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北师大版七年级数学下册 专题2.5 平行线的判定与性质专项训练（30道）（举一反三）（原卷版+解析）
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这是一份北师大版七年级数学下册 专题2.5 平行线的判定与性质专项训练（30道）（举一反三）（原卷版+解析），共33页。
专题2.5 平行线的判定与性质专项训练（30道）【北师大版】1．（2021秋•砚山县期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，DG∥BA，求证：∠BEF＝∠ADG．2．（2021秋•博兴县期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．3．（2021秋•昆明期末）如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：∠BCA+∠FGC＝180°．4．（2021秋•内江期末）如图，已知AB∥CD，AF平分∠BAD交CD于点E，交BC的延长线于点F，∠3＝∠F．试说明：AD∥BC．5．（2021秋•聊城期末）如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．6．（2021春•潍坊期末）如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．判断EF是否平分∠BED，并说明理由．7．（2021春•扶沟县期末）如图，AD∥BC，点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：CD∥BE．8．（2021春•汉阳区期中）如图，∠1＝∠2，∠E＝∠F，判断AB与CD的位置关系，并说明理由．9．（2021春•绥中县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD＝65°，求∠1的度数．10．（2021春•沂水县期末）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝34°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝56°，求证：CF∥AG．11．（2021春•大连期末）如图，∠EFC＝∠ABC，∠BEF+∠A＝180°．（1）求证：AD∥BE；（2）若BE平分∠ABC，AD⊥CD于点D，∠EFC＝50°，求∠FEC的度数．12．（2021春•青秀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：AD∥BE；（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．13．（2021春•东昌府区期末）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？14．（2021春•漳平市月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．证明：（1）AB∥EF；（2）∠4＝∠ACB；（3）∠1＝∠B+∠5．15．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）试说明AB∥CD；（2）若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数．16．（2021秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：（1）BF∥EC；（2）∠A＝∠D．17．（2021秋•南海区期末）如图，已知CD∥EF，MD平分∠ADC，∠2＝∠3．（1）求证：MD∥BC．（2）若EF⊥AB，BD＝2，求BC的长．18．（2021秋•福田区期末）已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．19．（2021秋•济南期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．20．（2021秋•东营期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．（1）证明：AB∥CD；（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝34°，求∠3的度数．21．（2021秋•淇县期末）如图，已知：AB∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由．（2）若CE⊥AE于点E，∠2＝140°，试求∠FAB的度数．22．（2021秋•沈丘县期末）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．23．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．24．（2021秋•阳山县期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．25．（2021秋•紫金县期末）如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．26．（2021春•浏阳市期末）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．27．（2021秋•和平县期末）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明∠ABC＝∠C；（3）求∠ABD的度数．28．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．29．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．30．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数． 专题2.5 平行线的判定与性质专项训练（30道）【北师大版】1．（2021秋•砚山县期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，DG∥BA，求证：∠BEF＝∠ADG．【分析】由垂直的定义可得∠EFB＝∠ADB＝90°，从而可得AD∥EF，则有∠BEF＝∠BAD，再由平行线的性质可得∠ADG＝∠BAD，即可求得∠BEF＝∠ADG．【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB＝∠ADB＝90°，∴AD∥EF，∴∠BEF＝∠BAD，∵AB∥DG，∴∠ADG＝∠BAD，∴∠BEF＝∠ADG．2．（2021秋•博兴县期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠ACD，求出∠2＝∠ACD，根据∠2+∠CAF＝∠ACD+∠CAF推出∠DAC＝∠4，求出∠DAC＝∠3，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴∠2+∠CAE＝∠ACD+∠CAE，∴∠DAC＝∠4，∵∠3＝∠4，∴∠DAC＝∠3，∴AD∥BE．3．（2021秋•昆明期末）如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：∠BCA+∠FGC＝180°．【分析】根据平行线的判定定理得到CF∥ED，根据平行线的性质得到∠1＝∠BCF，等量代换得到∠BCF＝∠2，由平行线的性质即可得到结论．【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴CF∥ED，∴∠1＝∠BCF，∵∠1＝∠2，∴∠BCF＝∠2，∴FG∥BC，∴∠BCA+∠FGC＝180°．4．（2021秋•内江期末）如图，已知AB∥CD，AF平分∠BAD交CD于点E，交BC的延长线于点F，∠3＝∠F．试说明：AD∥BC．【分析】先依据角平分线的定义以及行线的性质即可得到∠1＝∠3，再由等量代换即可得出∠F＝∠1，进而得出AD∥BC．【解答】证明：∵AF平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠3＝∠F，∴∠1＝∠F，∴AD∥BC．5．（2021秋•聊城期末）如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．