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人教版七年级数学下册尖子生培优题典 第5章相交线与平行线单元测试（能力提升卷）（原卷版+解析）
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【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】第5章相交线与平行线单元测试（能力提升卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•唐河县期末）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（ ）A．B． C．D．2．（2022秋•长春期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短3．（2020秋•射洪市期末）如图所示，下列结论中正确的是（ ）A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角 C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角4．（2018秋•龙岗区期末）下列四个命题中，真命题是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．如果x2＞0，那么x＞05．（2022秋•玉泉区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）A．30° B．36° C．45° D．72°6．（2022秋•宛城区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°．A．1 B．2 C．3 D．47．（2022秋•卧龙区校级期末）如图所示，下列推理正确的个数有（ ）①若∠1＝∠2，则AB∥CD ②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC ④若AB∥CD，则∠3＝∠4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2022秋•市中区校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）A．∠BAD+∠ADC＝180° B．∠ABD＝∠BDC C．∠ADB＝∠DBC D．∠ABE＝∠DCE9．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（ ）A．（a+1.8）h m2 B．（h+1.8）a m2 C．1.8（h+a）m2 D．1.8ah m210．（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•东阳市校级开学）如图所示，图中用数字标出的角中，∠2的内错角是 ．12．（2022秋•姜堰区期中）如图，△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，则CC'＝ cm．13．（2022春•和平区校级月考）如图，CD⊥AD，BE⊥AC，AF⊥CF，CD＝2cm，BE＝1.5cm，AF＝4cm，则点A到直线BC的距离是 cm，点B到直线AC的距离是 cm，点C到直线AB的距离是 cm．14．（2022春•新乐市校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，垂足为O，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，则∠DOE的度数为 ；（2）∠AOE与∠BOD的数量关系为 ．15．（2022秋•南岗区校级期中）已知两个角的两边分别互相平行，其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，则这个角为 °．16．（2022秋•香坊区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝ ．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•金东区期末）如图，△ABC，△A1B1C1的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格线交点上．（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．（2）试描述△A1B1C1经过怎样的平移可得到△A2B2C2．18．（2023春•新市区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），∠AGC+∠AGD＝180°（ ），所以∠BAG＝∠AGC（ ）．因为EA平分∠BAG，所以∠1＝ （ ）．因为FG平分∠AGC，所以∠2＝ ，得∠1＝∠2（ ），所以AE∥GF（ ）．19．判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，举一个反例．（1）同旁内角互补；（2）如果a＞b，那么ac＞bc；（3）两个锐角的和是钝角．20．（2022秋•中山市期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，求∠AOF的度数．21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B＝180°．（1）求证：DE∥BC；（2）如果∠AMD＝70°，求∠AGC的度数．22．（2022秋•二道区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠AOD交DE于点F，若∠OFD＝65°，补全图形，并求∠1的度数．23．（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（ ）．∴∠C＝∠CEF．（ ）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝ ．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ． 【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题第五章相交线与平行线单元测试（能力提升卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•唐河县期末）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可．【解答】解：选项A中的∠1与∠2，是直线AB、BC被直线EF所截的同位角，因此选项A不符合题意；选项B中的∠1与∠2，是直线AB、MG被直线EM所截的同位角，因此选项B不符合题意；选项C中的∠1与∠2，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项C符合题意；选项D中的∠1与∠2，是直线CD、EF被直线AB所截的同位角，因此选项D不符合题意；故选：C．2．（2022秋•长春期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短【分析】利用垂线段最短求解．【解答】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短；故选：D．3．（2020秋•射洪市期末）如图所示，下列结论中正确的是（ ）A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角 C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；C、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；故选：B．