期末重难点真题特训之易错必刷题型（浙教版九下）（55题11个考点）-2023-2024学年九年级数学下册重难点高分突破（浙教版）

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易错必刷题一、锐角三角函数
1．（2023上·广西梧州·九年级校考阶段练习）在中，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）在中，是的中线，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校联考期中）在中，，，点D是边上一点，，，则 ．
4．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在等腰中，，，点D为的中点，于点E，则的值为 ．
5．（2023上·安徽亳州·九年级校联考期末）如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求的值．
易错必刷题二、锐角三角函数的计算
1．（2023上·天津·九年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·福建莆田·九年级校考阶段练习）在中，若角，满足，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）在中，，都是锐角，且，则是 三角形．
4．（2023上·山东淄博·九年级校考阶段练习）已知为锐角，，则 ．
5（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
易错必刷题三、解直角三角形
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则k的值为（）
A．B．C．D．
3．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）如图，在菱形中，，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，四点分别在边上，点在对角线上．若，则的长为 ．
4．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点是的中点，过点作于点．若，则 ．
5．（2023上·陕西咸阳·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，、相交于点O，且，过点A作，过点C作于点E，延长交于点H，交于点F，且，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，，求的长．
易错必刷题四、解直角三角形的应用
1、（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）学校摄影兴趣小组在上摄影课，小王发现摄影三脚架如图1所示，该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图2，过点A向地面作垂线，垂足为C．若三脚架的一个脚的长为2米，，则相机距地面的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
3．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行硏制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向．则的度数为 ；B、C两地的距离是 ．（结果保留根号）
4．（2023上·浙江温州·九年级温州绣山中学校考阶段练习）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，定点与刻度尺下边沿的端点重合，与刻度尺下边沿重合，与刻度尺上边沿的交点在刻度尺上的读数恰为．若将射线绕点O顺时针旋转与尺子的上沿交于点C，则点C在刻度尺上的读数约为 （结果精确到，参考数据：，，）．

5．（2023上·四川成都·九年级校考期中）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔的大致高度，当他步行至点处，测得此时塔顶的仰角为，再步行20米至点处，测得此时塔顶的仰角为（如图2所示，点在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔的高．（，，，，，，结果保留整数）

易错必刷题五、直线与圆的位置关系
1．（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图所示，是的切线，A、B为切点，，点C是上不同于A、B的任意一点，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）如图，已知分别与相切于点，为优弧上一点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2013上·江苏南通·九年级统考期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
4．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点E在中线上，以E为圆心的圆E分别与、相切，则的半径是 ．

5．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，是的外接圆，为直径，，，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)求证：是⊙O的切线．
(3)若，求．
易错必刷题六、切线长定理
1．（2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，的圆心在梯形的底边上，且与梯形的其他三边均相切，若，，则梯形的周长为（ ）
A．8B．10C．14D．18
2．（2023上·山东聊城·九年级校联考阶段练习）如图，中，，内切于点，，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，以为直径作半圆O，以点D为圆心、为半径作圆弧交半圆O于点P．连接并延长交于点E，则的值为 ．

4．（2022上·广东东莞·九年级东莞中学南城学校校考期末）如图：、是的两条切线，、是切点，、是上两点，如果，，则的度数是 度．
5．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知P为圆O外一点，，为的切线，切点为A、B，是直径，
(1)说明；
(2)若，，求长．
易错必刷题七、三角形的内切圆
1．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）在下列命题中，正确的是（ ）
A．任何三角形有且只有一个内切圆
B．三点确定一个圆
C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积之和为 ．

4．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，内切于，切点为，已知，则的度数= ；
5．（2023上·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图，为的直径，点都在上，且平分，交于点．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的半径；
(3)于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
易错必刷题八、投影
1．（2023上·陕西汉中·九年级校联考阶段练习）下列投影，属于平行投影的是（ ）
A．晚上路灯下小孩的影子B．阳光下沙滩上人的影子
C．汽车灯光照射下行人的影子D．皮影戏中的影子
2．（2023上·浙江温州·九年级温州绣山中学校考阶段练习）兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（ ）米．
A．8B．12C．D．
3．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，数学兴趣小组下午测得一根长为的竹竿影长是，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高，地面上的影长为．请你帮算一下，树高是 ．
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）中午12点，身高的小冰的影长为，同学小明此时在同一地点的影长为，那么小明的身高为 ．
5．（2023上·江西九江·九年级校考阶段练习）如图，身高的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度．具体做法如下：先从路灯底部向东走25步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，然后继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．
(1)根据题意画图，找出路灯的位置．
(2)通过计算估计路灯的高．
易错必刷题九、简单几何体的三视图
1．（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A．B．
C． D．
2．（2023下·河南新乡·九年级校联考开学考试）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，下列说法正确的是（ ）

A．主视图和俯视图一样B．主视图和左视图一样
C．左视图和俯视图一样D．主视图，左视图，俯视图都不一样
3．（2021上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．

4．（2023上·七年级单元测试）老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有 种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）

5．（2023上·广东茂名·七年级校联考阶段练习）画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形．
(1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形；
(2)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，请画出添加正方体后，从上面看这个新组合体时看到的一种图形．
易错必刷题十、由三视图描述几何体
1．（2023上·全国·九年级专题练习）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多由a个小正方体组成，最少由b个小正方体组成，则等于（ ）
A．10B．11C．12
2．（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）某社区的志愿者收到一批防疫物资，这批防疫物资用同样的正方体箱子包装，摆放的位置从上面和正面看到的都是如图所示，这批防疫物资最多有（ ）箱．

A．6B．7C．8D．9
3．（2023上·安徽宿州·九年级校考阶段练习）一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成.这个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的搭法共有 种（三视图中没有空白部分）.
4．（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可求得它的体积是 ．
5．（2023上·河南郑州·七年级校考期中）如图，是由大小相同的小立方块搭成的几何体，小立方块棱长均为1．
(1)请在方格中分别画出从上面、左面看到该几何体的形状图；
(2)用小立方块搭一几何体，使得从上面、左面看到该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则这样的几何体最少要______个小立方块，最多要______个小立方块．
易错必刷题十一、简单几何体的表面展开图
1．（2023上·河北石家庄·九年级校联考期中）如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是．
（1）这个扇形的弧长是 ；
（2）若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．
4．（2023·全国·九年级专题练习）现有一个圆周的扇形纸片，该扇形的半径为，小琪同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角度数为 ．
5．（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）