这是一份人教版七年级数学下册尖子生培优练习 专题5.10平行线的性质与判定大题专项提升训练（压轴篇，重难点培优30题）（原卷版+解析），共87页。
专题5.10平行线的性质与判定大题专项提升训练（压轴篇，重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．（2023·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）已知，∠ATM+∠DRN=180°． (1)如图1，求证AB∥CD：(2)如图2，点E位平面内一点，连接BE、CE，求证：∠E=∠C+∠B；(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段EF，连接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，过点B作BG∥EF交CE于点G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF−BG=2，且△BEF的面积为36时，求线段EF的长．2．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，∴ ∠B= ，∠C ，∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB
α，则β+12β−α=90°，即3β−α=180°；
若β≤α，则β+12α−β=90°，即α+β=180°；
∵0<β<90°,0<α<90°，
∴α+β=180°不符合题意；
∴α和β满足的关系是3β−α=180°；
(4)
解：将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，AC恰好与直线CF重合，
∴当射线CA与射线CF互为反向延长线，如图，
则∠CEA=∠DCF=α，
∴此时AC旋转了90°+α，
∴t=90°+α5°=18+α5；
当射线CA与射线CF重合时，如图所示：
则AC旋转了270°+α，
∴t=270°+α5°=54+α5；
综上所述：AC恰好与直线CF重合时，t的值为18+α5或54+α5．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、角的和差关系、平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握旋转的性质、角的和差关系、平行线的判定及一元一次方程的应用是解题的关键．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市第七中学校七年级阶段练习）如图1，AB∥CD，直线AB外有一点M，连接AM，CM．
(1)证明：∠M+∠A=∠C；
(2)如图2，延长MA至点E，连接CE，CM平分∠ECD，AF平分∠EAB，且AF与CM交于点F，求∠E与∠AFC的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，∠E=100°，FA⊥AN，连接CN，且∠M=2∠N，∠MCN=30°，求∠M的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠E=360°−2∠AFC
(3)20°
【分析】（1）过点M作MN∥AB，根据平行线性质即可得到角度关系，即可求证；
（2）过点E作EP∥AB，过点F作QF∥AB根据平行线性质得到角度关系即可得到答案；
（3）过点N做NY∥AB，过点M作MX∥AB，根据平行线性质得到角度关系即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，MN∥AB，
∴MN∥CD∥AB
∴∠A+∠NME+∠AME=180°，∠NME+∠MEB=180°,∠MEB=∠C，
∴∠A+∠AME=∠MEB，
∴∠A+∠AMC=∠C；
（2）解：∵CM平分∠ECD，设∠ECM=∠MCD=a，
又∵AF平分∠EAB，设∠EAF=∠FAB=b，
∴∠ECD=2∠ECM=2a，∠EAB=2∠EAF=2b，
过点E作EP∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥CD，
∴∠EAB+∠AEP=180°，∠ECD+∠CEP=180°，
∴∠AEP=180°−∠EAB=180°−2b，∠CEP=180°−∠ECD=180°−2a，
∴∠AEC=∠AEP+∠CEP=360−2b−2a=360−2(a+b)，
过点F作QF∥AB，
∴QF∥CD，
∴∠AFQ=∠FAB，∠QFC=∠MCD，
∴∠AFC=∠QFA+∠QFC=a+b
∴∠AEC=360°−2∠AFC；
（3）设∠NAB=r，∠NCD=y
过点N做NY∥AB，
∵AB∥CD，NY∥CD，
∴∠YNA=∠NAB，∠YNC=∠NCD，
∴∠ANC=∠NCD−∠NAB=y−r，
∵∠M=2∠N，
∴∠M=2y−2r，
过点M作MX∥AB，
∴MX∥CD，
∴∠XMA=∠MAB，∠XMC=∠MCD，
∴∠XMA=∠XMC−∠AMC，
∴∠AMC=∠XMC−∠XMA=∠MCD−∠MAB，
∵∠MAB=2r，∠MCD=2y，
∴∠MCN=∠MCD−∠NCD=y，
∵∠MCN=30°，
∴y=30°，
∴∠MCD=2y=60°，
∵∠AEC=100°，∠AEC=360°−2∠AFC，
∴∠AFC=360°−∠AFC =130°，
由（2）知∠BAF+∠FCD=∠AFC，
∴∠BAF=∠AFC−∠MCD=70°，
∵FA⊥AN，
∴∠FAN=90°，