4．（2018秋•龙岗区期末）下列四个命题中，真命题是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．如果x2＞0，那么x＞0【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，为假命题；B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，正确，为真命题；C、三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，为假命题；D、如果x2＞0，那么x＞0，错误，为假命题，故选：B．5．（2022秋•玉泉区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）A．30° B．36° C．45° D．72°【分析】根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，∴∠EOC＝180°×＝60°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×60°＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°．故选：A．6．（2022秋•宛城区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；（2）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；（3）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD； （4）∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．故选：C．7．（2022秋•卧龙区校级期末）如图所示，下列推理正确的个数有（ ）①若∠1＝∠2，则AB∥CD ②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC ④若AB∥CD，则∠3＝∠4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥DC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；∵∠C+∠CDA＝180°，∴AD∥BC，∴③正确；由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误；正确的个数有2个，故选：C．8．（2022秋•市中区校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）A．∠BAD+∠ADC＝180° B．∠ABD＝∠BDC C．∠ADB＝∠DBC D．∠ABE＝∠DCE【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：A、正确，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；B、正确，∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；C、∠ADB＝∠DBC判定的是AD∥BC，所以不符合要求；D、正确，∵∠ABE＝∠DCE，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；故选：C．9．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（ ）A．（a+1.8）h m2 B．（h+1.8）a m2 C．1.8（h+a）m2 D．1.8ah m2【分析】根据图形可得，地毯长度为（a+h）米，再根据长方形的面积公式解答即可．【解答】解：由题意得，地毯的长度为（a+h）米，故地毯的面积为：1.8（h+a）m2．故选：C．10．（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•东阳市校级开学）如图所示，图中用数字标出的角中，∠2的内错角是 ∠6 ．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．【解答】解：图中用数字标出的角中，∠2的内错角是∠6．故答案为：∠6．12．（2022秋•姜堰区期中）如图，△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，则CC'＝ 1.2 cm．【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，BB'＝1.2cm，∴CC'＝BB′＝1.2cm，故答案为：1.2．13．（2022春•和平区校级月考）如图，CD⊥AD，BE⊥AC，AF⊥CF，CD＝2cm，BE＝1.5cm，AF＝4cm，则点A到直线BC的距离是 4 cm，点B到直线AC的距离是 1.5 cm，点C到直线AB的距离是 2 cm．【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可．【解答】解：∵CD⊥AD，BE⊥AC，AF⊥CF，CD＝2cm，BE＝1.5cm，AF＝4cm，∴点A到直线BC的距离是4cm，点B到直线AC的距离是1.5cm，点C到直线AB的距离是2cm．故答案为：4、1.5、2．14．（2022春•新乐市校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，垂足为O，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，则∠DOE的度数为 70° ；（2）∠AOE与∠BOD的数量关系为 ∠AOE＝2∠BOD ．【分析】（1）利用邻补角的定义进行计算即可；（2）利用第一步的步骤和思路，推理即可．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOF+∠AOE＝180°，∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC＝∠COF＝70°，∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠DOE＝∠COF＝70°．故答案为：70°；（2）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝（180°﹣∠AOE）＝90°﹣∠AOE，∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣∠AOC＝90°﹣（90°﹣∠AOE）＝﹣∠AOE，∴∠AOE＝2∠BOD．故答案为：∠AOE＝2∠BOD．15．（2022秋•南岗区校级期中）已知两个角的两边分别互相平行，其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，则这个角为 20°或48 °．【分析】由两个角的两边都平行，可得此两角互补或相等，然后设其中一个角为x°，分别从两角相等或互补去分析，由其中一个角的度数是另一个角的3倍少20°，列方程求解即可求得答案．【解答】解：∵两个角的两边都平行，∴此两角互补或相等，设其中一个角为x°，∵其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，∴①若两角相等，则x＝x+15，解得：x＝20，②若两角互补，则x＝（180﹣x）+15，解得：x＝48，∴两个角的度数分别是20°或48°．