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2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之圆与圆的位置关系
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之圆与圆的位置关系，共21页。
A．128°B．129°C．130°D．131°
2．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2＝8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内含D．内切
3．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
6．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD与BD的大小关系（ ）
A．AD＞BDB．AD＝BDC．AD＜BDD．无法判断
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
8．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离
9．如图，⊙A与⊙B外切于点P，它们的半径分别为6和2，直线CD与它们都相切，切点分别为C，D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16B．166πC．16D．16π
二．填空题（共4小题）
10．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11cm，⊙A的半径为1cm，⊙B的半径为2cm，⊙A以每秒2cm的速度从A点运动到B点，当点A出发后 秒两圆相切．
11．已知⊙O1与⊙O2两圆外切，O1O2＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r为 ．
12．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是 ．
13．圆的对称轴是经过圆心的一条 线．
三．解答题（共2小题）
14．简答：在人教版九年级上册第二十四章，学习了点和圆、直线和圆的位置关系，在以后的学习还将学习圆和圆的位置关系，请类比点和圆、直线和圆的学习思路（路径），并猜想圆和圆的位置关系共有几种？画一画，用你的方式进行命名．
15．如图所示，两个圆周只有一个公共点A，大圆直径AB为48厘米，小圆直径AC为30厘米，甲、乙两虫同时从A点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题π取3）
（1）问乙虫第一次爬回到A点时，需要多少秒？
（2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到A点时甲虫恰好爬到B点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之圆与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，PA、PB分别为⊙O1、⊙O2的切线，切点为A、B，连接AB交⊙O1、⊙O2于C、D．若∠AO1C＝60°，∠BO2D＝40°，则∠P的度数为（ ）
A．128°B．129°C．130°D．131°
【考点】相交两圆的性质；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由切线的性质得到∠PAO1＝∠PBO2＝90°，由等腰三角形的性质求出∠CAO1＝60°，∠DBO2＝70°，得到∠PAC、∠PBA的度数，由三角形内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB分别为⊙O1、⊙O2的切线，切点为A、B，
∴半径AO1⊥PA，半径BO2⊥AB，
∴∠PAO1＝∠PBO2＝90°，
∵AO1＝CO1，
∴∠CAO1＝∠ACO1，
∵∠AO1C＝60°，
∴∠CAO1（180°﹣60°）＝60°，
∴∠PAC＝∠PAO1﹣∠CAO1＝30°，
∵DO2＝BO2，
∴∠BDO2＝∠DBO2，
∵∠BO2D＝40°，
∴∠DBO2（180°﹣40°）＝70°，
∴∠PBD＝∠PBO2﹣∠DBO2＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PAC﹣∠PBA＝180°﹣30°﹣20°＝130°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由切线的性质得到∠PAO1＝∠PBO2＝90°，由等腰三角形的性质求出∠PAC、∠PBD的度数．
2．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2＝8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内含D．内切
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出7s后，两圆的圆心距为1cm，结合两圆的半径差即可得到答案．
【解答】解：∵⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2＝8cm．⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．
∴7s后，两圆的圆心距为8﹣7＝1cm，
∵两圆的半径差为3﹣2＝1cm，
∴此时两圆内切，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d＝R+r，则两圆外切，d＝R﹣r，则两圆外切，是关键．
3．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
【考点】圆与圆的位置关系；矩形的性质；点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据两圆外切求出A的半径，连接AC，根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB＝4，⊙B半径为1，⊙A与⊙B外切，
∴⊙A的半径为4﹣1＝3，
∵AD＝2＜3，
∴点D在圆内；
连接AC，
∵BC＝AD＝2，
∴AC23，
∴点C在圆外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】圆与圆的位置关系；勾股定理；点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC3，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．
5．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
【考点】相交两圆的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，
∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，
∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，
∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为28π（米），
故选：C．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
6．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD与BD的大小关系（ ）
A．AD＞BDB．AD＝BDC．AD＜BDD．无法判断
【考点】相交两圆的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OD，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ADO＝90°，然后根据垂径定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OD，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ADO＝90°，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD．
故选：B．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
【考点】相交两圆的性质；点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】B
【分析】连接AD交⊙A于E，根据勾股定理求出AD，求出DE和DB，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出r的范围即可．
【解答】解：连接AD交⊙A于E，如图1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD5，
则DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝7﹣3＝4，
∴要使⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，必须2＜r＜4，
即只有选项B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
8．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离
【考点】相交两圆的性质；圆的认识；相切两圆的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；应用意识．
【答案】D
【分析】根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系．
【解答】解：根据题意作图如下：
∴圆A与圆C外切，圆A与圆C外离，圆B与圆C相交，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图象是解题的关键．
9．如图，⊙A与⊙B外切于点P，它们的半径分别为6和2，直线CD与它们都相切，切点分别为C，D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16B．166πC．16D．16π
【考点】相切两圆的性质；扇形面积的计算；勾股定理．
【专题】几何直观．
【答案】D
【分析】要求阴影部分的面积，就要明确阴影部分的面积＝梯形ABDC的面积﹣扇形ACP的面积﹣扇形BPD的面积，然后根据面积公式分别计算即可．
【解答】解：连接AC，BD，AB，过点B作BE⊥AC，
所以BE4，
∵AB＝PA+PB＝8，
∴sin∠A，
∴∠A＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴∠ABD＝120°，
梯形ABDC的面积是：（6+2）•416；
扇形ACP的面积为；
扇形BPD的面积为；
则图中阴影部分的面积＝梯形ABDC的面积﹣扇形ACP的面积﹣扇形BPD的面积＝16π．
故选：D．
【点评】本题涉及的知识点比较多．要掌握的是：切线的性质，圆与圆的位置关系，扇形的面积公式以及直角三角形的性质．
二．填空题（共4小题）
10．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11cm，⊙A的半径为1cm，⊙B的半径为2cm，⊙A以每秒2cm的速度从A点运动到B点，当点A出发后 4或5 秒两圆相切．
【考点】圆与圆的位置关系；切线的判定．
【专题】分类讨论；与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】4或5．
【分析】根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有2种情况．
【解答】解：设当点A出发后t秒两圆相切，则AB＝（11﹣2t）．cm，
分两种情况考虑：
①当首次外切时，有11﹣2t＝1+2，解得：t＝4；
②当首次内切时，有11﹣2t＝2﹣1，解得：t＝5；
∴当点A出发后4秒或5秒两圆相切．
.故答案为：4或5．
【点评】本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有2种情况．
11．已知⊙O1与⊙O2两圆外切，O1O2＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r为 2 ．
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】2．
【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果．
【解答】解：∵⊙O1与⊙O2两圆外切，∴5＝3+r，∴r＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键．
12．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是 2＜d＜8 ．
【考点】圆与圆的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两圆相交，则圆心距大于两圆半径之差，而小于两圆半径之和．
【解答】解：∵两圆相交，两圆的半径分别为3和5，
∴5﹣3＜d＜5+3，即：2＜d＜8．
【点评】做此题需熟悉两圆的位置关系与数量关系之间的联系．
13．圆的对称轴是经过圆心的一条 直 线．
【考点】相交两圆的性质；轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆的性质和轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：圆的对称轴是经过圆心的一条直线，
故答案为：直．
【点评】本题考查了圆的性质和轴对称的性质，熟练掌握圆的性质和轴对称的性质是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．简答：在人教版九年级上册第二十四章，学习了点和圆、直线和圆的位置关系，在以后的学习还将学习圆和圆的位置关系，请类比点和圆、直线和圆的学习思路（路径），并猜想圆和圆的位置关系共有几种？画一画，用你的方式进行命名．
【考点】圆与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；空间观念．
【答案】答案见解析．
【分析】一个圆静止，一个圆运动，发现圆与圆有五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
【解答】解：如图：圆与圆有五种位置关系：
．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是画出图形．
15．如图所示，两个圆周只有一个公共点A，大圆直径AB为48厘米，小圆直径AC为30厘米，甲、乙两虫同时从A点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题π取3）
（1）问乙虫第一次爬回到A点时，需要多少秒？
（2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到A点时甲虫恰好爬到B点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由．
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用小圆的周长除以它的速度得到乙虫第一次爬回到A点所需时间；
（2）先计算出甲虫从A点恰好爬到B点的长度为72cm，再确定90与72的最小公倍数是360，然后用360除以90得到乙虫至少爬的圈数．
【解答】解：（1）C小圆＝πd小圆＝3×30＝90（cm），
90÷0.5＝180（秒）
答：乙虫第一次爬回到A点时，需要180秒；
（2）能．
C大半圆•π•483×48＝72（cm），
90与72的最小公倍数是360，360÷90＝4（圈）
答：此时乙虫至少爬了4圈．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，也考查了圆的周长公式．
考点卡片
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
4．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
5．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
6．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
7．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
8．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
9．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
10．相切两圆的性质
相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．
这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．
11．相交两圆的性质
（1）相交两圆的性质：
相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．
注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
（2）两圆的公切线性质：
两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．
两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．
12．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