【分析】由AD⊥BC，EG⊥BC可得AD∥EG，从而得∠3＝∠1，∠2＝∠E，结合∠E＝∠3，则有∠1＝∠2，即可证明AD平分∠BAC．【解答】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，∴∠3＝∠1，∠2＝∠E，∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAC．6．（2021春•潍坊期末）如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．判断EF是否平分∠BED，并说明理由．【分析】可假设EF平分∠BED，欲证EF平分∠BED，需证∠2＝∠3．由AC⊥BD，EF⊥BD，得EF∥AC，故∠2＝∠A，∠1＝∠3．又因为∠A＝∠1，所以∠2＝∠3．【解答】解：EF平分∠BED，理由如下：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠EFB＝90°，∠ACB＝90°．∴∠EFB＝∠ACB．∴EF∥AC．∴∠2＝∠A，∠1＝∠3．又∵∠A＝∠1，∴∠2＝∠3．∴EF平分∠BED．7．（2021春•扶沟县期末）如图，AD∥BC，点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：CD∥BE．【分析】依据AD∥BC，可得∠4＝∠BCE，依据∠3＝∠4，可得∠3＝∠BCE，进而得到∠BCE＝∠ACD，∠3＝∠ACD，进而得出CD∥BE．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠4＝∠BCE，∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BCE，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴∠3＝∠ACD，∴CD∥BE．8．（2021春•汉阳区期中）如图，∠1＝∠2，∠E＝∠F，判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】延长BE交DC的延长线于点M，根据∠E＝∠F即可判定BM∥FC，根据平行线的性质等量代换得到∠M＝∠1，即可判定AB∥CD．【解答】解：AB∥CD，理由如下：延长BE交DC的延长线于点M，∵∠E＝∠F，∴BM∥FC，∴∠M＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠M＝∠1，∴AB∥CD．9．（2021春•绥中县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD＝65°，求∠1的度数．【分析】（1）根据垂线的性质及角之间的互余关系推出∠1+∠DOB＝90°，∠EDO+∠1＝90°，从而得到∠DOB＝∠EOD，再结合图形利用平行线的判定定理进行证明即可；（2）根据角平分线的性质得到∠COF=12∠COD，再根据平行线的性质得到∠OFD＝∠FAO，从而结合图形根据角之间的和差关系进行求解即可．【解答】（1）证明：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠EDO与∠1互余，即∠EDO+∠1＝90°，∴∠DOB＝∠EDO，∴ED∥AB；（2）∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵OF平分∠COD，∴∠COF=12∠COD＝45°，由（1）得ED∥AB，∴∠OFD＝∠FOA，又∠OFD＝65°，∴∠FOA＝65°，∴∠1＝∠FOA﹣∠COF＝65°﹣45°＝20°．10．（2021春•沂水县期末）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝34°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝56°，求证：CF∥AG．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠FCE＝90°，由平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE＝34°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝34°；（2）∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠FCH＝90°﹣34°＝56°，∵∠2＝56°，∴∠FCH＝∠2，∴CF∥AG．11．（2021春•大连期末）如图，∠EFC＝∠ABC，∠BEF+∠A＝180°．（1）求证：AD∥BE；（2）若BE平分∠ABC，AD⊥CD于点D，∠EFC＝50°，求∠FEC的度数．【分析】（1）已知∠EFC＝∠ABC，由平行线的判定可得EF∥AB，有平行线的性质可得∠BEF＝∠ABE，由已知∠BEF十∠A＝180°，等量代换可得∠ABE+∠A＝180°，由平行线的判定即可得出答案；（2）由平行线的性质可得∠EFC＝∠ABC，由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，因为∠ADC＝90°，AD∥BE，可得∠BEC＝∠ADC＝90°．即∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF代入计算即可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠EFC＝∠ABC，∴EF∥AB．∴∠BEF＝∠ABE，∵∠BEF十∠A＝180°，∴∠ABE+∠A＝180°，∴AD∥BE；（2）解：∵∠EFC＝∠ABC＝50°．又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝25°，∵AB∥EF，∴∠BEF＝∠ABE＝25°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵AD∥BE，∴∠BEC＝∠ADC＝90°．∵∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF．∴∠FEC＝90°﹣25°＝65°．12．（2021春•青秀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：AD∥BE；（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE，∵∠B＝∠D，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥BE；（2）∵AB∥CD，∠2＝60°，∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE，∴∠EAC+∠BAC＝60°，∵∠BAC＝2∠EAC，∴∠EAC＝20°，∴∠BAC＝∠ACD＝40°，∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B＝∠DCE＝80°．13．（2021春•东昌府区期末）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？【分析】（1）由题意推出∠DCB＝∠ABC＝70°，结合∠CBF＝20°，推出∠CBF＝50°，即可推出EF∥AB；（2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，既而推出∠ECD＝112°，根据∠DCB＝70°，即可推出∠ACB的度数．【解答】解：（1）EF和AB的位置关系为平行关系．理由如下：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC＝70°，∵∠CBF＝20°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，∵∠EFB＝130°，∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，∴EF∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF＝68°，∴∠ECD＝112°，∵∠DCB＝70°，∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB＝42°．14．