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北师大版七年级数学下册 专题2.6 平行线中常见模型专项训练（30道）（举一反三）（原卷版+解析）
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这是一份北师大版七年级数学下册 专题2.6 平行线中常见模型专项训练（30道）（举一反三）（原卷版+解析），共44页。
专题2.6 平行线中常见模型专项训练（30道）【北师大版】1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5°2．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（ ）A．∠A+∠P+∠C＝90° B．∠A+∠P+∠C＝180° C．∠A+∠P+∠C＝360° D．∠P+∠C＝∠A3．如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是（ ）A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，则∠E：∠F＝（ ）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：35．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）A．60° B．70° C．80° D．90°6．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（ ）A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°8．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）A．62° B．58° C．52° D．48°9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ ．10．如图，已知AB∥CD，∠BAF＝∠FED＝21°，∠CDE＝17°，则∠AFC＝ ．11．如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°，则∠2＝ ．12．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．13．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4＝ ．14．如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．15．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 度．16．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝ ．17．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α18．如图，AB∥CD，CP∥FG，点E，G分别在CP，PQ上，连接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判断AB与PQ存在什么位置关系？请详细说明理由．19．已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．（提示：注意适当添加辅助线吆！）20．探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）如图a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，AB∥CD，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将点E移至图c所示位置，AB∥CD，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？21．已知，AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2＝ ；（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ ；（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．22．如图所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D．（1）分别写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系，这个关系与B、D之间的点的个数有关吗？如果有，写出这个规律；（2）如果在图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，根据在（1）中的结论，直接写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系．23．已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．24．问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝ ．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．25．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）26．课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．27．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．28．如图1，已知AB∥CD，点E和点H分别在直线AB和CD上，点F在直线AB和CD之间，连接EF和HF．（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度数；（2）如图2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延长线于点M，∠DHF＝80°，求∠FMH的度数．29．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．30．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论；（3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD与点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数． 专题2.6 平行线中常见模型专项训练（30道）【北师大版】1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．2．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（ ）A．∠A+∠P+∠C＝90° B．∠A+∠P+∠C＝180° C．∠A+∠P+∠C＝360° D．∠P+∠C＝∠A【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求得．【解答】解：连接AC．∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA＝180°，∵∠P+∠PAC+∠PCA＝180°，∴∠BAP+∠P+∠DCP＝∠BAC+∠DCA+∠P+∠PAC+∠PCA＝360°．故选：C．3．如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是（ ）A．75° B．65° C．55° D．50°【分析】如图作出两直线的交点，由a∥b可以推出∠1+∠4＝180°，然后可以求出∠4＝75°．再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可以求出∠3．【解答】解：如图作出两直线的交点，∵a∥b，则∠1+∠4＝180°，∴∠4＝75°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到∠2＝∠3+∠4，则∠3＝65°．故选：B．4．如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，则∠E：∠F＝（ ）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD＝3：2．故选：C．5．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）A．60° B．70° C．80° D．90°【分析】两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，在本题中，根据这两条性质即可解答．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF；∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．故选：B．6．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（ ）A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°【分析】根据平行线的性质，找图中的内错角，同旁内角即可判断，所以想到延长DC到G，然后结合图形去分析即可解答．【解答】解：延长DC到G，∵EF∥CD，∴∠GCE＝∠CEF，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCG＝180°，∴∠ABC+∠BCE﹣∠GCE＝180°，∴∠ABG+∠BCE﹣∠CEF＝180°，故选：D．