故答案为：20°或48．16．（2022秋•香坊区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝ 95° ．【分析】先根据平行线的性质求出∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，由∠APC＝75°求出∠PAB+∠PCD＝285°，根据∠PAQ＝2∠BAQ可得∠PAB＝3∠BAQ，由∠PCD＝3∠QCD可得∠BAQ+∠QCD＝95°，最后证∠AQC＝∠BAQ+∠QCD即可得出答案．【解答】解：过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，如图：∵AB∥CD，QF∥AB，∴AB∥QF∥CD，∴∠BAQ＝∠AQF，∠QCD＝∠CQF，∴∠BAQ+∠QCD＝∠AQF+∠CQF，即∠BAQ+∠QCD＝∠AQC，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∴∠APE+∠CPE+∠PAB+∠PCD＝360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，∵∠APC＝75°，∴∠PAB+∠PCD＝285°，∵∠PAQ＝2∠BAQ，∴∠PAB＝3∠BAQ，∵∠PCD＝3∠QCD，∴3∠BAQ+3∠QCD＝285°，∴∠BAQ+∠QCD＝95°，∴∠AQC＝95°．故答案为：95°．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•金东区期末）如图，△ABC，△A1B1C1的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格线交点上．（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．（2）试描述△A1B1C1经过怎样的平移可得到△A2B2C2．【分析】（1）利用平移的性质可画出△A2B2C2；（2）根据平移的特征可得答案．【解答】解：（1）如图，△A2B2C2即为所求；（2）将△A1B1C1向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到△A2B2C2．18．（2023春•新市区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 已知 ），∠AGC+∠AGD＝180°（ 邻补角的定义 ），所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等 ）．因为EA平分∠BAG，所以∠1＝ ∠BAG （ 角平分线的定义 ）．因为FG平分∠AGC，所以∠2＝ ∠AGC ，得∠1＝∠2（ 等量代换 ），所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行 ）．【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），因为EA平分∠BAG，所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），因为FG平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．19．判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，举一个反例．（1）同旁内角互补；（2）如果a＞b，那么ac＞bc；（3）两个锐角的和是钝角．【分析】（1）根据平行线的性质判断即可；（2）根据不等式的性质判断即可；（3）根据角的分类判断即可．【解答】解：（1）同旁内角互补，是假命题，如两直线不平行，同旁内角不能互补；（2）如果a＞b，那么ac＞bc，是假命题，如c＝0时，ac＝bc；（3）两个锐角的和是钝角，是假命题，如30°+30°＝60°．20．（2022秋•中山市期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，求∠AOF的度数．【分析】根据角平分线，可得∠BOE＝∠DOE，根据邻补角，可得∠BOC的度数，根据角平分线的定义，可得∠COF，再根据对顶角及角的和差，可得答案．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∴∠BOE＝∠DOE＝36°，∠BOF＝∠COF，∴∠BOD＝∠AOC＝2∠BOE＝72°，∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝108°，∴∠COF＝＝54°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝72°+54°＝126°．21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B＝180°．（1）求证：DE∥BC；（2）如果∠AMD＝70°，求∠AGC的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BHD＝180°，求出∠B＝∠DHB，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质求出∠AGB＝∠AMD＝75°，根据邻补角的定义求出即可．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠D+∠BHD＝180°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠B＝∠DHB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠AMD＝70°，∴∠AGB＝∠AMD＝70°，∴∠AGC＝180°﹣∠AGB＝180°﹣70°＝110°．22．（2022秋•二道区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠AOD交DE于点F，若∠OFD＝65°，补全图形，并求∠1的度数．【分析】（1）根据垂直的定义、余角的概念推出∠D＝∠DOB，即可判定ED∥AB；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义求出∠AOD＝2∠AOF＝130°，根据角的和差即可求解．【解答】（1）证明：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠D与∠1互余，∴∠D+∠1＝90°，∴∠D＝∠DOB，∴ED∥AB；（2）解：如图，∵ED∥AB，∠OFD＝65°，∴∠AOF＝∠OFD＝65°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOF＝130°，∵∠COD＝90°，∠AOD＝∠1+∠COD，∴∠1＝40°．23．（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．∴∠C＝∠CEF．（ 两直线平行，内错角相等 ）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝ ∠BEF+∠CEF ．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4 ．【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点F作FM∥AB，根据（1）求解即可．【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换），即∠B+∠C＝∠BEC，故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．