专题4-2 换底公式与指对方程不等式11种题型归类（讲+练）-高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版必修第一册）

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专题 4.2 换底公式与指对方程不等式归类 热点考题归纳【题型一】换底公式:求解对数（字母表示）【典例分析】1.（21·22上·无锡·期中）已知，，则（    ）A．B．C．D．2.（21·22上·嘉兴·期中）已知 ，，则 （用 ， 表示）等于（    ）A．B．C．D．【提分秘籍】【变式演练】1.（21·22上·徐汇·期中）设，则（    ）．A．B．C．D．2.（20·21下·合肥·模拟预测）已知，则（    ）A．B．C．D．3.（20·21上·湖北·期中）已知，则（    ）A．B．C．D．【题型二】换底公式：求值求参【典例分析】1.（22·23下·河西·一模）已知，则的值为（    ）A．B．C．D．2.（22·23上·常州·期中）已知，，则（    ）A．B．1C．2D．4【提分秘籍】【变式演练】1.（21·22下·全国·模拟预测）已知实数，满足，，，，，，则（    ）A．2B．4C．6D．82.（21·22上·遵义·阶段练习）已知且，则a的值为（    ）A．B．C．D．3.（19·20下·荆门·期末）已知，则（    ）A．-2B．2C．D．【题型三】 换底公式：恒等式【典例分析】1.（19·20上·全国·课时练习）若实数、、满足，则下列式子正确的是A．B．C．D．2.（22·23·全国·随堂练习）已知，求证：．【提分秘籍】【变式演练】1.（22·23上·岳阳·期末）（1）已知实数满足，求的值．（2）若，求证：．2.（21·22·全国·课时练习）已知a，b，c均为正数，且，求证：；【题型四】 换底公式：比大小【典例分析】1.（23·24上·广安·阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（    ）A．B．C．D．2.（21·22下·南充·开学考试）设，，则（    ）A．B．C．D．【提分秘籍】【变式演练】1.（22·23下·眉山·开学考试）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（    ）A． B． C． D． 2.（22·23下·齐齐哈尔·期末）已知，，，则（    ）A．B．C．D．3.（22·23下·广西·阶段练习）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【题型五】换底公式：求最值 【典例分析】1.（22·23下·南昌·二模）已知，，，则的最小值为（    ）A．4B．6C．8D．122.（22·23上·河南·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ）A．B．C．D．12【提分秘籍】【变式演练】1.（22·23上·长春·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为（    ）A．B．C．D．不存在2.（21·22下·全国·模拟预测）已知实数a，b均为正数，且满足，那么的最小值为（    ）A．1B．eC．D．3.（21·22下·泉州·期末）设、，，，若，，则的最大值为（    ）．A．1B．2C．3D．4【题型六】利用对数运算解指数方程【典例分析】1.（21·22上·全国·课时练习）方程的根为（    ）A．1B．－2C．0D．0，1或－2．2.（21·22上·南开·阶段练习）方程x2+lgx=1000的解集为（    ）A．{1，3}B．{10，0.001}C．{10，0.01}D．{10}【变式演练】1.（20·21下·通化·期末）方程的非零实数解为（    ）A．B．C．D．2.（23·24上·江苏·专题练习）方程的实数解为 .3.（21·22上·上海·模拟预测）方程的解集为 【题型七】解对数方程 【典例分析】1.（19·20·全国·课时练习）解方程:.【提分秘籍】【变式演练】1.解方程：.2.（21·22 ·杨浦·期末）解方程：．3.（20·21全国·单元测试）解方程：.【题型八】指数互求原函数与反函数【典例分析】1.．（21·22·全国·高考练习）函数的反函数是（    ）A．B．C．D．2.（21·22·湖北·高考练习）函数的反函数是（    ）A．B．C．D．【提分秘籍】【变式演练】1.（20·21·全国·课时练习）若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称，则f(x)等于（    ）A．e2x-2B．e2xC．e2x+1D．e2x+22.（徐汇·阶段练习）函数的反函数的解析表达式为（    ）A．B．C．D．3.（天津·高考真题）函数的反函数是（　　）A．B．C．D．【题型九】指对函数图像对称【典例分析】1.（22·23上·辽宁·期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（    ）A．B．C．D．2.（22·23上·延安·阶段练习）已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是(　　)A．B．C．D．【提分秘籍】【变式演练】1.（21·22下·四川·阶段练习）函数的反函数的图象为（ ）A．B．C．D．2.（20·21遵义·一模）已知函数，则函数的大致图象是(　　　)A．B．