7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．8．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）A．62° B．58° C．52° D．48°【分析】过直角的顶点C作CM∥AB，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：过直角的顶点C作CM∥AB，如图所示：由题意可得：AB∥DE，∠FCG＝90°，∵CM∥AB，∠1＝28°，∴CM∥DE，∠1＝∠MCG＝28°，∴∠2＝∠FCM，∠FCM＝90°﹣∠MCG＝62°，∴∠2＝62°．故选：A．二．填空题（共8小题）9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ 125° ．【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的定义，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠BED＝110°，∴∠ABE+∠CDE＝250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=12（∠ABE+∠CDE）＝125°，∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．故答案为125°10．如图，已知AB∥CD，∠BAF＝∠FED＝21°，∠CDE＝17°，则∠AFC＝ 59° ．【分析】在△CDE中由外角的性质可求得∠FCD，过点F作FG∥AB，可得到∠AFC＝∠BAF+∠FCD，可求得答案．【解答】解：过F作FG∥AB，如图，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BAF＝∠AFG，∠FCD＝∠GFC，∴∠AFC＝∠BAF+∠FCD，又∠FCD＝∠FED+∠CDE＝21°+17°＝38°，∴∠AFC＝21°+38°＝59°，故答案为：59°．11．如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°，则∠2＝ 70° ．【分析】如图，过点C作CH∥AB，则∠ABC+∠BCH＝180°，再由∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，可得出∠DCH+∠CDE＝180°，推出CH∥DE，AB∥DE，再利用平行线性质即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CH∥AB，则∠ABC+∠BCH＝180°，∵∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，即∠ABC+∠BCH+∠DCH+∠CDE＝360°，∴∠DCH+∠CDE＝180°，∴CH∥DE，∴AB∥DE，∴∠DGF＝∠1＝110°，∴∠2＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．12．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ．【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB＝180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，于是得到结论．【解答】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．故答案为：540°．13．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4＝ 140° ．【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，求出AB∥EM∥FN∥CD，根据平行线的性质得出∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，再求出答案即可．【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，∵∠1＝30°，∠AEF＝50°，∠EFC＝60°，∴∠AEM＝30°，∴∠EFN＝∠MEF＝50°﹣30°＝20°，∴∠NFC＝60°﹣20°＝40°，∴∠4＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．14．如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 64 度．【分析】两平行线间的折线所成的角之间的关系是﹣﹣﹣﹣奇数角，由∠1与130°互补可以得知∠1＝50°，由a∥b，结合我们日常总结的规律“两平行线间的折线所成的角之间的关系﹣左边角之和等于右边角之和”得出等式，代入数据即可得出结论．【解答】解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，∴x＝64°．故答案为：64．15．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 42 度．【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和可得∠ABE+∠CDE＝42°，过点E作EP∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．【解答】解：如图，过点E作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠ABE＝∠BEP，∠CDE＝∠DEP，∠ABC＝∠BCD，∵∠ABC+∠BAD+∠AFB＝180°，∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠AFB＝84°，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠CDE=12∠ADC，∴∠ABE+∠CDE=12（∠ABC+∠BAD）＝42°，∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE）＝42°，故答案为：42．16．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝ 17° ．【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算出∠1+∠2＝30°，结合∠1比∠2大4°，即可得解．【解答】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°，∵∠1＝∠2+4°，∴∠1＝17°，故答案为：17°．三．解答题（共14小题）17．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α【分析】此题的关键是过点C作AB的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E＝180°，∠B+∠C+∠D＝360°，即可证明．【解答】证法1：∵AB∥ED，∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）过C作CF∥AB（如图1）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∵CF∥AB，∴∠B＝∠1，（两直线平行，内错角相等）又∵CF∥ED，∴∠2＝∠D，（两直线平行，内错角相等）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠1+∠BCD+∠2＝360°（周角定义）∴β＝2α（等量代换）证法2：∵AB∥ED，∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）过C作CF∥AB（如图2）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∵CF∥AB，∴∠B+∠1＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥ED，∴∠2+∠D＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D＝180°+180°＝360°，∴β＝2α（等量代换）18．如图，AB∥CD，CP∥FG，点E，G分别在CP，PQ上，连接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判断AB与PQ存在什么位置关系？请详细说明理由．【分析】延长BA交CP于点H，利用平行线的性质和判定解答即可【解答】解：AB∥PQ，理由如下：延长BA交CP于点H，∵CP∥FG，∴∠FGQ＝∠CPQ，∵∠CAB＝∠ACP+∠CHA，∵∠CAB＝∠ACP+∠FGQ，∴∠CHA＝∠FGQ，∴∠CHA＝∠CPQ，∴AB∥PQ．19．已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．（提示：注意适当添加辅助线吆！）【分析】（1）首先过P作AB的平行线PE，再根据平行线的性质：两直线平行，用旁内角互补，可得到∠APC+∠BAP+∠PCD＝360°；（2）根据三角形的外角性质得出图3的关系，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：（1）图1，∠A+∠P+∠C＝360°，图2，∠A+∠C＝∠APC，证明图1：过P作PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，又∵AB∥CD，∴CD∥PE，∴∠C+∠CPE＝180°，∴∠A+∠APE+∠EPC+∠C＝360°；（2）图3：∠PCD＝∠PAB+∠APC，图4：∠PAB＝∠PCD+∠CPA．