∴∠NAB=∠FAN−∠BAF=20°，
∴r=20°，
∴∠MAB=2r=40°，
∴∠AMC=∠MCD−∠MAB=60°−40°=20°．
【点睛】本题考查根据平行线的性质，解题的关键是作平行辅助线转换角度关系．
16．（2022·河北·高阳县教育局教研室七年级期末）如图1，已知∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，在∠EFH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD．
(1)如图1，若FAB=150°，求∠HCD的度数；
(2)小颖发现，在∠EFH内部，无论FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的∠EFH=90°改为∠EFH=120°，其他条件不变，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系；
②如图4，已知∠EFG+∠FGC=α，点A，C分别在射线FE，GH上，在∠EFG与∠FGH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系．
【答案】(1)60°
(2)90°
(3)①∠FAB−∠HCD=60°，②∠FAB−∠HCD=360°−α
【分析】（1）过点F作FM∥AB，可以求出∠1=30°，结合AB∥CD，可以得到AB∥CD，即可求出∠HCD的度数；
（2）过点F作FN∥AB，结合已知AB∥CD可以得出FN∥CD，进而得到∠HCD=∠2，即可求出，∠FAB−∠HCD的值；
（3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到∠FAB与∠HCD之间的数量关系；
②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答．
【详解】（1）过点F作FM∥AB
∴∠FAB+∠1=180°
∵∠FAB=150°
∴∠1=30°
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠HCD=∠2
∵∠1+∠2=90°
∴∠HCD=∠2=90°−∠1=60°
（2）过点F作FN∥AB
∴∠FAB+∠1=180°
∴∠1=180°−∠FAB
∵AB∥CD
∴FN∥CD
∴∠HCD=∠2
∵∠1+∠2=90°
∴180°−∠FAB+∠HCD=90°
∴∠FAB−∠HCD=90°
（3）①∠FAB−∠HCD=60°
②∠FAB−∠HCD=360°−α
【点睛】本题主要考查的是平行线模型，根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2022·北京市第一六一中学七年级期末）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，直线EF与直线CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．点G是射线MD上的一个动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
图1
图2
(1)求证：AB//CD；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若β＝80°，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②50
(3)β＝2α或β＝180°−2α；证明见解析
【分析】（1）根据EM平分∠AEF和∠FEM＝∠FME，可证明∠AEM＝∠FME，即可解答．
（2）①根据题意画图即可；
②依据平行线的性质可得∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM，再根据EH平分∠FEG，∠FEM＝∠FME，即可得到∠EHN＝∠HEF+∠FME＝α，再根据三角形内角和定理即可解答；
（3）分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）可得结果；当点G在点F的左侧时，进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB//CD；
（2）解：①如图1，
②∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN//EM，
∴∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EHN＝∠HEF+∠FME＝α，
∵∠EGF＝180°−∠FME−∠GEM
＝180°−∠FME−∠FEM−2∠HEF
＝180°−2(∠FME+∠HEF)，
∴β＝180°−2α，
∵β＝80°，
∴80°＝180°−2α，
解得α＝50°；
故答案为：50；
（3）解：α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°−2α．
理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）得β＝180°−2α，
当点G在点F的左侧时，如图2，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN//EM，
∴∠EHN＝∠HEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EGF＝∠FME+∠GEM＝∠FEM+∠GEM