（2021春•漳平市月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．证明：（1）AB∥EF；（2）∠4＝∠ACB；（3）∠1＝∠B+∠5．【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；（3）根据平行线的性质定理及角的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠ADC+∠2＝180°，∴∠1＝∠ADC，∴AB∥EF；（2）由（1）得，AB∥EF，∴∠ADE＝∠3，∵∠3＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠4＝∠ACB；（3）由（2）得，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠5＝∠EDC，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠5，由（1）得，AB∥EF，∴∠1＝∠ADC，∴∠1＝∠B+∠5．15．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）试说明AB∥CD；（2）若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数．【分析】（1）根据平行线的判定定理得出BM∥CN，根据平行线的性质定理得出∠MBC＝∠NCB，求出∠ABC＝∠DCB，根据平行线的判定定理得出即可；（2））根据对顶角相等得出∠EBF＝∠ABD＝110°，根据三角形内角和定理得出∠BAD+∠BDA+∠ABD＝180°，求出∠BAD＝∠BDA＝35°，根据平行线的性质定理得出∠ADC＝∠BAD即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴BM∥CN，∴∠MBC＝∠NCB，∵∠3＝∠4，∴∠MBC+∠3＝∠NCB+∠4，即∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD；（2）∵∠EBF＝∠ABD，∠EBF＝110°，∴∠ABD＝110°，∵∠BAD+∠BDA+∠ABD＝180°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BDA=12×（180°﹣110°）＝35°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝35°．16．（2021秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：（1）BF∥EC；（2）∠A＝∠D．【分析】（1）由∠1＝∠2直接可得结论；（2）根据BF∥EC，∠B＝∠C，可得∠B＝∠BFD，从而AB∥CD，即得∠A＝∠D．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2（已知），∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行）；（2）∵BF∥EC（已证），∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．17．（2021秋•南海区期末）如图，已知CD∥EF，MD平分∠ADC，∠2＝∠3．（1）求证：MD∥BC．（2）若EF⊥AB，BD＝2，求BC的长．【分析】（1）由平行线的性质可得∠DCB＝∠3，从而可得∠2＝∠DCB，即可判定MD∥BC；（2）由EF⊥AB，CD∥EF得∠BDC＝90°，再由MD∥BC得∠2＝∠BCD，从而可得∠BCD＝∠B，故CD＝BD＝2，利用勾股定理可求BC的长度．【解答】（1）证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠2＝∠DCB，∴MD∥BC；（2）解：∵EF⊥AB，CD∥EF，∴∠BDC＝∠AFE＝90°，∵MD∥BC，∴∠2＝∠BCD，∠1＝∠B，∵MD平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∴∠BCD＝∠B，∴CD＝BD＝2，在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=22+22=22．18．（2021秋•福田区期末）已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．【分析】（1）由题意可得∠DFE+∠2＝180°，从而得∠DFE＝∠3，由平行线的判定条件可得BD∥EF，则有∠1＝∠ADE，从而得∠ADE＝∠B，即可判断DE∥BC；（2）由（1）可知∠ADE＝∠B，再由角平分线的定义得∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，再由∠3+∠ADC＝180°，即可求∠ADC的度数，即可得∠2的度数．【解答】（1）证明：∵∠DFE+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，∴∠DFE＝∠3，∴BD∥EF，∴∠1＝∠ADE，∵∠1＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（2）解：由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，∴∠2＝∠ADC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，∵∠3+∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，∴3∠B+2∠B＝180°，解得：∠B＝36°，∴∠ADC＝72°，∴∠2＝72°．19．（2021秋•济南期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．【解答】解：（1）DF∥AC．理由：∵∠DEB＝100°，∴∠AEF＝∠DEB＝100°，∵∠BAC＝80°，∴∠AEF+∠BAC＝180°，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠ADF＝∠C，∴∠BFD＝∠ADF，∴AD∥BC，∴∠B＝∠BAD，∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，∴∠B＝40°．20．（2021秋•东营期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．（1）证明：AB∥CD；（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝34°，求∠3的度数．【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1＝∠2，即得∠2＝∠3，即可判定AB∥CD；（2）由垂直的定义得出∠ADB＝90°，可得∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝124°，由平行线的性质得出∠ABD＝56°，根据角平分线的定义即可得解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD．（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵∠CDA＝34°，∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝34°+90°＝124°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∴∠ABD＝180°﹣124°＝56°，∵BC平分∠ABD，∠1＝∠3．∴∠3=∠1=∠2=12∠ABD=28°．21．（2021秋•淇县期末）如图，已知：AB∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由．（2）若CE⊥AE于点E，∠2＝140°，试求∠FAB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠1＝∠ADC，求出∠2+∠ADC＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出AD⊥AE，求出∠FAD＝90°，求出∠1，再求出答案即可．