20．探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）如图a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，AB∥CD，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将点E移至图c所示位置，AB∥CD，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？【分析】已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．【解答】解：（1）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．（2）若∠B+∠D＝∠E，由EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠E＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（3）若将点E移至图b所示位置，过E作EF∥AB，∴∠BEF+∠B＝180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF＝180°，∴∠E+∠B+∠D＝360°；（4）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∵∠D+∠E＝∠BFD，∴∠D+∠E＝∠B；（5）∵AB∥CD，∴∠E+∠G＝∠B+∠F+∠D；（6）由以上可知：∠E1+∠E2+…+∠En＝∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn﹣1+∠D；21．已知，AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2＝ 180° ；（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ 360° ；（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ；（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ 180°（n﹣1） ．【分析】（1）根据两条直线平行，同旁内角互补作答；（2）过点E作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；（3）分别过点E，F作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；（4）同样作辅助线，运用（n﹣1）次平行线的性质，则n个角的和是（n﹣1）180°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．22．如图所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D．（1）分别写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系，这个关系与B、D之间的点的个数有关吗？如果有，写出这个规律；（2）如果在图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，根据在（1）中的结论，直接写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系．【分析】（1）分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的传递性可知AB∥P1E∥P2F∥P3G，在图甲中，由平行线的性质可得出∠B+∠1＝180°，∠2+∠3＝180°，∠4+∠5＝180°，∠6+∠D＝180°，再把各式相加即可；在图乙中可知∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°，∠4+∠5＝180°，∠6＝∠D，再把各式相加即可．（2）由（1）中的规律即可得出结论．【解答】解：（1）有．分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，∵AB∥CD，∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．在图甲中，由平行线的性质可得出∠B+∠1＝180°①，∠2+∠3＝180°②，∠4+∠5＝180°③，∠6+∠D＝180°④，①+②+③+④得，∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D＝4×180°＝720°∴∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD＝（n+1）•180°；在图乙中可知∠1＝∠B①，∠2+∠3＝180°②，∠4+∠5＝180°③，∠6＝∠D④，①+②+③+④得，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D＝180°+180°+∠B+∠D＝360°+∠B+∠D．∴∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠B﹣∠D＝（n﹣1）×180°．（2）由（1）可知，图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn时，∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD＝（n+1）•180°；图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠B﹣∠D＝（n﹣1）×180°．23．已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．【解答】（1）过点G作GE∥AB，因为AB∥GE，所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，因为AB∥GE，AB∥CD，所以GE∥CD（平行的传递性），所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．（2）过点G作GF∥AB，因为AB∥GF，所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），因为AB∥GF，AB∥CD，所以GF∥CD（平行的传递性），所以∠C＝∠CGF，所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，因为∠A＝x°，∠C＝y°所以∠AGC＝（x+y）°，（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，∠FGC＝∠NFG+GCD，而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．24．问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝ 252° ．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1 ．【分析】根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．【解答】解：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠APC＝108°，∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°；故答案为：252°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图3﹣1，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图3﹣2，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M，由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．25．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）【分析】（1）作EH∥AB，如图，利用平行线的性质得EH∥CD，则∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，于是得到∠MEN＝∠AME+∠CNE，而∠AME=12∠AMF，所以∠MEN=12∠AMF+∠CNE；同理可得∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，再∠AMF＝52°，∠CNE＝38°代入计算即可；（2）由（1）的结论得到∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，变形得到2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，利用等式的性质得2∠MFN﹣∠MEN=32∠AMF，加上2∠MFN﹣∠MEN＝45°，可求得∠AMF的度数；（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，再变形∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE得到2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，把两式相加得2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），则∠AMF+∠CNE=23（∠MEN+∠MFNF），进而可求解．