＝∠GEM+2∠HEG+∠GEM
＝2(∠GEM+∠HEG)＝2∠HEM，
∴∠EGF＝2∠EHN，
即β＝2α，
综上所述，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180°−2α．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识，并熟练利用角的和差关系进行运算是解题的关键．
18．（2022·北京市第十九中学七年级期中）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）
【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
(2)不变化，75°；
(3)∠ECB＝2∠FBG或2∠FBG−∠ECB=180°，理由见解析．
【分析】（1）过点B作BH∥a，根据两直线平行、内错角相等解答；
（2）根据角平分线的定义得到∠MBP=12∠ABP,∠NBC=12∠QBC，结合图形计算，得到答案；
（3）分点F在点A的右侧时和点F在点A的左侧时两种情况求解．
【详解】（1）解：作BH∥a，如图1：
则∠ABH=∠DAB，
∵BH∥a,a∥b，
∴BH∥b,，
∴∠HBC=∠BCE，
∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=∠DAB+∠BCE，
故答案为：∠ABC=∠DAB+∠BCE；
（2）∠DMB+∠ENB的值不变化，理由如下：
如图2：
∵∠ABQ=∠ABC+∠QBP−∠PBC=90°+60°−∠PBC，
∴∠ABQ+∠PBC=150°，
∵∠ABQ=∠PBC+∠ABP+∠QBC，
∴2∠PBC+∠ABP+∠QBC=150°，
∵∠MBP=12∠ABP,∠NBC=12∠QBC，
∴2∠PBC+2∠MBP+2∠NBC=150°，即∠PBC+∠MBP+∠NBC=75°，
由（1）得∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠PBC+∠MBP+∠NBC，
∴∠DMB+∠ENB=75°；
（3）当点F在点A的右侧时，如图3：
∠ECB=2∠FBG，理由如下：
∵∠AFB=∠1+∠2，
由（1）知∠3=∠2+∠4，
∵∠ABC的平分线交直线a于点G，
∴∠3=∠ABG，
∵∠ABG=∠1+∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠ABF，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，
∴∠4=2∠1，
即∠ECB=2∠FBG．
当点F在点A的左侧时，如图4，
2∠FBG−∠ECB=180°，理由如下：
∵∠ABC的平分线交直线a于点G，
∴∠ABC=2∠ABG．
∵∠FAB=180°−∠AFB−∠ABF，∠AFB=∠ABF，
∴∠FAB=180°−2∠ABF．
由（1）知∠ABC=∠FAB+∠ECB，
∴2∠ABG=∠FAB+∠ECB，
∴2∠ABG=180°−2∠ABF+∠ECB，
∴2∠ABG+2∠ABF−∠ECB=180°，
∴2∠FBG−∠ECB=180°．
综上可知，∠FBG与∠ECB之间的数量关系为：∠DMB+∠ENB=75°或2∠FBG−∠ECB=180°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，掌握平行线的性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
19．（2022·北京·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB,CD上，∠EFD=α．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H．
(1)如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF=40°时，
∠EHF= °；
(2)如图2，若α=120°，点P在射线EA上．
①补全图形；
②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，若0°<α<90°，直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含α的式子表示）．
【答案】(1)25
(2)①见解析；②∠EHF=12∠EPF+60°，见解析
(3)∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF−∠EPF=α
【分析】（1）根据图形1，由平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可；
（2）①先根据（1）中作法补全图形；②根据平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理得出∠EPF与∠EHF的数量关系；
（3）分点P在射线EB上和点P在射线EA上两种情况，平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：∵EF⊥CD，点P在射线EB上，∠EPF=40°,AB∥CD，
∴∠PEF=∠CFE=90°,∠PFD=∠EPF=40°，
∴∠PFC=180°−∠PFD=140°，
∵EM、FH分别平分∠PEF,∠PFC，
