人教版七年级数学下册尖子生培优练习 专题5.5第5章相交线与平行线单元测试（基础过关卷）（原卷版+解析）

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专题5.5第5张相交线与平行线单元测试（基础过关卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•碑林区校级期中）下列语句是命题的是（　　）A．画出两个相等的角 B．所有的直角都相等吗？ C．延长线段AB到C，使得BC＝BA D．两直线平行，内错角相等2．（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）A． B． C． D．3．（2022春•新城区校级期中）如图，两条直线交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（　　）A．40° B．80° C．100 D．140°4．（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（　　）A．3 B．4 C．4.3 D．55．（2022春•仓山区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D间的距离为2，CE＝4，则BF＝（　　）A．4 B．6 C．8 D．106．（2022春•新城区校级期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝65°，则∠2的大小是（　　）A．45° B．55° C．65° D．75°7．（2022春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（　　）A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④8．（2022春•龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（　　）A．10 B．14 C．21 D．159．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（　　）A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确10．（2022春•仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（　　）A．18° B．27° C．30° D．45°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•市中区校级月考）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 　 　点．理由：　 　．12．（2022春•章丘区期中）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC＝　 　．13．（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 　 　．14．（2022春•云阳县校级月考）如图，在宽为13米、长为24米的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），道路的宽为2米，余下部分种植草坪．则草坪的面积为 　 　．15．（2022秋•阿荣旗校级月考）如图，直线a∥b，EF⊥CD于点F，∠2＝65°，则∠1的度数是 　 　．16．（2022春•天府新区月考）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM＝40°，则∠NOD的度数为 　 　．17．（2022春•张店区期末）如图，直线l1，l2被直线l3所截，l3分别交l1，l2于点A和点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠1＝130°，∠2＝60°，∠3＝50°，则∠4＝　 　．18．（2022春•兴城市期末）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有 　 　．（填序号）三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•普陀区校级月考）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，平移三角形ABC，并将三角形ABC的一个顶点A平移到D处．（1）请你作出平移后的三角形DEF．（2）请求出三角形DEF的面积．20．（2022春•大足区期末）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠B+∠CDE＝180°，求证：∠AFC＝∠EDH．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠B＝　 　（两直线平行，内错角相等）∵∠B+∠CDE＝180°（已知）∴∠BCD+∠CDE＝180°（等量代换）∴BC∥　 　（同旁内角互补，两直线平行）∴　 　＝∠EDH（ 　 　）∵　 　＝∠BFD（对顶角相等）∴∠AFC＝∠EDH（等量代换）21．（2022春•迁安市期末）如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．（1）量出点C到河边的图上距离是 　 　cm；（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．22．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．23．（2022春•云阳县校级月考）如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），此时∠APC与∠A、∠C有怎样的关系？请说明理由．（2）当点P移动到如图（2）的位置时，∠APC与∠A、∠C又有怎样的关系？请说明理由．24．（2022春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度数；（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．25．（2022春•重庆月考）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；问题迁移（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系．专题5.5第5张相交线与平行线单元测试（基础过关卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•碑林区校级期中）下列语句是命题的是（　　）A．画出两个相等的角 B．所有的直角都相等吗？ C．延长线段AB到C，使得BC＝BA D．两直线平行，内错角相等【分析】利用命题的定义判断即可．【解答】解：A．画出两个相等的角，没有对一件事情做出判断，故A选项不是命题，不符合题意；B．所有的直角都相等吗？是表示疑问的语句，而不是表示判断的语句，故选项B不符合题意；C．延长线段AB到C，使得BC＝BA，不是表示判断的语句，故选项C不符合题意；D．两直线平行，内错角相等，是表示判断的语句，故D是命题，符合题意．故选：D．2．（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．【解答】解：由对顶角的定义可知，图中的∠1与∠2是对顶角，故选：B．3．（2022春•新城区校级期中）如图，两条直线交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（　　）A．40° B．80° C．100 D．140°【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，∴∠1＝40°，∵∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝140°．故选：D．4．（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（　　）A．3 B．4 C．4.3 D．5【分析】由点到直线的距离概念，即可选择．【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，∴点P到直线l的距离为垂线段PO的长度，故选：B．5．（2022春•仓山区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D间的距离为2，CE＝4，则BF＝（　　）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．【解答】解：∵将△ABC沿CB方向平移到△DEF的位置，点A，D之间的距离为2，∴BE＝CF＝2，∵CE＝4，∴BF＝CF+BE+CE＝2+2+4＝8，故选：C．6．