【解答】解：（1）作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，∴∠MEN＝∠AME+∠CNE，∵EM是∠AMF的平分线，∴∠AME=12∠AMF，∴∠MEN=12∠AMF+∠CNE=12×52°+38°＝64°；同理可得∠MFN＝∠AMF+12∠CNE＝52°+12×38°＝71°；（2）∵∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，∴2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠MFN﹣∠MEN=32∠AMF，∵2∠MFN﹣∠MEN＝45°，∴32∠AMF＝45°，∴∠AMF＝30°；（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，而∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，∴2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），∴∠AMF+∠CNE=23（∠MEN+∠MFN），∴∠MON=23（∠MEN+∠MFN）．26．课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 120° ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O作ON∥FG，∵ON∥FG，∠1＝30°，∴∠PNO＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠BON＝∠PNO＝30°，又∵EF⊥AB，∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON＝120°．27．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．【分析】（1）过点P作PE∥MN，根据平行线的性质和角平分线的性质得：∠BPE＝∠DBP=12∠MBA＝40°．∠CPE=∠PCA=12∠DCA=25°，相加可得结论；（2）如图2，过点P作PE∥MN，根据平角可得∠DBA＝180°﹣80°＝100°．由角平分线和平行线的性质得∠BPE＝130°．∠PCA=∠CPE=12∠DCA=25°，相加可得结论；（3）如图3，作平行线，同理可得结论，如图4和图5，同理根据三角形的外角可得结论．【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥MN．∵MN∥GH．∴PE∥MN∥GH．∵PB平分∠DBA．∴∠DBP=12∠MBA＝40°．∵MN∥PE，∴∠BPE＝∠DBP＝40°（两直线平行，内错角相等）．同理可证．∠CPE=∠PCA=12∠DCA=25°．∴∠BPC＝40°+25°＝65°．（2）如图2，过点P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°﹣80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP=12∠DBA=50°．∵MN∥PE，∴∠BPE＝180°﹣∠DBP＝130°（两直线平行，同旁内角互补）．∵PC平分∠DCA．∴∠PCA=∠CPE=12∠DCA=25°（两直线平行，内错角相等）．∴∠BPC＝130°+25°＝155°．（3）如图3，过点P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝40°＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）．∴CP平分∠DCA．∠DCA＝180°﹣∠DCG＝130°．∴∠PCA=12∠DCA=65°．∴∠CPE＝180°﹣∠PCA＝115°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠BPC＝40°+115°＝155°；如图4，同理得：∠ACF＝∠GCP＝65°，∠PEC＝∠DBP＝40°，∴∠BPC＝∠GCP﹣∠PEC＝65°﹣40°＝25°；如图5，∠AOC＝∠HAO﹣∠HCO＝80°﹣65°＝15°＝∠BOP，∴∠BPC＝∠EBP﹣∠BOP＝40°﹣15°＝25°；综上，∠BPC的度数为25°或155°．28．如图1，已知AB∥CD，点E和点H分别在直线AB和CD上，点F在直线AB和CD之间，连接EF和HF．（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度数；（2）如图2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延长线于点M，∠DHF＝80°，求∠FMH的度数．【分析】（1）过点作FT∥AB，利用平行线的性质即可得出结论；（2）过点M作MN∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义与（1）的结论分别计算出∠CHM，∠AEF，∠AEM的度数，即可求得结论．【解答】解：（1）过点作FT∥AB，如图，∴∠AEF+∠EFT＝180°．∵AB∥CD，FT∥AB，∴FT∥CD，∴∠TFH+∠CHF＝180°．又∠EFT+∠TFH＝∠EFH，∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°．（2）过点M作MN∥AB，如图2所示，∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠CHM＝∠HMN，∴∠AEM＝∠EMN，∴∠FMH＝∠HMN﹣∠EMN，∴∠FMH＝∠CHM﹣∠AEM．由题知：∠DHF＝80°，∴∠CHF＝100°．∵HM平分∠CHF，∴∠CHM＝50°．由（1）知∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，又∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，∠CHF＝100°，∴∠AEF＝140°．∴∠AEM＝180°﹣∠AEF＝180°﹣140°＝40°，∴∠FMH＝50°﹣40°＝10°．29．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即可求解；（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答．【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°． （两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG=12∠AEP，∠HGF＝∠CFG=12∠CFP，由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF=12（∠P+∠AEP）=12（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE=12（α+∠AEP）=12α+12∠AEP﹣∠HGE=12α．30．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论；（3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．【分析】（1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，代入求出即可；（2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，求出即可；（3）分三种情况讨论：①当P在线段EF的延长线上运动时，②当点P在线段FE的延长线上运动时，③当点P在线段EF上运动时，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】（1）解：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∵∠A＝20°，当点P在线段EF上运动时，∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，∵∠APC＝70°，∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；（2）∠A+∠C＝∠APC，证明：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；（3）解：①当P在线段EF的延长线上运动时，不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC，理由是：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC，即∠A﹣∠C＝∠APC；②当点P在线段FE的延长线上运动时，新的相等关系为∠C＝∠APC+∠A．理由：设AB与CP相交于Q，则∠PQB＝∠APC+∠A．∵AB∥CD，∴∠C＝∠PQB，∴∠C＝∠APC+∠A．③当点P在线段EF上运动时，成立，关系式为∠A+∠C＝∠APC，证明：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；综上所述，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论不一定成立． 已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD与点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．