【解答】解：（1）AD∥EC，理由是：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠ADC＝180°，∴AD∥EC；（2）∵AD∥EC，CE⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠FAD＝90°，∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°，∴∠FAB＝∠FAD﹣∠1＝90°﹣40°＝50°．22．（2021秋•沈丘县期末）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．【解答】解：（1）AC∥EF．理由：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE．∴∠2＝∠4．∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°．∴EF∥AC．（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2．∵∠1＝72°，∴∠2＝36°．∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠F＝90°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝54°．23．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．【分析】（1）由∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°可得出∠CHG＝45°＝∠1，利用“同位角相等，两直线平行”可证出BD∥CE；（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”得出AC∥DF，利用“两直线平行，内错角相等”得出∠A＝∠F．【解答】证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，∴∠CHG＝45°，∵∠1＝45°，∴∠CHG＝∠1，∴BD∥CE．（2）∵BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D．∴AC∥DF，∴∠A＝∠F．24．（2021秋•阳山县期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．25．（2021秋•紫金县期末）如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠BAD，从而可求得∠2+∠BAD＝180°，即可判定AD∥EF；（2）由题意可求得∠1＝35°，再由角平分线的定义可得∠GDC＝∠1＝35°，利用平行线的性质即可得∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝180°﹣∠2＝35°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠GDC＝∠1＝35°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝35°．26．（2021春•浏阳市期末）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案．【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；（2）过F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．27．（2021秋•和平县期末）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明∠ABC＝∠C；（3）求∠ABD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABC＝∠1＝60°，求出∠ABC＝∠2，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠NDE+∠2＝180°，求出∠NDE＝120°，根据角平分线的定义得出∠EDC＝∠NDC=12∠NDE＝60°，根据平行线的性质得出∠C＝∠NDC＝60°即可；（3）求出∠ADC＝180°﹣∠NDC＝120°，求出∠BDC＝90°，求出∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝30°，根据平行线的性质得出∠DBC＝∠ADB＝30°，再得出答案即可．【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵MN∥BC，∠1＝60°，∴∠ABC＝∠1＝60°，又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠2，∴AB∥DE；（2）∵MN∥BC，∴∠NDE+∠2＝180°，∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°，∵DC是∠NDE的角平分线，∴∠EDC＝∠NDC=12∠NDE＝60°，∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°，∴∠ABC＝∠C；（3）∵∠ADC+∠NDC＝180°，∠NDC＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°，∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝30°．28．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．【分析】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∥BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥EF；（3）①由AB∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；②由AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠BCF＝∠ADC，∴AD∥BC．（2）AB∥EF，理由如下：∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∴∠BAF=12∠BAD＝∠F，∴AB∥EF．（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠E．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．②∠E+∠F＝90°，理由如下：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°．∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∴2∠E+2∠F＝180°，∴∠E+∠F＝90°．29．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∥EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠AEG＝∠C，∴AB∥CD；（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∴∠EGH＝∠AHF，∴EC∥BF，∴∠B＝∠AEG，∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEG，∴∠B＝∠C；（3）解：∵BF∥EC，∴∠C+∠BFC＝180°，∵∠BFC＝4∠C，∴∠C+4∠C＝180°，解得∠C＝36°，∵∠C＝∠DGC，∴∠DGC＝36°，∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．30．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【分析】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）证明：∵FP⊥AC，∴∠PGC＝90°，∵EF∥BC，∴∠EAC+∠C＝180°，∵∠2+∠C＝90°，∴∠BAC＝∠PGC＝90°，∴AB∥FP，∴∠1＝∠B；（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．