∴∠FEM=12∠PEF=45°,∠CFH=∠PFC=70°，
∴∠EFH=∠CFE−∠CFH=20°，
∵∠FEM=∠EFH+∠EHF，
∴∠LEHF=∠FEM−∠EFH=45°−20°=25°．
故答案为：25；
（2）①若α=120°，点P在射线EA上，
补全图形，如图所示：
②∠EPF与∠EHF的数量关系是∠EHF=12∠EPF+60°，证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠PEF=∠EFD=α=120°,∠EPF=∠PFC，
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC，
∴∠FEM=12∠PEF=60°，∠CFH=12∠PFC，
∴∠CFH=12∠EPF，
∵∠EFM=180°−α=60°，
∴∠FMH=180°−∠FEM−∠EFM=60°，
∵∠EHF=∠CFH+∠FMH，
∴∠EHF=12∠EPF+60°；
（3）若0°<α<90°，则∠EPF与∠EHF的数值关系是：
∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF−∠EPF=α．
点P在射线EB上时，
∵AB∥CD，
∴∠PEF+∠EFD=180°,∠EPF=∠PFD，
∴∠PEF=180°−∠EFD=180°−α,∠PFC=180°−∠PFD=180°−∠EPF，
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC，
∴∠FEM=12∠PEF=90°−12α,∠PFH=12∠PFC=90°−12∠EPF，
∴∠EFH=∠PFD+∠PFH−∠EFD=∠EPF+90°−12∠EPP−α=90°+12∠EPF−α，
∵∠FEM=∠EFH+∠EHF，
∴90°−12α=90°+12∠EPF−α+∠EHF，
∴∠EPF+2∠EHF=α；
点P在射线EA上时，
∵AB∥CD，
∴∠PEF=∠EFD=α,∠EPF=∠PFC，
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC，
∴∠FEM=12∠PEF=12α,∠CFH=12∠PFC，
∴∠CFH=12∠EPF，
∵∠EFM=180°−α，
∴∠FMH=180°−∠FEM−∠EFM=12α，
∵∠EHF=∠CFH+∠FMH，
∴∠EHF=12∠EPF+12α，
∴2∠EHF−∠EPF=α，
综上所述，∠EPF与∠EHF的数值关系是∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF−∠EPF=α．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．
20．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．
(1)如图1，求证：AB∥CD；
(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求∠VPN的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)12°
【分析】（1）只需要证明∠AGE=∠CHE即可证明AB∥CD；
（2）先由平行线的性质得到∠AGH=∠DHG，进而证明∠QHG=∠NGH，即可证明GN∥QH；
（3）如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，先证明∠HNG=x+36°，再由平行线的性质得到，∠VGN+∠DHN=x+36°，由∠NHD=∠VNK+6°，得到∠VGN+x+6°=x+36°，则∠VGN=30°，∠GNI=30°，进而求出∠KVN=66°，则∠QHN=132°，根据平行线的性质求出∠GNH=48°，从而求出∠VNP=12°，再由NP平分∠VNM，得到∠PNM=∠VNP=12°，最后根据VP∥MN，即可得到∠VPN=∠PNM=12° ．
【详解】（1）证明：∵∠AGE=∠FHD，∠CHE=∠FHD，
∴∠AGE=∠CHE，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠AGH=∠DHG，
∵∠AGN=∠QHD，
∴∠AGN−∠AGH=∠QHD−∠DHG，
∴∠QHG=∠NGH，
∴GN∥QH；
（3）解：如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，
∵∠HNK=2∠GNK，
∴∠HNG=∠GNK=∠VNP+∠GNV=x+36°，
∵AB∥CD∥IL，
∴∠VGN=∠GNI，∠DHN=∠INH，
∴∠VGN+∠DHN=∠GNI+∠INH=∠GNH=x+36°，
∵∠NHD=∠VNK+6°，
∴∠VGN+x+6°=x+36°，
∴∠VGN=30°，
∴∠GNI=30°，
∴∠KVN=∠VNI=∠GNI+∠GNV=66°，
∴∠QHN=2∠KVN=132°，
∵GN∥QH，
∴∠GNH=180°−∠QHN=48°，
∴x+36°=48°，
∴x=12°，
∴∠VNP=12°，
∵NP平分∠VNM，
∴∠PNM=∠VNP=12°，
∵VP∥MN，
∴∠VPN=∠PNM=12°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
21．（2023·山东·德州市第五中学七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．
【答案】(1)240∘
(2)51∘