C．D．3.（22·23下·徐汇·模拟预测）已知函数，在同一坐标系中，与的图像可能是（    ）A．B．C．D．【题型十】利用反函数对称性求参解不等式【典例分析】1.已知函数，是的反函数，若（），则的值为A．B．1C．4D．102.（20·21上·嘉定·开学考试）设是函数的反函数，若，则的值为 .【提分秘籍】【变式演练】1.（21·22上·攀枝花·阶段练习）设是函数的反函数，则的解集为A．B．C．D．2.（22·23下·衡水·开学考试）已知函数，函数与的图像关于直线对称，则的解集为（    ）A．B．C．D．3.（21·22·长春·模拟预测）已知函数（且）的反函数过点，设，则不等式的解集是 ．【题型十一】求解对数不等式【典例分析】1.不等式的解集为______.2.已知函数，若，则实数a的取值范围为___________.【变式演练】1.设函数，则不等式的解集为________． 2.已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．3.已知，则关于x的不等式的解集是______． 1.（22·23上·镇江·期中）已知，则（    ）A．B．C．D． 2.（21·22上·河南·阶段练习）若，且，则（    ）A．B．C．D．3.（21.22下·上海·课时练习）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：．4.（22·23下·商丘·阶段练习）设，，，则（    ）A．B．C．D．5.（21·22上·太原·期中）设，，，当取最小值时的的值为（    ）A．2B．3C．4D．6.（21·22·全国·课时练习）解方程:;7.（21·22上·上海·阶段练习）方程的解为 .8.（19·20·上海·专题练习）与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为（    ）．A．B．C．D．9.（陕西·高考真题）设函数的反函数为，则函数的图像是（    ）A．B．C．D．10.（21·22下·廊坊·阶段练习）已知函数（且）满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 ．11.设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）A．B．C．D．一、热考题型归纳【题型一】 换底公式：求解对数值（字母表示）【题型二】 换底公式：求值求参【题型三】 换底公式：恒成立【题型四】 换底公式：比大小 【题型五】 换底公式：求最值【题型六】 利用对数运算解指数方程【题型七】 解对数方程【题型八】 指数对数互求原函数与反函数【题型九】 指对函数图像平移与对称【题型十】 反函数求参解不等式【题型十一】求解对数不等式二、培优练换底公式：logbN＝eq \f(logaN,logab)；利用不同的对数值求新的对数值，此类题特征：1.多底数，多真数，都给它降幂为基数，如8----2.，如56---7与22.条件与结论，特别是条件，有没有底数真数共同数----本题，2，3，3，7共同数是3，那么可以考虑公共底数是33.如果没有共同数，则 结合求的对数真数，寻找共同底数，实在不好找，全部转化为10为底，或者e为底（尽量找共同数）4.结论对数的底数，真数，转化为条件的底数真数积与商，如本题56-2与7，42-2，3，7对数的运算法则：①loga(MN)＝logaM＋logaN②logaeq \f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝eq \f(n,m)logaM．换底推广：logab＝eq \f(1,logba)， logab·logbc·logcd＝logad. 对数的性质：①a＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． 指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.求最值多用一元二次函数或者均值不等式 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；指数对数函数方程：1.可以借助指数运算进行换元2.要注意对数取值范围3.根据常用指数式、对数式及其性质化简，如即可求得结果.对于函数，记其值域为；如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足；那么得到的关于的函数叫做的反函数，记作，；由于习惯上，自变量常用表示，而函数值常用表示，因此把该函数改写为求函数的反函数的基本步骤(1)由解出，得；(2)将互换得；(3)由原函数的值域写出反函数的定义域．若与互为反函数，则①的定义域和值域分别为的值域和定义域；②和的对应法则互递；③和的图像关于直线对称． 函数的图像和它的反函数的图像特点如下.(1)互为反函数的两个函数的图像是全等形.(2)函数与函数虽互为反函数,但是在同一坐标系内,它们的图像却是重合的.(3)在同一坐标系中,的图像与的图像关于直线对称.(4)关于直线对称的两个图形所代表的函数不一定互为反函数.(5)函数的图像与其反函数的图像如果有公共点,则这些公共点或在直线上,或关于直线对称地成对出现.(6)若函数是单调增函数,则其图像与其反函数的图像的公共点必在直线上. 原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量互换、定义域与值域互换，应特别注意以下两点．(1)，但(2)函数的反函数是，而不是．