故答案为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】第5章相交线与平行线单元测试（能力提升卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•唐河县期末）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（ ）A．B． C．D．2．（2022秋•长春期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短3．（2020秋•射洪市期末）如图所示，下列结论中正确的是（ ）A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角 C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角4．（2018秋•龙岗区期末）下列四个命题中，真命题是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．如果x2＞0，那么x＞05．（2022秋•玉泉区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）A．30° B．36° C．45° D．72°6．（2022秋•宛城区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°．A．1 B．2 C．3 D．47．（2022秋•卧龙区校级期末）如图所示，下列推理正确的个数有（ ）①若∠1＝∠2，则AB∥CD ②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC ④若AB∥CD，则∠3＝∠4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2022秋•市中区校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）A．∠BAD+∠ADC＝180° B．∠ABD＝∠BDC C．∠ADB＝∠DBC D．∠ABE＝∠DCE9．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（ ）A．（a+1.8）h m2 B．（h+1.8）a m2 C．1.8（h+a）m2 D．1.8ah m210．（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•东阳市校级开学）如图所示，图中用数字标出的角中，∠2的内错角是 ．12．（2022秋•姜堰区期中）如图，△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，则CC'＝ cm．13．（2022春•和平区校级月考）如图，CD⊥AD，BE⊥AC，AF⊥CF，CD＝2cm，BE＝1.5cm，AF＝4cm，则点A到直线BC的距离是 cm，点B到直线AC的距离是 cm，点C到直线AB的距离是 cm．14．（2022春•新乐市校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，垂足为O，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，则∠DOE的度数为 ；（2）∠AOE与∠BOD的数量关系为 ．15．（2022秋•南岗区校级期中）已知两个角的两边分别互相平行，其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，则这个角为 °．16．（2022秋•香坊区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝ ．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•金东区期末）如图，△ABC，△A1B1C1的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格线交点上．（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．（2）试描述△A1B1C1经过怎样的平移可得到△A2B2C2．18．（2023春•新市区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），∠AGC+∠AGD＝180°（ ），所以∠BAG＝∠AGC（ ）．因为EA平分∠BAG，所以∠1＝ （ ）．因为FG平分∠AGC，所以∠2＝ ，得∠1＝∠2（ ），所以AE∥GF（ ）．19．判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，举一个反例．（1）同旁内角互补；（2）如果a＞b，那么ac＞bc；（3）两个锐角的和是钝角．20．（2022秋•中山市期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，求∠AOF的度数．21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B＝180°．（1）求证：DE∥BC；（2）如果∠AMD＝70°，求∠AGC的度数．22．（2022秋•二道区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠AOD交DE于点F，若∠OFD＝65°，补全图形，并求∠1的度数．23．（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（ ）．∴∠C＝∠CEF．（ ）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝ ．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ． 【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题第五章相交线与平行线单元测试（能力提升卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•唐河县期末）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可．【解答】解：选项A中的∠1与∠2，是直线AB、BC被直线EF所截的同位角，因此选项A不符合题意；选项B中的∠1与∠2，是直线AB、MG被直线EM所截的同位角，因此选项B不符合题意；选项C中的∠1与∠2，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项C符合题意；选项D中的∠1与∠2，是直线CD、EF被直线AB所截的同位角，因此选项D不符合题意；故选：C．2．（2022秋•长春期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短【分析】利用垂线段最短求解．【解答】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短；故选：D．3．（2020秋•射洪市期末）如图所示，下列结论中正确的是（ ）A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角 C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；C、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；故选：B．4．