【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得EM∥AB∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180∘，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C=240∘；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H=51∘．
【详解】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，且AB∥CD
∴EM∥AB∥FN∥CD
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180∘
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∘，
∵∠BEF=60∘，
∴∠B+∠CFE+∠C=60∘+180∘=240∘；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
∴∠ABE=12∠ABG，∠SHC=∠DCF=12∠DCG，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥RS∥MN
∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG，∠SHC=∠DCF=12∠DCG，
∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∘，
∴∠BHC=180∘−∠RHB−∠SHC=180∘−12∠ABG+∠DCG，
∠BGC=180∘−∠NGB−∠MGC=180∘−180∘−∠ABG−180∘−∠DCG=∠ABG+∠DCG−180∘
∴∠BGC=360∘−2∠BHC−180∘=180∘−2∠BHC，
∵∠BGC=∠BHC+27∘，
∴180∘−2∠BHC=∠BHC+27∘，
∴∠BHC=51∘．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
22．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF=30°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α(0°<α<180°)，在旋转过程中：
(1)如图2，∠ABC=40°，当∠α=______时，DE∥BC，当∠α=______时，DE⊥BC；
(2)如图3，∠ABC=40°，当顶点C在△DEF内部时（不包含边界）)，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，
①此时∠α的度数范围是______．
②∠BMD与∠AND度数的和是否变化？若不变，求出∠BMD与∠AND的度数和；若变化，请说明理由：______．
(3)如图4，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q，则∠BPD与∠AQD有什么关系______．
(4)如图5，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q、请在备用图中画出其他可能位置，并写出∠BPD与∠AQD的关系______．
【答案】(1)10°，100°
(2)①55°<α<85°；②不变，∠BMD+∠AND=60°
(3)∠AQD+∠BPD=120°
(4)图见解析，∠AQD+∠BPD=120°
【分析】（1）当∠EDA=∠B=40°时， DE∥BC，得出30°+α=40°，即可得出结果；当DE∥AC时，DE⊥BC，得出50°+α+30°=180°，即可得出结果；
（2）①由已知得出∠ACD=45°，∠A=50°，推出∠CDA=85°，当点C在DE边上时，α+30°=85°，解得α=55°，当点C在DF边上时，α=85°，即可得出结果；
②连接MN，由三角形内角和定理得出∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，则∠CNM+∠CMN=90°，由三角形内角和定理得出∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN=180°，即可得出结论；
（3）根据三角形的内角和与外角定理用∠A与α表示∠AQD和∠BPD便可得出结论；
（4）根据题意作图，并仿照（3）的方法便可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠B=40°，
∴当∠EDA=∠B=40°时，DE∥BC，
∵∠EDF=30°，
∴α=40°−30°=10°；
当DE∥AC时，DE⊥BC，
∴∠A+∠EDA=180°，∠A=90°−∠B=50°，
∴∠EDA=180°−∠A=180°−50°=130°，
∴α=130°−30°=100°，
故答案为：10°，100°；
（2）解：①∵∠ABC=40°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，∠A=50°，
∴∠CDA=85°，
当点C在DE边上时，α+30°=85°，
解得：α=55°，
当点C在DF边上时，α=85°，
∴当顶点C在△DEF内部时，55°<α<85°；
故答案为：55°<α<85°；
②∠BMD与∠AND度数的和不变，∠BMD+∠AND=60°.