（2022春•新城区校级期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝65°，则∠2的大小是（　　）A．45° B．55° C．65° D．75°【分析】由30°三角尺可知∠3＝60°，由平角可求∠4，再根据平行线的性质可知∠2＝∠4．【解答】解：如图：由30°三角尺可知∠3＝60°，∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣65°﹣60°＝55°．由平行线的性质可知∠2＝∠4＝55°．故选：B．7．（2022春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（　　）A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④【分析】利用平行线的判定定理来判断即可．【解答】解：∠1＝∠2，同位角相等两直线平行，①正确；∠3＝∠6，内错角相等两直线平行，②正确；∠4＝∠6，∠4+∠7＝180°，同旁内角互补两直线平行，③正确；∠5+∠8＝180°，它们对顶角是∠3，∠2是同旁内角，同上，④正确．故选：C．8．（2022春•龙岗区校级期中）观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（　　）A．10 B．14 C．21 D．15【分析】根据图示解决问题．【解答】解：两条直线相交，最多交点数为1个；三条直线相交，最多交点数为1+2＝3（个）；四条直线相交，最多交点数为1+2+3＝6（个）；五条直线相交，最多交点数为1+2+3+4＝10（个）．故选：A．9．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（　　）A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【分析】由平行线的性质得出∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，证出∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，由角平分线定义得出∠BCD＝∠BCF，得出∠1＝∠ECA，AC平分∠DCE，证出∠EAC＝∠1，得出AE∥CD，①正确；由∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，得出∠BDC＝2∠1，②正确；即可得出结论．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，∵BC平分∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF，∴∠1＝∠ECA，∴AC平分∠DCE，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠1，∴AE∥CD，①正确；∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，∴∠BDC＝2∠1，②正确；故选：A．10．（2022春•仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（　　）A．18° B．27° C．30° D．45°【分析】设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，先求得∠BCE+∠CEA＝180°，即可得到AE∥BC，进而得出∠ACB＝∠CAE，即可得到∠DAE＝18°，再依据Rt△ACD内角和即可得到∠ACD的度数．【解答】解：设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，∵AD⊥PQ，AF⊥AB，∴∠BAF＝∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝90°+α，∠CEA＝∠ADE+∠DAE＝90°+α，∴∠BAE＝∠CEA，∵MN∥PQ，BC平分∠ABM，∴∠BCE＝∠CBM＝∠CBA，又∵∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠BAE＝360°，∴∠BCE+∠CEA＝180°，∴AE∥BC，∴∠ACB＝∠CAE，即α＝45°，∴α＝18°，∴∠DAE＝18°，∴Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（45°+18°）＝27°，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•市中区校级月考）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 　A　点．理由：　垂线段最短　．【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案．【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，理由：垂线段最短．故答案为：A，垂线段最短．12．（2022春•章丘区期中）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC＝　150°　．【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝60°，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＝30°，∵∠AOC+∠AOB＝180°，∴∠AOC＝150°，故答案为：30°．13．（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 　38°　．【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案为：38°．14．（2022春•云阳县校级月考）如图，在宽为13米、长为24米的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），道路的宽为2米，余下部分种植草坪．则草坪的面积为 　242平方米　．【分析】通过平移可得，草坪可以看作长为（24﹣2）米，宽为（13﹣2）米的矩形，再根据矩形的面积计算即可．【解答】解：草坪的面积为：（24﹣2）×（13﹣2）＝242（平方米）．故答案为：242平方米．15．（2022秋•阿荣旗校级月考）如图，直线a∥b，EF⊥CD于点F，∠2＝65°，则∠1的度数是 　25°　．【分析】先根据平行线的性质求出∠EDF的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∠2＝65°，∴∠EDF＝∠2＝65°．∵EF⊥CD于点F，∴∠EFD＝90°，∴∠1＝90°﹣∠EFD＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．16．（2022春•天府新区月考）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM＝40°，则∠NOD的度数为 　130°　．【分析】直接利用角平分线的性质得出∠AOM＝∠MOC，进而利用垂直的定义得出∠CON的度数，再根据邻补角的定义即可求出答案．【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM＝40°，∴∠AOM＝∠MOC＝40°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠CON＝90°﹣40°＝50°，∴∠NOD＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．17．（2022春•张店区期末）如图，直线l1，l2被直线l3所截，l3分别交l1，l2于点A和点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠1＝130°，∠2＝60°，∠3＝50°，则∠4＝　70°　．【分析】先根据∠1+∠3＝180°判定l1∥l2，然后根据平行线的性质求出∠4即可．【解答】解：如图，∵∠1＝130°，∠3＝50°，∴l1∥l2，∴∠4＝∠5，∵∠2＝60°，∠3＝50°，∴∠5＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠4＝∠5＝70°．故答案为：70°．18．（2022春•兴城市期末）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有 　①②③④　．