（2018秋•龙岗区期末）下列四个命题中，真命题是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．如果x2＞0，那么x＞0【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，为假命题；B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，正确，为真命题；C、三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，为假命题；D、如果x2＞0，那么x＞0，错误，为假命题，故选：B．5．（2022秋•玉泉区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）A．30° B．36° C．45° D．72°【分析】根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，∴∠EOC＝180°×＝60°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×60°＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°．故选：A．6．（2022秋•宛城区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；（2）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；（3）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD； （4）∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．故选：C．7．（2022秋•卧龙区校级期末）如图所示，下列推理正确的个数有（ ）①若∠1＝∠2，则AB∥CD ②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC ④若AB∥CD，则∠3＝∠4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥DC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；∵∠C+∠CDA＝180°，∴AD∥BC，∴③正确；由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误；正确的个数有2个，故选：C．8．（2022秋•市中区校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）A．∠BAD+∠ADC＝180° B．∠ABD＝∠BDC C．∠ADB＝∠DBC D．∠ABE＝∠DCE【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：A、正确，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；B、正确，∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；C、∠ADB＝∠DBC判定的是AD∥BC，所以不符合要求；D、正确，∵∠ABE＝∠DCE，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；故选：C．9．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（ ）A．（a+1.8）h m2 B．（h+1.8）a m2 C．1.8（h+a）m2 D．1.8ah m2【分析】根据图形可得，地毯长度为（a+h）米，再根据长方形的面积公式解答即可．【解答】解：由题意得，地毯的长度为（a+h）米，故地毯的面积为：1.8（h+a）m2．故选：C．10．（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•东阳市校级开学）如图所示，图中用数字标出的角中，∠2的内错角是 ∠6 ．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．【解答】解：图中用数字标出的角中，∠2的内错角是∠6．故答案为：∠6．12．（2022秋•姜堰区期中）如图，△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，则CC'＝ 1.2 cm．【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，BB'＝1.2cm，∴CC'＝BB′＝1.2cm，故答案为：1.2．13．（2022春•和平区校级月考）如图，CD⊥AD，BE⊥AC，AF⊥CF，CD＝2cm，BE＝1.5cm，AF＝4cm，则点A到直线BC的距离是 4 cm，点B到直线AC的距离是 1.5 cm，点C到直线AB的距离是 2 cm．【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可．【解答】解：∵CD⊥AD，BE⊥AC，AF⊥CF，CD＝2cm，BE＝1.5cm，AF＝4cm，∴点A到直线BC的距离是4cm，点B到直线AC的距离是1.5cm，点C到直线AB的距离是2cm．故答案为：4、1.5、2．14．（2022春•新乐市校级月考）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，垂足为O，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，则∠DOE的度数为 70° ；（2）∠AOE与∠BOD的数量关系为 ∠AOE＝2∠BOD ．【分析】（1）利用邻补角的定义进行计算即可；（2）利用第一步的步骤和思路，推理即可．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOF+∠AOE＝180°，∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC＝∠COF＝70°，∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠DOE＝∠COF＝70°．故答案为：70°；（2）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝（180°﹣∠AOE）＝90°﹣∠AOE，∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣∠AOC＝90°﹣（90°﹣∠AOE）＝﹣∠AOE，∴∠AOE＝2∠BOD．故答案为：∠AOE＝2∠BOD．15．（2022秋•南岗区校级期中）已知两个角的两边分别互相平行，其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，则这个角为 20°或48 °．【分析】由两个角的两边都平行，可得此两角互补或相等，然后设其中一个角为x°，分别从两角相等或互补去分析，由其中一个角的度数是另一个角的3倍少20°，列方程求解即可求得答案．【解答】解：∵两个角的两边都平行，∴此两角互补或相等，设其中一个角为x°，∵其中一个角的度数比另一个角度数的多15°，∴①若两角相等，则x＝x+15，解得：x＝20，②若两角互补，则x＝（180﹣x）+15，解得：x＝48，∴两个角的度数分别是20°或48°．故答案为：20°或48．16．（2022秋•香坊区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝ 95° ．