专题26.2反比例函数的图象与性质（限时满分培优训练）-人教版九年级数学下册尖子生培优必刷题

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班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•如皋市期中）若反比例函数y=k−2x的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A．k＞2B．k＜2C．k≥2D．k≤2
【答案】B
【分析】由于反比例函数y=k−2x的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则满足k﹣2＜0即可．
【解答】解：∵反比例函数y=k−2x的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴k﹣2＜0，即k＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
2．（2023•临高县校级三模）若反比例函数y=2−mx的图象在一、三象限，则m的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数2﹣m＞0，解得m的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴2﹣m＞0，
解得：m＜2．
结合选项可知，只有1符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大．
3．（2023•章贡区校级模拟）对于反比例函数y=6x，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点（﹣3，﹣2）
C．函数图象在二、四象限内，y的值随x值的增大而减小
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质和相应的取值得到正确选项即可．
【解答】解：A、k＝6＞0，图象分布在第一，三象限，此选项不符合题意；
B、∵（﹣3）×（﹣2）＝6，
∴函数图象经过点（﹣3，﹣2），此选项不符合题意；
C、∵k＝6＞0，
∴函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，此选项不符合题意；
D、虽然点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，
但不知道A，B所在的象限，故y1，y2不能判断大小，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2023秋•兴宾区期中）若点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），在反比例函数y=3x的图象上，
∴y1=3−1=−3，y2=3−3=−1，y3=33=1，
又∵1＞﹣1＞﹣3，
∴y1＜y2＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
5．（2022秋•海港区校级期末）二次函数y＝ax2﹣a与反比例函数y=ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据二次函数y＝ax2﹣a的图象的开口方向和y轴的交点（0，﹣a），判断a的正负号，再看反比例函数y=ax（a≠0）的图象是否一致即可．
【解答】解：A、由抛物线开口方向可知a＞0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线开口方向可知a＜0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意；
C、由抛物线开口方向可知a＜0，反比例函数y=ax图象在第二、四象限，故本选项符合题意；
D、由抛物线开口方向可知a＜0，这与抛物线与y轴的交点（0，﹣a）相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数和反比例函数的图象，掌握字母系数对二次函数和反比例函数图象的作用是求解本题的关键．
6．（2023•镇海区校级一模）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y=kx（k≠0）的大致图象是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【答案】B
【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
【解答】解：∵y＝k（x﹣1），
∴函数y＝k（x﹣1）过点（1，0），
故①④不合题意；
当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、三、四象限，函数y=kx（k≠0）在一、三象限；
当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、二、四象限，函数y=kx（k≠0）在二、四象限；
故②③符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
7．（2023秋•兴宾区期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=1x的图象交于A（﹣1，m），（﹣5，n） 两点，则不等式kx+b−1x＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣5B．x＞﹣1
C．﹣5＜x＜﹣1D．x＜﹣5或﹣1＜x＜0
【答案】D
【分析】利用数形结合的思想即可解决问题．
【解答】解：观察所给函数图象可知，
在直线x＝﹣5的左侧部分和直线x＝﹣1与直线x＝0之间的部分，
一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
即kx+b＞1x，
所以不等式kx+b−1x＞0的解集为：x＜﹣5或﹣1＜x＜0．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