13．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
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A．128°B．129°C．130°D．131°
2．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2＝8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内含D．内切
3．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
6．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD与BD的大小关系（ ）
A．AD＞BDB．AD＝BDC．AD＜BDD．无法判断
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
8．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离
9．如图，⊙A与⊙B外切于点P，它们的半径分别为6和2，直线CD与它们都相切，切点分别为C，D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16B．166πC．16D．16π
二．填空题（共4小题）
10．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11cm，⊙A的半径为1cm，⊙B的半径为2cm，⊙A以每秒2cm的速度从A点运动到B点，当点A出发后 秒两圆相切．
11．已知⊙O1与⊙O2两圆外切，O1O2＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r为 ．
12．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是 ．
13．圆的对称轴是经过圆心的一条 线．
三．解答题（共2小题）
14．简答：在人教版九年级上册第二十四章，学习了点和圆、直线和圆的位置关系，在以后的学习还将学习圆和圆的位置关系，请类比点和圆、直线和圆的学习思路（路径），并猜想圆和圆的位置关系共有几种？画一画，用你的方式进行命名．
15．如图所示，两个圆周只有一个公共点A，大圆直径AB为48厘米，小圆直径AC为30厘米，甲、乙两虫同时从A点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题π取3）
（1）问乙虫第一次爬回到A点时，需要多少秒？
（2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到A点时甲虫恰好爬到B点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版九年级期中必刷常考题之圆与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，PA、PB分别为⊙O1、⊙O2的切线，切点为A、B，连接AB交⊙O1、⊙O2于C、D．若∠AO1C＝60°，∠BO2D＝40°，则∠P的度数为（ ）
A．128°B．129°C．130°D．131°
【考点】相交两圆的性质；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由切线的性质得到∠PAO1＝∠PBO2＝90°，由等腰三角形的性质求出∠CAO1＝60°，∠DBO2＝70°，得到∠PAC、∠PBA的度数，由三角形内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB分别为⊙O1、⊙O2的切线，切点为A、B，
∴半径AO1⊥PA，半径BO2⊥AB，
∴∠PAO1＝∠PBO2＝90°，
∵AO1＝CO1，
∴∠CAO1＝∠ACO1，
∵∠AO1C＝60°，
∴∠CAO1（180°﹣60°）＝60°，
∴∠PAC＝∠PAO1﹣∠CAO1＝30°，
∵DO2＝BO2，
∴∠BDO2＝∠DBO2，
∵∠BO2D＝40°，
∴∠DBO2（180°﹣40°）＝70°，
∴∠PBD＝∠PBO2﹣∠DBO2＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PAC﹣∠PBA＝180°﹣30°﹣20°＝130°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由切线的性质得到∠PAO1＝∠PBO2＝90°，由等腰三角形的性质求出∠PAC、∠PBD的度数．
2．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2＝8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内含D．内切
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出7s后，两圆的圆心距为1cm，结合两圆的半径差即可得到答案．
【解答】解：∵⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2＝8cm．⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．
∴7s后，两圆的圆心距为8﹣7＝1cm，
∵两圆的半径差为3﹣2＝1cm，
∴此时两圆内切，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d＝R+r，则两圆外切，d＝R﹣r，则两圆外切，是关键．
3．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
【考点】圆与圆的位置关系；矩形的性质；点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据两圆外切求出A的半径，连接AC，根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB＝4，⊙B半径为1，⊙A与⊙B外切，
∴⊙A的半径为4﹣1＝3，
∵AD＝2＜3，
∴点D在圆内；
连接AC，
∵BC＝AD＝2，
∴AC23，
∴点C在圆外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】圆与圆的位置关系；勾股定理；点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC3，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．
5．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
【考点】相交两圆的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，
∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，
∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，
∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为28π（米），
故选：C．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
6．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，则AD与BD的大小关系（ ）
A．AD＞BDB．AD＝BDC．AD＜BDD．无法判断
【考点】相交两圆的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OD，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ADO＝90°，然后根据垂径定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OD，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ADO＝90°，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD．
故选：B．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
【考点】相交两圆的性质；点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】B
【分析】连接AD交⊙A于E，根据勾股定理求出AD，求出DE和DB，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出r的范围即可．
【解答】解：连接AD交⊙A于E，如图1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD5，
则DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝7﹣3＝4，