理由如下：
连接MN，如图3所示：
在△CMN中，
∵∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，
∴∠CNM+∠CMN=90°，
在△MND中，
∵∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，
即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN=180°，
∴∠BMD+∠AND=180°−90°−30°=60°；
（3）∵∠AQD=180°−∠A−∠ADQ=180−∠A−α，
∠BPD=∠ADP−∠B=α+30°−90°−∠A=α+∠A−60°，
∴∠AQD+∠BPD=120°，
故答案为：∠AQD+∠BPD=120°；
（4）如图，同（3）可得∠AQD+∠BPD=120°．
故答案为：∠AQD+∠BPD=120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、旋转的性质，合理选择三角形旋转后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键．
23．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A=100°，∠B=50°，∠C=30°，可知∠A=2∠B，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E=40°，∠F=35°，则△DEF为 倍角三角形．
(2)已知：在图中直线AB、CD被直线EF所截交点分别为E、F，AB∥CD，∠BEF与∠DFE的平分线交于点G，若△EFG是6倍角三角形，求∠AEF．
(3)图中AE平分∠BAC，CE平分∠BCD，∠E=20°，∠ACB=80°，问△ABC是几倍角三角形，为什么？
(4)在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A的度数．
【答案】(1)3
(2)30°或150°或10807°或1807°
(3)△ABC是2倍角三角形，理由见解析
(4)18°或20°或30°
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠D的度数即可得到答案；
（2）先根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠EFG+∠FEG=90°，则∠G=90°，然后分四种情况讨论求解即可；
（3）根据平角的定义求出∠BCD=100°，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质求出∠BAC=60°，则∠B=40°，由此即可得到结论；
（4）分当∠B=2∠A，∠C=3∠A时， 当∠B=2∠A，∠C=3∠B时，当∠B=3∠A，∠C=2∠B时，三种情况利用三角形内角和定理讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵在△DEF中，∠E=40°，∠F=35°，
∴∠D=180°−∠E−∠F=105°，
∴∠D=3∠F，
∴△DEF为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠DFE，∠BEF+∠DFE=180°，
∵EG，FG分别是∠BEF、∠DFE的角平分线，
∴∠EFG=12∠DFE，∠FEG=12∠BEF，
∴∠EFG+∠FEG=12∠BEF+12∠DFE=90°，
∴∠G=180°−∠FEG−∠EFG=90°，
当∠G=6∠EFG时，则∠EFG=15°，
∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=30°；
当∠G=6∠FEG时，则∠FEG=15°，
∴∠AEF=∠DFE=180°−∠BEF=180°−2∠FEG=150°；
当∠EFG=6∠FEG，则∠EFG=5407°，
∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=10807°；
当∠FEG=6∠EFG，则∠EFG=907°，
∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=1807°；
综上所述，∠AEF的度数为30°或150°或10807°或1807°；
（3）解：△ABC是2倍角三角形，理由如下：
∵∠ACB=80°，
∴∠BCD=100°，
∵AE，CE分别是∠BAC，∠BCD的角平分线，
∴∠BAC=2∠EAC，∠DCE=12∠BCD=50°，
∴∠EAC=∠DCE−∠E=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠BCA=40°，
∴∠BCA=2∠B，
∴△ABC是2倍角三角形；
（4）解：∵在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，
∴当∠B=2∠A，∠C=3∠A时，∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
∴∠A=30°；
当∠B=2∠A，∠C=3∠B时，同理可求得∠A=20°；
当∠B=3∠A，∠C=2∠B时，同理可求得∠A=18°；
综上所述，∠A的度数为18°或20°或30°；
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
24．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD之间.
(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，12∠BED+13∠F=40°时，求∠CDE的度数.