8．（2023春•临淄区期末）下面四个图中反比例函数的表达式均为y=3x，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据反比例函数比例系数k＝xy的几何意义，三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：第1个图中，阴影面积为3，
故符合题意；
第2个图中，阴影面积为12×3=1.5，
故不符合题意；
第3个图中，阴影面积为2×12×3=3，
故符合题意；
第4个图中，阴影面积为4×12×3=6，
故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
9．（2023•绥阳县校级模拟）如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab＝4，即可得出答案．
【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴12cd−12ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd﹣ab＝4是解此题的关键．
10．（2023秋•济阳区期中）如图，动点P在函数y=12x（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值是（ ）
A．2B．1C．12D．14
【答案】B
【分析】由于P的坐标为(a，12a)，且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF、BE，最后即可求出AF⋅BE．
【解答】解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为(a，12a)，且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为(0，12a)，M点的坐标为（a，0），
∴BN=1−12a，
令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝1，
则A（1，0），B（0，1），
∴OB＝OA＝1，则△OAB是等腰直角三角形，
∴∠NBF＝45°，
在Rt△BNF中，∠NBF＝45°，
∴NF=BN=1−12a，
∴F点的坐标为(1−12a，12a)，
同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），
∴AF2=(1−1+12a)2+(12a)2=12a2，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，
∴AF2⋅BE2=12a2⋅2a2=1，即AF•BE＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P坐标，来确定E、F两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春•靖江市期末）如图是反比例函数y=kx的图象，则k的值可能是 1（答案不唯一） （写出一个可能的值即可）．
【答案】1（答案不唯一）．
【分析】反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象在第一象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是2．（正数即可，答案不唯一）
【解答】解：∵反比例函数的图象在一象限，
∴k＞0，
又∵反比例函数y=kx的图象经过点A（2，1）时，k＝2×1＝2．
∴0＜k＜2．
∴k的值可以是1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
12．（2023秋•常德期中）已知三个点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，则用“＜”将y1，y2，y3连接起来为 y3＜y1＜y2 ．
【答案】y3＜y1＜y2．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=−6x中，k＝﹣6＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴（x1，y1），（x2，y2）两点在第二象限，点（x3，y3）在第四象限，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（2023秋•罗湖区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（1，4），C（﹣1，n），分别在三个不同象限，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过其中两点，则n＝ ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【分析】利用已知条件，根据反比例函数图象特点，分析出图象经过的两个点是B点和C点，将坐标代入求出反比例函数解析式，最终求得n的值．
【解答】解：由已知条件，A、B、C三点的坐标知：A点在第二象限，B点在第一象限，C点在第二或第三象限．
又已知三点分别在三个不同象限知：C点只能在第三象限．
由反比例函数图象的特性知：图象经过的两个点是B点和C点．
将B（1，4）代入得k1=4，即k＝4，
∴该反比例函数解析式为：y=4x，
将C（﹣1，n）代入解析式：n=4−1，即n＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，明确图象经过的两个点是B点和C点是解题的关键．
14．（2022秋•天河区校级期末）如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另一个交点坐标是 （﹣2，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：由图象可知：直线y＝k1x经过原点与双曲线y=k2x相交于两点，
又由于双曲线y=k2x与直线y＝mx均关于原点对称．
则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（2，﹣1），