【分析】先根据平行线的性质求出∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，由∠APC＝75°求出∠PAB+∠PCD＝285°，根据∠PAQ＝2∠BAQ可得∠PAB＝3∠BAQ，由∠PCD＝3∠QCD可得∠BAQ+∠QCD＝95°，最后证∠AQC＝∠BAQ+∠QCD即可得出答案．【解答】解：过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，如图：∵AB∥CD，QF∥AB，∴AB∥QF∥CD，∴∠BAQ＝∠AQF，∠QCD＝∠CQF，∴∠BAQ+∠QCD＝∠AQF+∠CQF，即∠BAQ+∠QCD＝∠AQC，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∴∠APE+∠CPE+∠PAB+∠PCD＝360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，∵∠APC＝75°，∴∠PAB+∠PCD＝285°，∵∠PAQ＝2∠BAQ，∴∠PAB＝3∠BAQ，∵∠PCD＝3∠QCD，∴3∠BAQ+3∠QCD＝285°，∴∠BAQ+∠QCD＝95°，∴∠AQC＝95°．故答案为：95°．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•金东区期末）如图，△ABC，△A1B1C1的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格线交点上．（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．（2）试描述△A1B1C1经过怎样的平移可得到△A2B2C2．【分析】（1）利用平移的性质可画出△A2B2C2；（2）根据平移的特征可得答案．【解答】解：（1）如图，△A2B2C2即为所求；（2）将△A1B1C1向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到△A2B2C2．18．（2023春•新市区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 已知 ），∠AGC+∠AGD＝180°（ 邻补角的定义 ），所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等 ）．因为EA平分∠BAG，所以∠1＝ ∠BAG （ 角平分线的定义 ）．因为FG平分∠AGC，所以∠2＝ ∠AGC ，得∠1＝∠2（ 等量代换 ），所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行 ）．【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），因为EA平分∠BAG，所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），因为FG平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．19．判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，举一个反例．（1）同旁内角互补；（2）如果a＞b，那么ac＞bc；（3）两个锐角的和是钝角．【分析】（1）根据平行线的性质判断即可；（2）根据不等式的性质判断即可；（3）根据角的分类判断即可．【解答】解：（1）同旁内角互补，是假命题，如两直线不平行，同旁内角不能互补；（2）如果a＞b，那么ac＞bc，是假命题，如c＝0时，ac＝bc；（3）两个锐角的和是钝角，是假命题，如30°+30°＝60°．20．（2022秋•中山市期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，求∠AOF的度数．【分析】根据角平分线，可得∠BOE＝∠DOE，根据邻补角，可得∠BOC的度数，根据角平分线的定义，可得∠COF，再根据对顶角及角的和差，可得答案．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∴∠BOE＝∠DOE＝36°，∠BOF＝∠COF，∴∠BOD＝∠AOC＝2∠BOE＝72°，∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝108°，∴∠COF＝＝54°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝72°+54°＝126°．21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B＝180°．（1）求证：DE∥BC；（2）如果∠AMD＝70°，求∠AGC的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BHD＝180°，求出∠B＝∠DHB，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质求出∠AGB＝∠AMD＝75°，根据邻补角的定义求出即可．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠D+∠BHD＝180°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠B＝∠DHB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠AMD＝70°，∴∠AGB＝∠AMD＝70°，∴∠AGC＝180°﹣∠AGB＝180°﹣70°＝110°．22．（2022秋•二道区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余．（1）求证：ED∥AB；（2）OF平分∠AOD交DE于点F，若∠OFD＝65°，补全图形，并求∠1的度数．【分析】（1）根据垂直的定义、余角的概念推出∠D＝∠DOB，即可判定ED∥AB；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义求出∠AOD＝2∠AOF＝130°，根据角的和差即可求解．【解答】（1）证明：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠D与∠1互余，∴∠D+∠1＝90°，∴∠D＝∠DOB，∴ED∥AB；（2）解：如图，∵ED∥AB，∠OFD＝65°，∴∠AOF＝∠OFD＝65°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOF＝130°，∵∠COD＝90°，∠AOD＝∠1+∠COD，∴∠1＝40°．23．（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．∴∠C＝∠CEF．（ 两直线平行，内错角相等 ）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝ ∠BEF+∠CEF ．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4 ．【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点F作FM∥AB，根据（1）求解即可．【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换），即∠B+∠C＝∠BEC，故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．故答案为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
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