【答案】(1)①90°；②150°；170°
(2)150°
【分析】（1）①过点E在作EG∥CD，分别利用邻角互补求得∠NBE和∠EDM，再利用平行线的性质即可求解；
②分两种情况：（i）当DF∥BE时，设DF与AB交于点P，利用先邻角互补求得∠NBE=180°-∠ABE=30°，再利用平行线的性质和角平分线的定义求得∠CDE的度数，进而求得∠EDM，最后利用①的结论即可求解；（ii）当DF∥AE时，设DF与AB交于点P，如图所示，类似（i）的求解方法可求得∠BED=∠NBE+∠EDM=170°；
（2）设DF与AB交于点P，如图所示，且设∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，则∠CDE=2∠CDF=2y，在△BPF中，∠BPD=∠F+∠ABF，即y=3x+∠F，
由（1）小题可得∠BED=∠NBE+∠EDM =2x+180°-2y，再利用已知12∠BED+13∠F=40°，即可得到90°+x-y+13y-x=40°，求得y=75°，进而得到∠CDE的度数．
（1）
①如图，过点E在作EG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠NBE=∠BEG，∠GED=∠EDM，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=∠BEG=180°-∠ABE=30°；
∵∠CDE+∠EDM=180°，∠CDE=2∠EDM，
∴∠EDM=∠GED=60°，
∴∠BED=∠NBE+∠EDM=∠GED+∠BEG=90°；
②分两种情况：（i）当DF∥BE时，设DF与AB交于点P，如图所示，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=180°-∠ABE=30°；
∵DF∥BE，
∴∠NBE=∠BPD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠BPD=30°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDP=60°，
∴∠EDM=180°-∠CDE=120°，
∴由①得∠BED=∠NBE+∠EDM=30°+120°=150°；
（ii）当DF∥AE时，设DF与AB交于点P，如图所示，∠BAE=20°，
∴∠BAE=∠BPD=20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠BPD=20°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDP=40°，
∴∠EDM=180°-∠CDE=140°，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=180°-∠ABE=30°；
∴由①得∠BED=∠NBE+∠EDM=30°+140°=170°；
（2）
解：设DF与AB交于点P，如图所示，设∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，则∠CDE=2∠CDF=2y，
∵AB∥CD，
∴∠BPD=∠CDF=y，
∴在△BPF中，
∠BPD=∠F+∠ABF=∠F+∠ABH+∠HBF=∠F+3x，
即y=3x+∠F，
由（1）小题可得∠BED=∠NBE+∠EDM =∠ABH+180°-∠CDE =2x+180°-2y，
∵12∠BED+13∠F=40°，
∴90°+x-y+13y-x=40°．
∴y=75°，
∴∠CDE=2∠CDF=2y=150°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的有关计算，熟练掌握已经学过的性质和定理，作出适当的辅助线是解题的关键．
25．（2022·浙江·义乌市稠州中学七年级期中）如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．
(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM= ．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
【答案】(1)30°
(2)67.5°
(3)△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．
【分析】（1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
（1）
解：∵ED平分∠PEF，∠DEF=60°，
∴∠PEF=2∠DEF=2×60°=120°，
∵PQ∥MN，，
∴∠MFE=180°−∠PEF=60°，
∵∠DFE=30°，
∴∠DFM=∠MFE−∠DFE=30°．
故答案为：30°
（2）
解：如图3，分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA=∠BAC=45°，∠RHG=∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，，
∴∠QGF+∠GFL=180°，∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA，
∵∠DFE=30°，
∴∠GFA=180°−∠DFE=150°，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH=12∠FGQ,∠HFA=12∠GFA=75°，
∴∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA=75°−45°=30°，
∴∠GFL=∠GFA−∠LFA=150°−45°=105°，
∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，
∴∠RHG=∠QGH=12∠FGQ=37.5°，
∴∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°=67.5°；
（3）
解：设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：
当BC∥DE时，如图5，
此时AC∥DF，
∴∠CAE=∠DFE=30°，
3t=30，
解得：t=10；
②当BC∥EF时，如图6，
∵BC∥EF，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°，
3t=90，
解得：t=30；
③当BC∥DF时，如图7，
延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵∠DRM=∠EAM+∠DFE=45°+30°=75°，
∴∠BKA=∠DRM=75°，
∵∠ACK=180°−∠ACB=90°，
∴∠CAK=90°−∠BKA=15°，
∴∠CAE=180−∠EAM−∠CAK=180°−45°−15°=120°，
∴3t=120，
解得：t=40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
26．（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)填空：∠1=_________°，∠2=_________°．
(2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0