专题2.5 平行线的判定与性质专项训练（30道）【北师大版】1．（2021秋•砚山县期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，DG∥BA，求证：∠BEF＝∠ADG．2．（2021秋•博兴县期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．3．（2021秋•昆明期末）如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：∠BCA+∠FGC＝180°．4．（2021秋•内江期末）如图，已知AB∥CD，AF平分∠BAD交CD于点E，交BC的延长线于点F，∠3＝∠F．试说明：AD∥BC．5．（2021秋•聊城期末）如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．6．（2021春•潍坊期末）如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．判断EF是否平分∠BED，并说明理由．7．（2021春•扶沟县期末）如图，AD∥BC，点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：CD∥BE．8．（2021春•汉阳区期中）如图，∠1＝∠2，∠E＝∠F，判断AB与CD的位置关系，并说明理由．9．（2021春•绥中县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD＝65°，求∠1的度数．10．（2021春•沂水县期末）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝34°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝56°，求证：CF∥AG．11．（2021春•大连期末）如图，∠EFC＝∠ABC，∠BEF+∠A＝180°．（1）求证：AD∥BE；（2）若BE平分∠ABC，AD⊥CD于点D，∠EFC＝50°，求∠FEC的度数．12．（2021春•青秀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：AD∥BE；（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．13．（2021春•东昌府区期末）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？14．（2021春•漳平市月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．证明：（1）AB∥EF；（2）∠4＝∠ACB；（3）∠1＝∠B+∠5．15．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）试说明AB∥CD；（2）若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数．16．（2021秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：（1）BF∥EC；（2）∠A＝∠D．17．（2021秋•南海区期末）如图，已知CD∥EF，MD平分∠ADC，∠2＝∠3．（1）求证：MD∥BC．（2）若EF⊥AB，BD＝2，求BC的长．18．（2021秋•福田区期末）已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．19．（2021秋•济南期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．20．（2021秋•东营期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．（1）证明：AB∥CD；（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝34°，求∠3的度数．21．（2021秋•淇县期末）如图，已知：AB∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由．（2）若CE⊥AE于点E，∠2＝140°，试求∠FAB的度数．22．（2021秋•沈丘县期末）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．23．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．24．（2021秋•阳山县期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．25．（2021秋•紫金县期末）如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．26．（2021春•浏阳市期末）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．27．（2021秋•和平县期末）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明∠ABC＝∠C；（3）求∠ABD的度数．28．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．29．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．30．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数． 专题2.5 平行线的判定与性质专项训练（30道）【北师大版】1．（2021秋•砚山县期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，DG∥BA，求证：∠BEF＝∠ADG．【分析】由垂直的定义可得∠EFB＝∠ADB＝90°，从而可得AD∥EF，则有∠BEF＝∠BAD，再由平行线的性质可得∠ADG＝∠BAD，即可求得∠BEF＝∠ADG．【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB＝∠ADB＝90°，∴AD∥EF，∴∠BEF＝∠BAD，∵AB∥DG，∴∠ADG＝∠BAD，∴∠BEF＝∠ADG．2．（2021秋•博兴县期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠ACD，求出∠2＝∠ACD，根据∠2+∠CAF＝∠ACD+∠CAF推出∠DAC＝∠4，求出∠DAC＝∠3，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴∠2+∠CAE＝∠ACD+∠CAE，∴∠DAC＝∠4，∵∠3＝∠4，∴∠DAC＝∠3，∴AD∥BE．3．（2021秋•昆明期末）如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：∠BCA+∠FGC＝180°．【分析】根据平行线的判定定理得到CF∥ED，根据平行线的性质得到∠1＝∠BCF，等量代换得到∠BCF＝∠2，由平行线的性质即可得到结论．【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴CF∥ED，∴∠1＝∠BCF，∵∠1＝∠2，∴∠BCF＝∠2，∴FG∥BC，∴∠BCA+∠FGC＝180°．4．（2021秋•内江期末）如图，已知AB∥CD，AF平分∠BAD交CD于点E，交BC的延长线于点F，∠3＝∠F．试说明：AD∥BC．【分析】先依据角平分线的定义以及行线的性质即可得到∠1＝∠3，再由等量代换即可得出∠F＝∠1，进而得出AD∥BC．【解答】证明：∵AF平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠3＝∠F，∴∠1＝∠F，∴AD∥BC．5．（2021秋•聊城期末）如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．【分析】由AD⊥BC，EG⊥BC可得AD∥EG，从而得∠3＝∠1，∠2＝∠E，结合∠E＝∠3，则有∠1＝∠2，即可证明AD平分∠BAC．