专题2.6 平行线中常见模型专项训练（30道）【北师大版】1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5°2．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（ ）A．∠A+∠P+∠C＝90° B．∠A+∠P+∠C＝180° C．∠A+∠P+∠C＝360° D．∠P+∠C＝∠A3．如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是（ ）A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，则∠E：∠F＝（ ）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：35．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）A．60° B．70° C．80° D．90°6．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（ ）A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°8．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）A．62° B．58° C．52° D．48°9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ ．10．如图，已知AB∥CD，∠BAF＝∠FED＝21°，∠CDE＝17°，则∠AFC＝ ．11．如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°，则∠2＝ ．12．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．13．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4＝ ．14．如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．15．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 度．16．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝ ．17．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α18．如图，AB∥CD，CP∥FG，点E，G分别在CP，PQ上，连接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判断AB与PQ存在什么位置关系？请详细说明理由．19．已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．（提示：注意适当添加辅助线吆！）20．探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）如图a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，AB∥CD，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将点E移至图c所示位置，AB∥CD，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？21．已知，AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2＝ ；（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ ；（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．22．如图所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D．（1）分别写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系，这个关系与B、D之间的点的个数有关吗？如果有，写出这个规律；（2）如果在图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，根据在（1）中的结论，直接写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系．23．已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．24．问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝ ．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．25．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）26．课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．27．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．28．如图1，已知AB∥CD，点E和点H分别在直线AB和CD上，点F在直线AB和CD之间，连接EF和HF．（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度数；（2）如图2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延长线于点M，∠DHF＝80°，求∠FMH的度数．29．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．30．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论；（3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD与点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数． 专题2.6 平行线中常见模型专项训练（30道）【北师大版】1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．2．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（ ）A．∠A+∠P+∠C＝90° B．∠A+∠P+∠C＝180° C．∠A+∠P+∠C＝360° D．∠P+∠C＝∠A【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求得．【解答】解：连接AC．∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA＝180°，∵∠P+∠PAC+∠PCA＝180°，∴∠BAP+∠P+∠DCP＝∠BAC+∠DCA+∠P+∠PAC+∠PCA＝360°．故选：C．3．如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是（ ）A．75° B．65° C．55° D．50°【分析】如图作出两直线的交点，由a∥b可以推出∠1+∠4＝180°，然后可以求出∠4＝75°．再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可以求出∠3．【解答】解：如图作出两直线的交点，∵a∥b，则∠1+∠4＝180°，∴∠4＝75°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到∠2＝∠3+∠4，则∠3＝65°．故选：B．4．如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，则∠E：∠F＝（ ）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD＝3：2．故选：C．5．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）A．60° B．70° C．80° D．90°【分析】两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，在本题中，根据这两条性质即可解答．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF；∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．故选：B．6．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（ ）A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°【分析】根据平行线的性质，找图中的内错角，同旁内角即可判断，所以想到延长DC到G，然后结合图形去分析即可解答．【解答】解：延长DC到G，∵EF∥CD，∴∠GCE＝∠CEF，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCG＝180°，∴∠ABC+∠BCE﹣∠GCE＝180°，∴∠ABG+∠BCE﹣∠CEF＝180°，故选：D．7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．8．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）A．62° B．58° C．