则另一个交点的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
15．（2023秋•高新区校级期中）如图，已知点A，点C在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为 1：5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】过C作CE⊥x轴于E，依据AB⊥x轴于点B，即可得出S△AOD＝S四边形BDCE，设△BDO的面积为S，即可得到△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，进而得到四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S，即△AOD的面积为15S，即可得出△BDC与△ADO的面积比．
【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝S△COE，
∴S△AOD＝S四边形BDCE，
设△BDO的面积为S，
∵CD＝3OD，
∴△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，
∵BD∥CE，
∴BE＝3OB，
∴△BCE的面积为12S，
∴四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S，
即△AOD的面积为15S，
∴△BDC与△ADO的面积比为3：15＝1：5，
故答案为：1：5．
【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
16．（2023秋•崇明区期中）如图，已知正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．当点D的纵坐标为9时，则△AEP的面积是 163 ．
【答案】163．
【分析】先求出正比例函数的表达式为y＝1.5x，反比例函数的表达式为y=6x，再求出点D（6，9），点A（23，9），点E（23，1），则AE＝8，过点P作PH⊥AB于H，则PH=43，进而由三角形的面积公式可求出△AEP的面积．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=k2x的图象都经过点P（2，3），
∴3＝2k1，k2＝2×3，
解得：k1＝1.5，k2＝6，
∴正比例函数的表达式为y＝1.5x，反比例函数的表达式为y=6x，
∵点D为正比例函数为y＝1.5x图象上一点，且纵坐标为9，
∴9＝1.5x，
解得：x＝6，
即点D（6，9），
∵DQ⊥y轴交反比例函数图象于点A，
∴点A的纵坐标为9，
∴9=6x，
解得x=23，
即点A（23，9），
∵AB⊥x轴交正比例函数y＝1.5x的图象于点E，
∴点E的横坐标为23，
∴y＝1.5×23，
解得y＝1，
∴点E（23，1），
∴AE＝9﹣1＝8，
过点P作PH⊥AB于H，如图所示：

∵点P（2，3），则PH＝2−23=43，
∴S△AEP=12AE•PH=12×8×43=163．
故答案为：163．
【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，准确地用点的坐标表示出相关线段是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023秋•汉寿县期中）已知反比例函数y=k−2x的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小．
【答案】（1）k＜2；
（2）y1＜y2．
【分析】（1）根据反比例函数的图象即可得出k﹣2＜0，即可求出答案；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=k−2x的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2；
（2）∵反比例函数y=k−2x的图象位于第二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣1＜0，
∴y1＜y2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键．
18．（2023秋•包河区期中）已知反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若a＞0，此函数的图象过第一象限的两点（a+5，y1）（2a+1，y2），且y1＜y2，求a的取值范围．
【答案】（1）k＞4；
（2）0＜a＜4．
【分析】（1）根据反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限可得：k﹣4＞0，解此不等式可得k的取值范围；
（2）根据反比例函数的性质得a+5＞2a+1，解此不等式求出a的取值范围，再结合a＞0即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限，
∴k﹣4＞0，
解得：k＞4．
∴k的取值范围是：k＞4．
（2）∵反比例函数图象过第一象限的两点（a+5，y1）（2a+1，y2），且y1＜y2，
∴a+5＞2a+1，
解得：a＜4，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是：0＜a＜4．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
19．（2023秋•兴宾区期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△DOC的面积；
【答案】（1）为 y=4x；（2）7.5．
【分析】（1）把C（1，4）代入y=kx求出k＝4，把（4，m）代入y=4x求出m即可；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得出解析式，求出a＝﹣1，b＝5，得出一次函数的解析式，把y＝0代入y＝﹣x+5求出x＝5，得出OA＝5，根据△OCD的面积S＝S△COA﹣S△DOA代入求出即可．
【解答】解：（1）把C（1，4）代入y=kx，得k＝4，