【解答】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，∴∠3＝∠1，∠2＝∠E，∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAC．6．（2021春•潍坊期末）如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．判断EF是否平分∠BED，并说明理由．【分析】可假设EF平分∠BED，欲证EF平分∠BED，需证∠2＝∠3．由AC⊥BD，EF⊥BD，得EF∥AC，故∠2＝∠A，∠1＝∠3．又因为∠A＝∠1，所以∠2＝∠3．【解答】解：EF平分∠BED，理由如下：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠EFB＝90°，∠ACB＝90°．∴∠EFB＝∠ACB．∴EF∥AC．∴∠2＝∠A，∠1＝∠3．又∵∠A＝∠1，∴∠2＝∠3．∴EF平分∠BED．7．（2021春•扶沟县期末）如图，AD∥BC，点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：CD∥BE．【分析】依据AD∥BC，可得∠4＝∠BCE，依据∠3＝∠4，可得∠3＝∠BCE，进而得到∠BCE＝∠ACD，∠3＝∠ACD，进而得出CD∥BE．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠4＝∠BCE，∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BCE，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴∠3＝∠ACD，∴CD∥BE．8．（2021春•汉阳区期中）如图，∠1＝∠2，∠E＝∠F，判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】延长BE交DC的延长线于点M，根据∠E＝∠F即可判定BM∥FC，根据平行线的性质等量代换得到∠M＝∠1，即可判定AB∥CD．【解答】解：AB∥CD，理由如下：延长BE交DC的延长线于点M，∵∠E＝∠F，∴BM∥FC，∴∠M＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠M＝∠1，∴AB∥CD．9．（2021春•绥中县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD＝65°，求∠1的度数．【分析】（1）根据垂线的性质及角之间的互余关系推出∠1+∠DOB＝90°，∠EDO+∠1＝90°，从而得到∠DOB＝∠EOD，再结合图形利用平行线的判定定理进行证明即可；（2）根据角平分线的性质得到∠COF=12∠COD，再根据平行线的性质得到∠OFD＝∠FAO，从而结合图形根据角之间的和差关系进行求解即可．【解答】（1）证明：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠EDO与∠1互余，即∠EDO+∠1＝90°，∴∠DOB＝∠EDO，∴ED∥AB；（2）∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵OF平分∠COD，∴∠COF=12∠COD＝45°，由（1）得ED∥AB，∴∠OFD＝∠FOA，又∠OFD＝65°，∴∠FOA＝65°，∴∠1＝∠FOA﹣∠COF＝65°﹣45°＝20°．10．（2021春•沂水县期末）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝34°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝56°，求证：CF∥AG．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠FCE＝90°，由平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE＝34°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝34°；（2）∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠FCH＝90°﹣34°＝56°，∵∠2＝56°，∴∠FCH＝∠2，∴CF∥AG．11．（2021春•大连期末）如图，∠EFC＝∠ABC，∠BEF+∠A＝180°．（1）求证：AD∥BE；（2）若BE平分∠ABC，AD⊥CD于点D，∠EFC＝50°，求∠FEC的度数．【分析】（1）已知∠EFC＝∠ABC，由平行线的判定可得EF∥AB，有平行线的性质可得∠BEF＝∠ABE，由已知∠BEF十∠A＝180°，等量代换可得∠ABE+∠A＝180°，由平行线的判定即可得出答案；（2）由平行线的性质可得∠EFC＝∠ABC，由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，因为∠ADC＝90°，AD∥BE，可得∠BEC＝∠ADC＝90°．即∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF代入计算即可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠EFC＝∠ABC，∴EF∥AB．∴∠BEF＝∠ABE，∵∠BEF十∠A＝180°，∴∠ABE+∠A＝180°，∴AD∥BE；（2）解：∵∠EFC＝∠ABC＝50°．又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝25°，∵AB∥EF，∴∠BEF＝∠ABE＝25°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵AD∥BE，∴∠BEC＝∠ADC＝90°．∵∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF．∴∠FEC＝90°﹣25°＝65°．12．（2021春•青秀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：AD∥BE；（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE，∵∠B＝∠D，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥BE；（2）∵AB∥CD，∠2＝60°，∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE，∴∠EAC+∠BAC＝60°，∵∠BAC＝2∠EAC，∴∠EAC＝20°，∴∠BAC＝∠ACD＝40°，∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B＝∠DCE＝80°．13．（2021春•东昌府区期末）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？【分析】（1）由题意推出∠DCB＝∠ABC＝70°，结合∠CBF＝20°，推出∠CBF＝50°，即可推出EF∥AB；（2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，既而推出∠ECD＝112°，根据∠DCB＝70°，即可推出∠ACB的度数．【解答】解：（1）EF和AB的位置关系为平行关系．理由如下：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC＝70°，∵∠CBF＝20°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，∵∠EFB＝130°，∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，∴EF∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF＝68°，∴∠ECD＝112°，∵∠DCB＝70°，∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB＝42°．14．（2021春•漳平市月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．证明：（1）AB∥EF；（2）∠4＝∠ACB；（3）∠1＝∠B+∠5．