52° D．48°【分析】过直角的顶点C作CM∥AB，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：过直角的顶点C作CM∥AB，如图所示：由题意可得：AB∥DE，∠FCG＝90°，∵CM∥AB，∠1＝28°，∴CM∥DE，∠1＝∠MCG＝28°，∴∠2＝∠FCM，∠FCM＝90°﹣∠MCG＝62°，∴∠2＝62°．故选：A．二．填空题（共8小题）9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ 125° ．【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的定义，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠BED＝110°，∴∠ABE+∠CDE＝250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=12（∠ABE+∠CDE）＝125°，∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．故答案为125°10．如图，已知AB∥CD，∠BAF＝∠FED＝21°，∠CDE＝17°，则∠AFC＝ 59° ．【分析】在△CDE中由外角的性质可求得∠FCD，过点F作FG∥AB，可得到∠AFC＝∠BAF+∠FCD，可求得答案．【解答】解：过F作FG∥AB，如图，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BAF＝∠AFG，∠FCD＝∠GFC，∴∠AFC＝∠BAF+∠FCD，又∠FCD＝∠FED+∠CDE＝21°+17°＝38°，∴∠AFC＝21°+38°＝59°，故答案为：59°．11．如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°，则∠2＝ 70° ．【分析】如图，过点C作CH∥AB，则∠ABC+∠BCH＝180°，再由∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，可得出∠DCH+∠CDE＝180°，推出CH∥DE，AB∥DE，再利用平行线性质即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CH∥AB，则∠ABC+∠BCH＝180°，∵∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，即∠ABC+∠BCH+∠DCH+∠CDE＝360°，∴∠DCH+∠CDE＝180°，∴CH∥DE，∴AB∥DE，∴∠DGF＝∠1＝110°，∴∠2＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．12．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ．【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB＝180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，于是得到结论．【解答】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．故答案为：540°．13．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4＝ 140° ．【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，求出AB∥EM∥FN∥CD，根据平行线的性质得出∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，再求出答案即可．【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，∵∠1＝30°，∠AEF＝50°，∠EFC＝60°，∴∠AEM＝30°，∴∠EFN＝∠MEF＝50°﹣30°＝20°，∴∠NFC＝60°﹣20°＝40°，∴∠4＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．14．如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 64 度．【分析】两平行线间的折线所成的角之间的关系是﹣﹣﹣﹣奇数角，由∠1与130°互补可以得知∠1＝50°，由a∥b，结合我们日常总结的规律“两平行线间的折线所成的角之间的关系﹣左边角之和等于右边角之和”得出等式，代入数据即可得出结论．【解答】解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，∴x＝64°．故答案为：64．15．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 42 度．【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和可得∠ABE+∠CDE＝42°，过点E作EP∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．【解答】解：如图，过点E作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠ABE＝∠BEP，∠CDE＝∠DEP，∠ABC＝∠BCD，∵∠ABC+∠BAD+∠AFB＝180°，∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠AFB＝84°，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠CDE=12∠ADC，∴∠ABE+∠CDE=12（∠ABC+∠BAD）＝42°，∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE）＝42°，故答案为：42．16．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝ 17° ．【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算出∠1+∠2＝30°，结合∠1比∠2大4°，即可得解．【解答】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°，∵∠1＝∠2+4°，∴∠1＝17°，故答案为：17°．三．解答题（共14小题）17．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α【分析】此题的关键是过点C作AB的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E＝180°，∠B+∠C+∠D＝360°，即可证明．【解答】证法1：∵AB∥ED，∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）过C作CF∥AB（如图1）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∵CF∥AB，∴∠B＝∠1，（两直线平行，内错角相等）又∵CF∥ED，∴∠2＝∠D，（两直线平行，内错角相等）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠1+∠BCD+∠2＝360°（周角定义）∴β＝2α（等量代换）证法2：∵AB∥ED，∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）过C作CF∥AB（如图2）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∵CF∥AB，∴∠B+∠1＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥ED，∴∠2+∠D＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D＝180°+180°＝360°，∴β＝2α（等量代换）18．如图，AB∥CD，CP∥FG，点E，G分别在CP，PQ上，连接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判断AB与PQ存在什么位置关系？请详细说明理由．【分析】延长BA交CP于点H，利用平行线的性质和判定解答即可【解答】解：AB∥PQ，理由如下：延长BA交CP于点H，∵CP∥FG，∴∠FGQ＝∠CPQ，∵∠CAB＝∠ACP+∠CHA，∵∠CAB＝∠ACP+∠FGQ，∴∠CHA＝∠FGQ，∴∠CHA＝∠CPQ，∴AB∥PQ．19．已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．（提示：注意适当添加辅助线吆！）【分析】（1）首先过P作AB的平行线PE，再根据平行线的性质：两直线平行，用旁内角互补，可得到∠APC+∠BAP+∠PCD＝360°；（2）根据三角形的外角性质得出图3的关系，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：（1）图1，∠A+∠P+∠C＝360°，图2，∠A+∠C＝∠APC，证明图1：过P作PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，又∵AB∥CD，∴CD∥PE，∴∠C+∠CPE＝180°，∴∠A+∠APE+∠EPC+∠C＝360°；（2）图3：∠PCD＝∠PAB+∠APC，图4：∠PAB＝∠PCD+∠CPA．20．探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？