
点P的坐标为（0，2）或（0，-4）．
故答案为（0，2）或（0，-4）．
【点拨】本题考查图形与坐标，三角形全等的性质，两点间距离，掌握图形与坐标特征，三角形全等的性质，两点间距离运用是解题关键．
30．9
【分析】作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．判断出点D′坐标，求出OD′，根据OD′≤OC+PC+PD′，可以推出PC+PD′≥9，可得结论．
解：作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．
∵E（0，4），D（6，0），MN∥x轴，D，D′关于MN对称，
∴D′（6，8），
∴OD′==10，
∵∠AOB=90°，AB=2，AC=CB，
∴OC=AB=1，
∵PD=PD′，
∴PC+PD=PC+PD′，
∵OD′≤OC+PC+PD′，
∴PC+PD′≥9，
∴PC+PD的最小值为9，
故答案为9．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
31．79
【分析】根据给出的数据找出规律：，，，由此求出的值，即可求出答案．
解：由题可得：，，，
，，，
，，，
……，
∴，，，
∴当时，，
∴，，
∴，
故答案为：79．
【点拨】本题考查勾股定理，根据题目给出的数据找出规律是解题的关键．
32．11、60、61
【分析】根据所提供的数据发现股 ，弦，即可解答．
解：根据已知可得，下一组勾股数为：11、60、61．
故答案为：11、60、61．
【点拨】本题考查勾股数之间的关系，属于规律性题．根据题意找出所给勾股数之间的关系是解答本题的关键．
33．30
【分析】根据勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，从而得到正方形的面积正方形的面积正方形的面积，即可求解．
解：如图，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积．
故答案为：30
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
34．49
【分析】如图，正方形A，B的面积和等于,正方形C，D的面积和等于，,
解：如图，设正方形A，B，C，D的边长分别为，设标有的两个正方形的边长为，
根据勾股定理可得
则
故答案为：49
【点拨】此题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用.
35．27
【分析】设两个正方形的面积分别为a和3a，根据勾股定理求出BC2，再利用勾股定理BD2＋CD2＝BC2，由正方形的面积公式可得a＋3a＝36，即可求解．
解：设两个正方形的面积分别为a和3a，
∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，
∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴a+3a＝36，
∴a＝9，
∴3a＝27，
∴较大的正方形的面积为27，
故答案为：27．
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键．
36．
【分析】设，，，利用等边三角形的性质和勾股定理求出面积，再根据勾股定理计算即可．
解：如图，设，，，
是直角三角形，
，
，
∵直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，
∴等边三角形的高平分底边，
∴三个等边三角形的高分别为
，，，
，， ，
∴，
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质是解题的关键．
37．
【分析】根据勾股定理计算即可；
解：如图，由勾股定理得 AC＝＝5．
∵S△ABC＝AB×3＝AC•BD，即×2×3＝×5BD，
∴BD＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
38．
【分析】如图，连接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理计算即可得出ED的长．
解：如图，连接AD，则AD=AB=3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED=
=
=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
39．##
【分析】利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，设CD=x，在△B′CD中，利用勾股定理列出方程，解之即可．
解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，
∴AC==4，
由折叠可知：AB=AB′=5，BD=B′D，
∴B′C=AB′-AC=1，
设CD=x，则BD=B′D=3-x，
在△B′CD中，，
即，
解得：x=，
即CD=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用折叠的性质求出B′C的长是解题的关键．
40．
【分析】设，根据题意可得在中，在中勾股定理分别求得的值，进而即可求得点的坐标．
解：
四边形是长方形
根据折叠的性质可得
设，根据题意可得
在中，
即
解得
在中，
即
解得
点在第二象限
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理，坐标与图形，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
41．4
【分析】根据旋转的性质得到，再结合勾股定理解题即可．
解：由旋转的性质得到，
在中，，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查旋转的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
42．36
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
解：在Rt△ACB中，，
则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和
故答案为：36．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
43．直角三角形
【分析】先求，面积，得等式即可．
解：，
，
，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理判断直角三角形问题，掌握勾股定理的逆定理，利用面积关系得到三角形三边具有两短边的平方和等于长边的平方是解题关键．
44．14
【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC-直径为AB的半圆面积
=
=
=
=
=
=14
故答案为：14．
【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
45．
【分析】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可．
解：根据题意，得
=
=，
∵，
∴；
故答案为：，，.
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键．
46．勾股定理 c2=a2+b2
解：试题分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．
用图（2）较简单，
如图正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，
即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．
这个定理称为 勾股定理．
考点：本题考查的是勾股定理的几何背景
点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
47．13
【分析】设小直角三角形的两个直角边长分别为，再根据三角形和正方形的面积公式可得，然后利用完全平方公式进行变形运算即可得．
解：设小直角三角形的两个直角边长分别为，
由题意得：，即，
则，
即组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边的平方和为13，
故答案为：13．
【点拨】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟记公式是解题关键．
48．5
【分析】由大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加小正方形面积即，列式计算即可得到答案
解：∵四个三角形是全等的直角三角形
∴其面积和为：
又∵大正方形由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成
∴大正方形的面积为：
∴所以大正方形的边长为5．
故答案为：5
【点拨】本题考查勾股定理的验证，牢记定理内容并能灵活应用是解题是关键．
49．##
【分析】根据题意将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，即可求出AC的长．
解：将正方体展开后如图：
因为，
．
故答案为：.