【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；（3）根据平行线的性质定理及角的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠ADC+∠2＝180°，∴∠1＝∠ADC，∴AB∥EF；（2）由（1）得，AB∥EF，∴∠ADE＝∠3，∵∠3＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠4＝∠ACB；（3）由（2）得，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠5＝∠EDC，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠5，由（1）得，AB∥EF，∴∠1＝∠ADC，∴∠1＝∠B+∠5．15．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）试说明AB∥CD；（2）若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数．【分析】（1）根据平行线的判定定理得出BM∥CN，根据平行线的性质定理得出∠MBC＝∠NCB，求出∠ABC＝∠DCB，根据平行线的判定定理得出即可；（2））根据对顶角相等得出∠EBF＝∠ABD＝110°，根据三角形内角和定理得出∠BAD+∠BDA+∠ABD＝180°，求出∠BAD＝∠BDA＝35°，根据平行线的性质定理得出∠ADC＝∠BAD即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴BM∥CN，∴∠MBC＝∠NCB，∵∠3＝∠4，∴∠MBC+∠3＝∠NCB+∠4，即∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD；（2）∵∠EBF＝∠ABD，∠EBF＝110°，∴∠ABD＝110°，∵∠BAD+∠BDA+∠ABD＝180°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BDA=12×（180°﹣110°）＝35°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝35°．16．（2021秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：（1）BF∥EC；（2）∠A＝∠D．【分析】（1）由∠1＝∠2直接可得结论；（2）根据BF∥EC，∠B＝∠C，可得∠B＝∠BFD，从而AB∥CD，即得∠A＝∠D．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2（已知），∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行）；（2）∵BF∥EC（已证），∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．17．（2021秋•南海区期末）如图，已知CD∥EF，MD平分∠ADC，∠2＝∠3．（1）求证：MD∥BC．（2）若EF⊥AB，BD＝2，求BC的长．【分析】（1）由平行线的性质可得∠DCB＝∠3，从而可得∠2＝∠DCB，即可判定MD∥BC；（2）由EF⊥AB，CD∥EF得∠BDC＝90°，再由MD∥BC得∠2＝∠BCD，从而可得∠BCD＝∠B，故CD＝BD＝2，利用勾股定理可求BC的长度．【解答】（1）证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠2＝∠DCB，∴MD∥BC；（2）解：∵EF⊥AB，CD∥EF，∴∠BDC＝∠AFE＝90°，∵MD∥BC，∴∠2＝∠BCD，∠1＝∠B，∵MD平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∴∠BCD＝∠B，∴CD＝BD＝2，在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=22+22=22．18．（2021秋•福田区期末）已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．【分析】（1）由题意可得∠DFE+∠2＝180°，从而得∠DFE＝∠3，由平行线的判定条件可得BD∥EF，则有∠1＝∠ADE，从而得∠ADE＝∠B，即可判断DE∥BC；（2）由（1）可知∠ADE＝∠B，再由角平分线的定义得∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，再由∠3+∠ADC＝180°，即可求∠ADC的度数，即可得∠2的度数．【解答】（1）证明：∵∠DFE+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，∴∠DFE＝∠3，∴BD∥EF，∴∠1＝∠ADE，∵∠1＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（2）解：由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，∴∠2＝∠ADC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，∵∠3+∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，∴3∠B+2∠B＝180°，解得：∠B＝36°，∴∠ADC＝72°，∴∠2＝72°．19．（2021秋•济南期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．【解答】解：（1）DF∥AC．理由：∵∠DEB＝100°，∴∠AEF＝∠DEB＝100°，∵∠BAC＝80°，∴∠AEF+∠BAC＝180°，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠ADF＝∠C，∴∠BFD＝∠ADF，∴AD∥BC，∴∠B＝∠BAD，∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，∴∠B＝40°．20．（2021秋•东营期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．（1）证明：AB∥CD；（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝34°，求∠3的度数．【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1＝∠2，即得∠2＝∠3，即可判定AB∥CD；（2）由垂直的定义得出∠ADB＝90°，可得∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝124°，由平行线的性质得出∠ABD＝56°，根据角平分线的定义即可得解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD．（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵∠CDA＝34°，∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝34°+90°＝124°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∴∠ABD＝180°﹣124°＝56°，∵BC平分∠ABD，∠1＝∠3．∴∠3=∠1=∠2=12∠ABD=28°．21．（2021秋•淇县期末）如图，已知：AB∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由．（2）若CE⊥AE于点E，∠2＝140°，试求∠FAB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠1＝∠ADC，求出∠2+∠ADC＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出AD⊥AE，求出∠FAD＝90°，求出∠1，再求出答案即可．【解答】解：（1）AD∥EC，理由是：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠ADC＝180°，∴AD∥EC；（2）∵AD∥EC，CE⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠FAD＝90°，∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°，∴∠FAB＝∠FAD﹣∠1＝90°﹣40°＝50°．