（2）如图a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，AB∥CD，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将点E移至图c所示位置，AB∥CD，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？【分析】已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．【解答】解：（1）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．（2）若∠B+∠D＝∠E，由EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠E＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（3）若将点E移至图b所示位置，过E作EF∥AB，∴∠BEF+∠B＝180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF＝180°，∴∠E+∠B+∠D＝360°；（4）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∵∠D+∠E＝∠BFD，∴∠D+∠E＝∠B；（5）∵AB∥CD，∴∠E+∠G＝∠B+∠F+∠D；（6）由以上可知：∠E1+∠E2+…+∠En＝∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn﹣1+∠D；21．已知，AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1，∠1+∠2＝ 180° ；（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ 360° ；（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ；（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ 180°（n﹣1） ．【分析】（1）根据两条直线平行，同旁内角互补作答；（2）过点E作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；（3）分别过点E，F作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；（4）同样作辅助线，运用（n﹣1）次平行线的性质，则n个角的和是（n﹣1）180°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．22．如图所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D．（1）分别写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系，这个关系与B、D之间的点的个数有关吗？如果有，写出这个规律；（2）如果在图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，根据在（1）中的结论，直接写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系．【分析】（1）分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的传递性可知AB∥P1E∥P2F∥P3G，在图甲中，由平行线的性质可得出∠B+∠1＝180°，∠2+∠3＝180°，∠4+∠5＝180°，∠6+∠D＝180°，再把各式相加即可；在图乙中可知∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°，∠4+∠5＝180°，∠6＝∠D，再把各式相加即可．（2）由（1）中的规律即可得出结论．【解答】解：（1）有．分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，∵AB∥CD，∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．在图甲中，由平行线的性质可得出∠B+∠1＝180°①，∠2+∠3＝180°②，∠4+∠5＝180°③，∠6+∠D＝180°④，①+②+③+④得，∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D＝4×180°＝720°∴∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD＝（n+1）•180°；在图乙中可知∠1＝∠B①，∠2+∠3＝180°②，∠4+∠5＝180°③，∠6＝∠D④，①+②+③+④得，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D＝180°+180°+∠B+∠D＝360°+∠B+∠D．∴∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠B﹣∠D＝（n﹣1）×180°．（2）由（1）可知，图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn时，∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD＝（n+1）•180°；图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠B﹣∠D＝（n﹣1）×180°．23．已知，直线AB∥CD（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．【解答】（1）过点G作GE∥AB，因为AB∥GE，所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，因为AB∥GE，AB∥CD，所以GE∥CD（平行的传递性），所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．（2）过点G作GF∥AB，因为AB∥GF，所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），因为AB∥GF，AB∥CD，所以GF∥CD（平行的传递性），所以∠C＝∠CGF，所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，因为∠A＝x°，∠C＝y°所以∠AGC＝（x+y）°，（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，∠FGC＝∠NFG+GCD，而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．24．问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝ 252° ．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1 ．【分析】根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．【解答】解：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠APC＝108°，∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°；故答案为：252°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图3﹣1，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图3﹣2，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M，由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．25．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）【分析】（1）作EH∥AB，如图，利用平行线的性质得EH∥CD，则∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，于是得到∠MEN＝∠AME+∠CNE，而∠AME=12∠AMF，所以∠MEN=12∠AMF+∠CNE；同理可得∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，再∠AMF＝52°，∠CNE＝38°代入计算即可；（2）由（1）的结论得到∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，变形得到2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，利用等式的性质得2∠MFN﹣∠MEN=32∠AMF，加上2∠MFN﹣∠MEN＝45°，可求得∠AMF的度数；（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，再变形∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE得到2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，把两式相加得2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），则∠AMF+∠CNE=23（∠MEN+∠MFNF），进而可求解．