【点拨】本题考查勾股定理的运用和两点之间线段最短以及解答此题的关键是根据两点之间线段最短将图形展开，然后利用勾股定理解答．
50．13米
【分析】设高的那棵树用AB表示，低的那棵树用CD表示，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，然后由题意可得CE=12米，AB=10米，CD=5米，则有AE=5米，最后利用勾股定理可求解．
解：设高的那棵树用AB表示，低的那棵树用CD表示，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，如图所示：
由题意得：CE=12米，AB=10米，CD=5米，∠AEC=90°，
∴AE=5米，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：（米）；
故答案为13米．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
51．2和3和2 3 2 C
【分析】利用勾股定理可得：，由此求解即可．
解：利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数2和3的直角三角形的斜边．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2，连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．
故答案为：2和3；3；2；C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理与无理数的关系是解题的关键．
52．##
【分析】先求出圆的半径，从而得出长度，进而得出点表示的数，即可得出点表示的数．
解：正方形的边长为1，
圆的半径为，
，
点表示的数为，
点表示的数为．
故答案为：．
【点拨】本题考查实数与数轴以及勾股定理，掌握作图方法是解题的关键．
53．（1）修建的公路CD的长为；（2）总路程为．
【分析】（1）根据题意可得：，，，利用勾股定理可得，再由三角形的等面积法计算即可得出；
（2）由垂直的性质及（1）中结论，再利用勾股定理可得出长度，然后求长即可．
解：（1）∵，
∴，
根据题意可得：，，
∴，
，
∴，
∴，
∴修建的公路CD的长为；
（2）∵，
∴，
根据题意可得：，，
∴，
∴，
∴总路程为．
【点拨】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键．
54．（1）见解析；（2）AB；（3）a-b的值为8．
【分析】（1）利用点A、B的坐标描点即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出方程组，即可求解．
解：（1）如图，点A、点B为所作；
（2）AB=；
（3）∵点C（a﹣1，2b+3）与点B（4，3）关于x轴对称，
∴a-1=4，2b+3=-3，
解得：a=5，b=-3，
∴a-b=5-(-3)=8．
【点拨】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标以及勾股定理，关键是掌握点的坐标的变化规律．
55．（1）9；（2）54
【分析】（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案；
（2）由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案．
解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴，
∴AB=AE+BE=9；
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，
由折叠的性质可得AD=DF，
∴BC=AD=DF，
设CF=x，则BC=DF=x+3，
∵，
∴，
解得，
∴CF=12，
∴
【点拨】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
56．（1）米；（2）树高为9米．
【分析】（1）过点A作于F，构造矩形，设，在中，利用正切定义解得，在中，由正切定义解得，利用勾股定理解得；
（2）在中，设，，由正切定义解得，结合线段和差解题即可．
解：（1）如图，过点A作于F，
则四边形为矩形，
∴米，
设，
在中，，
在中，，
∵，，
∴，
（米）；
（2）在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
答：树高为9米．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
57．（1）；（2）是直角三角形；（3）．
【分析】（1）根据题目中给出的两点间的距离P1P2 = ，代入求解即可；
（2）根据两点间距离公式分别求出DE，DF，EF的长度，即可判断此三角形的形状；
（3）设点P的坐标为(x，0)，根据两点间距离公式分别表示出PD和PF的长度，根据列出方程求解即可．
解：（1）∵两点间的距离P1P2 = ，A (1，4)、B (-3，2)，
∴；
（2）∵三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）设点P的坐标为(x，0)，
∵∆PDF是以DF为底的等腰三角形，
∴，
∴，
即，
整理得：，
解得：．
∴点P的坐标为．
【点拨】此题考查了两点间距离公式的运用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用两点间距离公式．
58．（1）a2+b2=c2；（2）见解析
【分析】（1）由勾股定理即可得出结果；
（2）选择图①由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即可得出结果；
选择图②由梯形的面积=2个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积，即可得出结果；
选择图③由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即可得出结果．
解：（1）由勾股定理得：a2+b2=c2．
故答案为：a2+b2=c2；
（2）选择图①．
∵大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴（a+b）2=4×ab+c2，即a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
选择图②由梯形的面积=2个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积，
∴（a+b）2=2×ab+c2，即a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
选择图③由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴c2=4×ab+ (b-a)2，即c2=2ab+b2-2ab+a2，
∴a2+b2=c2．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明、正方形和三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理的证明，通过图形面积关系得出结论是解决问题的关键．
59．学校点A与取水站点C的距离是米
【分析】由题意可得，，，，，设米，根据勾股定理求解即可．
解：由题意可得，，，，，
由勾股定理得，米，
设米，则米，
由勾股定理得，，即，
解得：，
即学校点A与取水站点C的距离是米．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确利用勾股定理进行求解．
60．（1）见解析；（2）
【分析】（1）将表示3的点向上平移1个单位，得到点，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点即为所求
（2）根据对称性可知点是的中点，设表示的数为，根据即可求得点B对应的数．
解：（1）如图，点即为所求
，
点表示的数是
（2）设表示的数为，则
解得
表示的数为
故答案为：
【点拨】本题考查了实数与数轴，勾股定理，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
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