22．（2021秋•沈丘县期末）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．【解答】解：（1）AC∥EF．理由：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE．∴∠2＝∠4．∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°．∴EF∥AC．（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2．∵∠1＝72°，∴∠2＝36°．∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠F＝90°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝54°．23．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．【分析】（1）由∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°可得出∠CHG＝45°＝∠1，利用“同位角相等，两直线平行”可证出BD∥CE；（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”得出AC∥DF，利用“两直线平行，内错角相等”得出∠A＝∠F．【解答】证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，∴∠CHG＝45°，∵∠1＝45°，∴∠CHG＝∠1，∴BD∥CE．（2）∵BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D．∴AC∥DF，∴∠A＝∠F．24．（2021秋•阳山县期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．25．（2021秋•紫金县期末）如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠BAD，从而可求得∠2+∠BAD＝180°，即可判定AD∥EF；（2）由题意可求得∠1＝35°，再由角平分线的定义可得∠GDC＝∠1＝35°，利用平行线的性质即可得∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝180°﹣∠2＝35°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠GDC＝∠1＝35°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝35°．26．（2021春•浏阳市期末）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案．【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；（2）过F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°．27．（2021秋•和平县期末）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明∠ABC＝∠C；（3）求∠ABD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABC＝∠1＝60°，求出∠ABC＝∠2，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠NDE+∠2＝180°，求出∠NDE＝120°，根据角平分线的定义得出∠EDC＝∠NDC=12∠NDE＝60°，根据平行线的性质得出∠C＝∠NDC＝60°即可；（3）求出∠ADC＝180°﹣∠NDC＝120°，求出∠BDC＝90°，求出∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝30°，根据平行线的性质得出∠DBC＝∠ADB＝30°，再得出答案即可．【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵MN∥BC，∠1＝60°，∴∠ABC＝∠1＝60°，又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠2，∴AB∥DE；（2）∵MN∥BC，∴∠NDE+∠2＝180°，∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°，∵DC是∠NDE的角平分线，∴∠EDC＝∠NDC=12∠NDE＝60°，∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°，∴∠ABC＝∠C；（3）∵∠ADC+∠NDC＝180°，∠NDC＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°，∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝30°．28．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．【分析】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∥BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥EF；（3）①由AB∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；②由AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠BCF＝∠ADC，∴AD∥BC．（2）AB∥EF，理由如下：∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∴∠BAF=12∠BAD＝∠F，∴AB∥EF．（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠E．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．②∠E+∠F＝90°，理由如下：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°．∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∴2∠E+2∠F＝180°，∴∠E+∠F＝90°．29．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∥EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠AEG＝∠C，∴AB∥CD；（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∴∠EGH＝∠AHF，∴EC∥BF，∴∠B＝∠AEG，∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEG，∴∠B＝∠C；（3）解：∵BF∥EC，∴∠C+∠BFC＝180°，∵∠BFC＝4∠C，∴∠C+4∠C＝180°，解得∠C＝36°，∵∠C＝∠DGC，∴∠DGC＝36°，∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．30．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【分析】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）证明：∵FP⊥AC，∴∠PGC＝90°，∵EF∥BC，∴∠EAC+∠C＝180°，∵∠2+∠C＝90°，∴∠BAC＝∠PGC＝90°，∴AB∥FP，∴∠1＝∠B；（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．
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