【解答】解：（1）作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，∴∠MEN＝∠AME+∠CNE，∵EM是∠AMF的平分线，∴∠AME=12∠AMF，∴∠MEN=12∠AMF+∠CNE=12×52°+38°＝64°；同理可得∠MFN＝∠AMF+12∠CNE＝52°+12×38°＝71°；（2）∵∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，∴2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠MFN﹣∠MEN=32∠AMF，∵2∠MFN﹣∠MEN＝45°，∴32∠AMF＝45°，∴∠AMF＝30°；（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，而∠MEN=12∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+12∠CNE，∴2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），∴∠AMF+∠CNE=23（∠MEN+∠MFN），∴∠MON=23（∠MEN+∠MFN）．26．课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 120° ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O作ON∥FG，∵ON∥FG，∠1＝30°，∴∠PNO＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠BON＝∠PNO＝30°，又∵EF⊥AB，∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON＝120°．27．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．【分析】（1）过点P作PE∥MN，根据平行线的性质和角平分线的性质得：∠BPE＝∠DBP=12∠MBA＝40°．∠CPE=∠PCA=12∠DCA=25°，相加可得结论；（2）如图2，过点P作PE∥MN，根据平角可得∠DBA＝180°﹣80°＝100°．由角平分线和平行线的性质得∠BPE＝130°．∠PCA=∠CPE=12∠DCA=25°，相加可得结论；（3）如图3，作平行线，同理可得结论，如图4和图5，同理根据三角形的外角可得结论．【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥MN．∵MN∥GH．∴PE∥MN∥GH．∵PB平分∠DBA．∴∠DBP=12∠MBA＝40°．∵MN∥PE，∴∠BPE＝∠DBP＝40°（两直线平行，内错角相等）．同理可证．∠CPE=∠PCA=12∠DCA=25°．∴∠BPC＝40°+25°＝65°．（2）如图2，过点P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°﹣80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP=12∠DBA=50°．∵MN∥PE，∴∠BPE＝180°﹣∠DBP＝130°（两直线平行，同旁内角互补）．∵PC平分∠DCA．∴∠PCA=∠CPE=12∠DCA=25°（两直线平行，内错角相等）．∴∠BPC＝130°+25°＝155°．（3）如图3，过点P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝40°＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）．∴CP平分∠DCA．∠DCA＝180°﹣∠DCG＝130°．∴∠PCA=12∠DCA=65°．∴∠CPE＝180°﹣∠PCA＝115°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠BPC＝40°+115°＝155°；如图4，同理得：∠ACF＝∠GCP＝65°，∠PEC＝∠DBP＝40°，∴∠BPC＝∠GCP﹣∠PEC＝65°﹣40°＝25°；如图5，∠AOC＝∠HAO﹣∠HCO＝80°﹣65°＝15°＝∠BOP，∴∠BPC＝∠EBP﹣∠BOP＝40°﹣15°＝25°；综上，∠BPC的度数为25°或155°．28．如图1，已知AB∥CD，点E和点H分别在直线AB和CD上，点F在直线AB和CD之间，连接EF和HF．（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度数；（2）如图2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延长线于点M，∠DHF＝80°，求∠FMH的度数．【分析】（1）过点作FT∥AB，利用平行线的性质即可得出结论；（2）过点M作MN∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义与（1）的结论分别计算出∠CHM，∠AEF，∠AEM的度数，即可求得结论．【解答】解：（1）过点作FT∥AB，如图，∴∠AEF+∠EFT＝180°．∵AB∥CD，FT∥AB，∴FT∥CD，∴∠TFH+∠CHF＝180°．又∠EFT+∠TFH＝∠EFH，∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°．（2）过点M作MN∥AB，如图2所示，∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠CHM＝∠HMN，∴∠AEM＝∠EMN，∴∠FMH＝∠HMN﹣∠EMN，∴∠FMH＝∠CHM﹣∠AEM．由题知：∠DHF＝80°，∴∠CHF＝100°．∵HM平分∠CHF，∴∠CHM＝50°．由（1）知∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，又∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，∠CHF＝100°，∴∠AEF＝140°．∴∠AEM＝180°﹣∠AEF＝180°﹣140°＝40°，∴∠FMH＝50°﹣40°＝10°．29．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即可求解；（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答．【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°． （两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG=12∠AEP，∠HGF＝∠CFG=12∠CFP，由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF=12（∠P+∠AEP）=12（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE=12（α+∠AEP）=12α+12∠AEP﹣∠HGE=12α．30．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论；（3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．【分析】（1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，代入求出即可；（2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，求出即可；（3）分三种情况讨论：①当P在线段EF的延长线上运动时，②当点P在线段FE的延长线上运动时，③当点P在线段EF上运动时，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】（1）解：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∵∠A＝20°，当点P在线段EF上运动时，∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，∵∠APC＝70°，∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；（2）∠A+∠C＝∠APC，证明：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；（3）解：①当P在线段EF的延长线上运动时，不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC，理由是：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC，即∠A﹣∠C＝∠APC；②当点P在线段FE的延长线上运动时，新的相等关系为∠C＝∠APC+∠A．理由：设AB与CP相交于Q，则∠PQB＝∠APC+∠A．∵AB∥CD，∴∠C＝∠PQB，∴∠C＝∠APC+∠A．③当点P在线段EF上运动时，成立，关系式为∠A+∠C＝∠APC，证明：过P作PO∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PO∥CD，∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；综上所述，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论不一定成立． 已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD与点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．
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