（填序号）【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故①正确；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠2＝180°，∴2∠1+∠2＝180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4＝90°（2），∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；∵AB∥EF，∴∠BAE+∠3＝180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠BAE，∴∠1+∠3＝180°，∴2∠1+2∠3＝360°（3），∵2∠1+∠2＝180°（1），（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；∵CD∥EF，∴∠CEF+∠4＝180°，∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，∵AC⊥CE，∴∠1+∠AEC＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠1，∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，∵2∠1﹣∠4＝90°，∴∠1＝45°+∠4，∴∠3+∠4＝135°，故④正确．故正确的结论有：①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•普陀区校级月考）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，平移三角形ABC，并将三角形ABC的一个顶点A平移到D处．（1）请你作出平移后的三角形DEF．（2）请求出三角形DEF的面积．【分析】（1）根据平移的性质画图即可；（2）利用△DEF所在的长方形减去周围三个直角三角形即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求；（2）S△DEF＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3＝4，答：三角形DEF的面积为4．20．（2022春•大足区期末）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠B+∠CDE＝180°，求证：∠AFC＝∠EDH．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠B＝　∠BCD　（两直线平行，内错角相等）∵∠B+∠CDE＝180°（已知）∴∠BCD+∠CDE＝180°（等量代换）∴BC∥　DE　（同旁内角互补，两直线平行）∴　∠BFD　＝∠EDH（ 　两直线平行，同位角相等　）∵　∠AFC　＝∠BFD（对顶角相等）∴∠AFC＝∠EDH（等量代换）【分析】先根据平行线的性质证明∠B＝∠BCD，等量代换证得∠BCD+∠CDE＝180°，从而证得BC∥DE，根据平行线的性质即可证得结论．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠BCD （两直线平行，内错角相等），∵∠B+∠CDE＝180°（已知），∴∠BCD+∠CDE＝180°（等量代换），∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BFD＝∠EDH（两直线平行，同位角相等），∵∠AFC＝∠BFD（对顶角相等），∴∠AFC＝∠EDH（等量代换）．故答案为：∠BCD，DE，∠BFD，两直线平行，同位角相等，∠AFC．21．（2022春•迁安市期末）如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．（1）量出点C到河边的图上距离是 　1.5　cm；（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．【分析】（1）点C到AB的图上距离即线段CD的长度，根据长度测量的方法量出即可；（2）根据比例尺计算C到河边的实地距离即可；（3）根据直角三角形的锐角互余可求出∠BAC，根据对顶角相等即可求出∠FAE即可．【解答】解：（1）点C到AB的图上距离即线段CD的长度，测量可得点C到AB的图上距离是1.5厘米，故答案为：1.5；（2）1.5×10000＝15000（厘米），15000厘米＝150米，答：C到河边的实地距离为150米；（3）∵AC⊥BC，∠ABC＝28°，∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，∴∠EAF＝∠BAC＝62°．22．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．【分析】由平行线的判定得CD∥EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AED＝∠ACB，进而可判定BC∥DE．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴EF∥CD，∴∠3＝∠4，∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4，∴∠AED＝∠ACB，∴BC∥DE．23．（2022春•云阳县校级月考）如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），此时∠APC与∠A、∠C有怎样的关系？请说明理由．（2）当点P移动到如图（2）的位置时，∠APC与∠A、∠C又有怎样的关系？请说明理由．【分析】（1）延长AP后通过外角定理可得出结论；（2）延长BA到E，延长DC到F，利用内角和定理解答．【解答】解：（1）∠APC＝∠A+∠C，理由如下：如图（1）延长AP交CD与点E．∵AB∥CD，∴∠A＝∠AEC．又∵∠APC是△PCE的外角，∴∠APC＝∠C+∠AEC．∴∠APC＝∠A+∠C；（2）∠APC＝360°﹣（∠A+∠C），理由如下：如图（2）延长BA到E，延长DC到F，由（1）得∠APC＝∠PAE+∠PCF．∵∠PAE＝180°﹣∠PAB，∠PCF＝180°﹣∠PCD，∴∠APC＝360°﹣（∠PAB+∠PCD）．24．（2022春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度数；（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．【分析】（1）由角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，可求．（2）分两种情况，由垂直的定义可求解，【解答】解：（1）∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD，∵∠BOD＝46°，∴∠AOD＝134°，∠AOC＝46°，∴∠AOE＝67°，∵∠COE＝∠AOC+∠AOE，∴∠COE＝46°+67°＝113°；（2）①当OF在AB上方时，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝23°．②当OF在AB下方时，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157°．25．（2022春•重庆月考）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；问题迁移（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系．【分析】（1）过P作PT∥EF，由PT∥EF∥MN，得∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，即得∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，把∠PAF＝130°，∠PBN＝120°代入即可求出∠APB度数；（2）①过P作PE∥AD交CD于E，由AD∥PE∥BC，得∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，故∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；②分两种情况：当P在BA延长线时，此时∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，此时∠CPD＝∠α﹣∠β．【解答】解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下：过P作PT∥EF，如图：∵EF∥MN，∴PT∥EF∥MN，∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°，即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°；（2）①∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：过P作PE∥AD交CD于E，如图：∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；②当P在BA延长线时，如图：此时∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，如图：此时∠CPD＝∠α﹣∠β．