反比例函数的表达式为：y=4x；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得a+b=44a+b=1，
解得a＝﹣1，b＝5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝0代入y＝﹣x+5，得x＝5，
∴OA＝5，
∴S△DOC＝S△COA﹣S△DOA=12×5×4−12×5×1＝7.5．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式，求三角形的面积等知识点的应用，用了数形结合思想．
20．（2023秋•崇明区期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=6x(x＞0)的图象经过点B（a，3），点D为x轴正半轴上一点，过点D作CD⊥x轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且CD＝6．
（1）求a、k的值；
（2）联结AB，求△ABC的面积；
（3）P为射线OC上一点，若△PAC的面积为9，求点P的坐标．
【答案】（1）a＝2，k＝1.5；
（2）4.5；
（3）（8，12）．
【分析】（1）将B（a，3）代入y=6x可求出a的值，进而得点B（2，3），再将点B代入y＝kx可求出k的值；
（2）过点B作BH⊥CD于H，先求出C（4，6），点A（4，1.5），进而得AC＝4.5，BH＝2，然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；
（3）过点P作PM⊥DC交DC的延长线于M，如图2所示由（2）可知AC＝4.5，根据△PAC的面积为9求出PM＝4，进而得点P的横坐标为8，再将y＝8代入正比例函数求出x即可得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=6x（x＞0）的图象经过点B（a，3），
∴3a＝6，
解得：a＝2，
∴点B（2，3），
又∵正比例函数y＝kx的图象经过点B，
∴3＝2k，
解得：k＝1.5，
∴a＝2，k＝1.5；
（2）过点B作BH⊥CD于H，如图1所示：

由（1）可知：正比例函数的表达式为：y＝1.5x，
∵点C在正比例函数y＝1.5x的图象上，且CD⊥x轴，CD＝6，
∴点C的纵坐标为6，
对于y＝1.5x，当y＝6时，得6＝1.5x，
解得：x＝4，
∴点C的坐标为（4，6），
∴OD＝4，点A的横坐标为4，
∵点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，
∴对于y=6x，当x＝4时，y＝1.5，
∴点A的坐标为（4，1.5），
∴AD＝1.5，
∴AC＝CD﹣AD＝6﹣1.5＝4.5，BH＝4﹣2＝2，
∴S△ABC=12AC•BH=12×4.5×2＝4.5；
（3）过点P作PM⊥DC交DC的延长线于M，如图2所示：
由（2）可知：AC＝4.5，
∵△PAC的面积为9，
∴12AC•PM＝9，
即12×4.5×PM＝9，
解得：PM＝4，
∴OD+PM＝4+4＝8，
∴点P的横坐标为8，
∵点P为射线OC上一点，
∴对于y＝1.5x，当x＝8时，y＝12，
∴点P的坐标为（8，12）．
【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，准确地用点的坐标表示出相关线段是解决问题的关键．
21．（2022秋•阜平县期末）已知函数y＝﹣x+4的图象与函数y=kx的图象在同一平面直角坐标系内，函数y＝﹣x+4的图象与坐标轴交于A，B两点，点M（2，m）是直线AB上一点，点N与点M关于y轴对称，线段MN交y轴于点C．
（1）m＝ 2 ，S△AOB＝ 8 ．
（2）如果线段MN被反比例函数y=kx的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，求k的值．
【答案】（1）2，4；
（2）k的值为﹣2或2．
【分析】（1）利用点在函数图象上的特点求出m，以及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法（利用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的边作为底）．
（2）线段MN被反比例函数y=kx的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，分两种情况DNDM=13或DNDM=31计算即可．
【解答】解：（1）∵M（2，m）在直线y＝﹣x+4的图象上，
∴m＝﹣2+4＝2，
∴M（2，2），
∵点N与点M关于y轴对称，
∴N（﹣2，2），
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴OA＝OB＝4，
∴S△BOA=12OA•OB=12×4×4＝8．
故答案为：2，8；
（2）∵M（2，2），N（﹣2，2），
∴MN＝4，
∵线段MN被反比例函数y=kx的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，
①当DNDM=13时，即：DNMN=14，
∴ND＝1，
∴D（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
②当DNDM=3时，即：DMMN=14，
∴DM=14MN=14×4＝1，
∴D（1，2），
∴k＝1×2＝2．
故k的值为﹣2或2．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合应用，主要考查了点在函数图象上的特点，如求出m，坐标系中计算三角形面积的方法，利用坐标求两点之间的距离，如计算ND，MD，本题的关键是确定两点的距离，并注意运用分类讨论的思想．
22．（2023•长沙县三模）已知m＜n，我们不妨约定：当自变量x满足：m≤x≤n时，函数值y恰好满足：2m≤y≤2n，此时我们就说该函数是“星联函数”，“2n﹣2m”的值叫做该“星联函数”的“星联距离”，根据约定，解答下列问题：
（1）当1≤x≤2时，试判断下列函数哪些是“星联函数”？是“星联函数”的在括号内划“√”，不是“星联函数”的在括号内划“×”；