∴要使⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，必须2＜r＜4，
即只有选项B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
8．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离
【考点】相交两圆的性质；圆的认识；相切两圆的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；应用意识．
【答案】D
【分析】根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系．
【解答】解：根据题意作图如下：
∴圆A与圆C外切，圆A与圆C外离，圆B与圆C相交，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图象是解题的关键．
9．如图，⊙A与⊙B外切于点P，它们的半径分别为6和2，直线CD与它们都相切，切点分别为C，D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16B．166πC．16D．16π
【考点】相切两圆的性质；扇形面积的计算；勾股定理．
【专题】几何直观．
【答案】D
【分析】要求阴影部分的面积，就要明确阴影部分的面积＝梯形ABDC的面积﹣扇形ACP的面积﹣扇形BPD的面积，然后根据面积公式分别计算即可．
【解答】解：连接AC，BD，AB，过点B作BE⊥AC，
所以BE4，
∵AB＝PA+PB＝8，
∴sin∠A，
∴∠A＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴∠ABD＝120°，
梯形ABDC的面积是：（6+2）•416；
扇形ACP的面积为；
扇形BPD的面积为；
则图中阴影部分的面积＝梯形ABDC的面积﹣扇形ACP的面积﹣扇形BPD的面积＝16π．
故选：D．
【点评】本题涉及的知识点比较多．要掌握的是：切线的性质，圆与圆的位置关系，扇形的面积公式以及直角三角形的性质．
二．填空题（共4小题）
10．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11cm，⊙A的半径为1cm，⊙B的半径为2cm，⊙A以每秒2cm的速度从A点运动到B点，当点A出发后 4或5 秒两圆相切．
【考点】圆与圆的位置关系；切线的判定．
【专题】分类讨论；与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】4或5．
【分析】根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有2种情况．
【解答】解：设当点A出发后t秒两圆相切，则AB＝（11﹣2t）．cm，
分两种情况考虑：
①当首次外切时，有11﹣2t＝1+2，解得：t＝4；
②当首次内切时，有11﹣2t＝2﹣1，解得：t＝5；
∴当点A出发后4秒或5秒两圆相切．
.故答案为：4或5．
【点评】本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有2种情况．
11．已知⊙O1与⊙O2两圆外切，O1O2＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r为 2 ．
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】2．
【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果．
【解答】解：∵⊙O1与⊙O2两圆外切，∴5＝3+r，∴r＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键．
12．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是 2＜d＜8 ．
【考点】圆与圆的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两圆相交，则圆心距大于两圆半径之差，而小于两圆半径之和．
【解答】解：∵两圆相交，两圆的半径分别为3和5，
∴5﹣3＜d＜5+3，即：2＜d＜8．
【点评】做此题需熟悉两圆的位置关系与数量关系之间的联系．
13．圆的对称轴是经过圆心的一条 直 线．
【考点】相交两圆的性质；轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆的性质和轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：圆的对称轴是经过圆心的一条直线，
故答案为：直．
【点评】本题考查了圆的性质和轴对称的性质，熟练掌握圆的性质和轴对称的性质是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．简答：在人教版九年级上册第二十四章，学习了点和圆、直线和圆的位置关系，在以后的学习还将学习圆和圆的位置关系，请类比点和圆、直线和圆的学习思路（路径），并猜想圆和圆的位置关系共有几种？画一画，用你的方式进行命名．
【考点】圆与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；空间观念．
【答案】答案见解析．
【分析】一个圆静止，一个圆运动，发现圆与圆有五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
【解答】解：如图：圆与圆有五种位置关系：
．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是画出图形．
15．如图所示，两个圆周只有一个公共点A，大圆直径AB为48厘米，小圆直径AC为30厘米，甲、乙两虫同时从A点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题π取3）
（1）问乙虫第一次爬回到A点时，需要多少秒？
（2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到A点时甲虫恰好爬到B点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由．
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用小圆的周长除以它的速度得到乙虫第一次爬回到A点所需时间；
（2）先计算出甲虫从A点恰好爬到B点的长度为72cm，再确定90与72的最小公倍数是360，然后用360除以90得到乙虫至少爬的圈数．
【解答】解：（1）C小圆＝πd小圆＝3×30＝90（cm），
90÷0.5＝180（秒）
答：乙虫第一次爬回到A点时，需要180秒；
（2）能．
C大半圆•π•483×48＝72（cm），
90与72的最小公倍数是360，360÷90＝4（圈）
答：此时乙虫至少爬了4圈．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，也考查了圆的周长公式．
考点卡片
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
4．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
5．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
6．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
7．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
8．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
9．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
10．相切两圆的性质
相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．
这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．
11．相交两圆的性质
（1）相交两圆的性质：
相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．
注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
（2）两圆的公切线性质：
两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．
两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．
12．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
13．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
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