①y=4x √ ；
②y＝﹣2x × ；
③y＝﹣3x2+1 × ．
（2）若当m≤x≤n时，一次函数y＝nx+m（n≠0）是“星联函数”，试求出该一次函数的解析式，并求出该函数的“星联距离”；
（3）当m≤x≤n时，“星联函数”解析式为y=−x2+72，求该函数的“星联距离”．
【答案】（1）①√，②×，③×；（2）y＝2x，4；（3）22、32或11+624．
【分析】（1）根据“星联函数”的定义判断即可；
（2）根据一次函数的性质，讨论n分别为正负时y的最大值和最小值；
（3）讨论x在不同的取值区间，y的最大值和最小值．
【解答】解：（1）①∵1≤x≤2，
∴1≥1x≥12，
∴4≥4x≥2，
∴y=4x是“星联函数”．
故答案为：√．
②∵1≤x≤2，
∴﹣2≥﹣2x≥﹣4，
∴y＝﹣2x不是“星联函数”．
故答案为：×．
③∵1≤x≤2，
∴﹣2≥y≥﹣11，
∴y＝﹣3x2+1不是“星联函数”．
（2）①若n＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y＝2m；当x＝n时，y＝2n，得mn+m=2mn2+m=2n，即m(n−1)=0n2−2n+m=0．
解得：m＝0，n＝2；n＝1，m＝1（根据题意，舍去）．
∴该一次函数的解析式为y＝2x，星联距离为2n﹣2m＝2（n﹣m）＝4．
②若n＜0，y随x的增大而减小，
∴当x＝m时，y＝2n；当x＝n时，y＝2m，得mn+m=2nn2+m=2m，即mn+m−2n=0n2=m．
解得：n＝0，m＝0（根据题意，舍去）；n＝1，m＝1（根据题意，舍去）；n＝﹣2，m＝4（根据题意，舍去）．
综上，该一次函数的解析式为y＝2x，星联距离为2n﹣2m＝2（n﹣m）＝4．
（3）①若m≤x≤n≤0，y随x的增大而增大，得−m2+72=2m−n2+72=2n，即2m2+4m−7=02n2+4n−7=0．
解得：m＝﹣1+322，n＝﹣1+322（根据题意，舍去）；m＝﹣1+322，n＝﹣1−322（根据题意，舍去）；m＝﹣1−322，n＝﹣1+322；m＝﹣1−322，n＝﹣1−322（根据题意，舍去）．
∴星联距离为2n﹣2m＝2（n﹣m）＝2×[（﹣1+322）﹣（﹣1−322）]＝32．
②若m≤x＜0＜n．
当|m|≥|n|时，得−m2+72=2m2n=72，即2m2+4m−7=02n=72．
解得：m＝﹣1+322，n=74（根据题意，舍去）；m＝﹣1−322，n=74．
∴星联距离为2n﹣2m＝2（n﹣m）=11+624．
当|m|＜|n|时，得−n2+72=2m2n=72，即2n2+4m−7=02n=72．
解得：m=732，n=74（舍去）．
若0≤m≤x≤n，得−m2+72=2n−n2+72=2m，即2m2+4n−7=02n2+4m−7=0．
解得：m＝n＝﹣1±322（根据题意，舍去）；m＝1−22，n＝1+22；m＝1+22，n＝1−22（根据题意，舍去）．
∴星联距离为2n﹣2m＝2（n﹣m）＝2×[（1+22）﹣（1−22）]＝22．
综上，该函数的“星联距离”为22、32或11+624．
【点评】本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质及待定系数法求函数的解析式和一元一次不等式的解法，考查的内容比较多，综合性较强，分情况讨论较多，解题过程非常复杂，计算很容易出错，一定要认真、细心．
23．（2023秋•金水区校级期中）【问题】我们知道，反比例函数y=6x的图象是双曲线，那么函数y=6x−1的图象是怎样的？其图象与函数y=6x的图象有关系吗？
【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象．
（1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整．
①列表、取值（这里自变量x的取值范围是 x≠1 ）．
表格中m＝ −65 ，n＝ 65 ．
②描点连线．
（2）认真观察图表，联想函数y=6x的图象和性质，解答下列问题：
①函数y=6x−1的图象是由函数y=6x的图象向 右 平移 1 个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（ 1 ， 0 ）；
②写出函数y=6x−1的增减性性质： 当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小 ；
【应用】在上面的坐标系中画出函数y＝x的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式6x−1≥x的解集： x≤﹣2或1＜x≤3 ．
【答案】【探索】：（1）①x≠1，−65，65；②见解答；、
（2）右，1，1，0；当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小；
【应用】：x≤﹣2或1＜x≤3．
【分析】【探索】（1）①把x＝﹣4和x＝6分别代入y=6x−1即可求得m、n的值；
②连线即可；
（2）①联想函数y=6x的图象的图象和性质，观察图象的关系即可；
②观察图象即可
【应用】根据图象即可求得．
【解答】解：【探索】：（1）①由分母不为0可知，自变量x的取值范围是x≠1，
把x＝﹣4代入y=6x−1得，y=−65；把x＝6代入y=6x−1得，y=65，
∴m=−65，n=65；
故答案为：x≠1，−65，65；
②如图：
；
（2）①函数y=6x−1的图象是由函数y=6x的图象向右平移1个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（1，0）；
②函数y=6x−1的增减性性质：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小；
故答案为：右，1，1，0；当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小；
【应用】：不等式6x−1≥x的解集是x≤﹣2或1＜x≤3．
故答案为：x≤﹣2或1＜x≤3．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
6
7
…
y
…
﹣1
m
﹣1.5
﹣2
﹣3
﹣6
6
3
2
1.5
n
1
…