2023—2024学年下学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之位似

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A．6B．9C．12D．27
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC，则线段DF的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为（ ）
A．4：7B．4：3C．3：4D．16：9
4．已知关于原点位似的两个图形上，一组对应点的坐标分别为（1，﹣2）和（﹣2，x），则x＝（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
5．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（ ）
A．B．（﹣6，4）C．D．（﹣4，6）
二．填空题（共5小题）
6．△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，△OAB顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣1），（﹣1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为 ．
8．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC和△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为 ．
9．如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 ．
10．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；
12．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，0），B（3，1），C（2，3）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似三角形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点C2的坐标．
13．如图，△ABC在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似且相似比为3：1；
（2）点A1的坐标为 ，点C1的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2位似，且相似比为1：3．
15．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（2，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，并且点A2的坐标为（4，﹣6）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2的相似比是 ．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之位似
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OA：AD＝1：2，△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．27
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】B
【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．OA：AD＝1：2，
∴△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∴△DEF的周长为3×3＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC，则线段DF的长度为（ ）
A．B．C．D．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意求出相似比，计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，A（﹣2，0），D（3，0），
∴△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴，
∵AC＝2，
∴DF＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出相似比是解题的关键．
3．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为（ ）
A．4：7B．4：3C．3：4D．16：9
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出AB：DE＝4：3，再根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∵△ABC与△DEF的周长之比是4：3，
∴AB：DE＝4：3，
∵AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴AO：DO＝AB：DE＝4：3，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
4．已知关于原点位似的两个图形上，一组对应点的坐标分别为（1，﹣2）和（﹣2，x），则x＝（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵两个图形关于原点位似，一组对应点的坐标分别为（1，﹣2）和（﹣2，x），
∴，
解得：x＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（ ）
A．B．（﹣6，4）C．D．（﹣4，6）
【考点】位似变换；坐标确定位置．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据位似变换的性质计算，将Q点的横、纵坐标乘以2，即可求解．
【解答】解：∵①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为（﹣2，3）
∴点P的坐标为（﹣2×2，3×2），即（﹣4，6），
故选：D．
【点评】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上），熟记性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为 （3，4）或（﹣3，﹣4） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，相似比是2：1，点C（6，8），
∴点C的对应点F的坐标为（6，8）或（6×（），8×（）），即（3，4）或（﹣3，﹣4），
故答案为：（3，4）或（﹣3，﹣4）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．如图，在平面直角坐标系中，△OAB顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣1），（﹣1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为 （6，3） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（6，3）．
【分析】根据题意求出△OCD与△OAB的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（﹣1.5，0），点D的坐标为（4.5，0），
∴△OCD与△OAB的相似比为3：1，
∵点A的坐标为（﹣2，﹣1），
∴点C的坐标为（﹣2×（﹣3），﹣1×（﹣3）），即（6，3），
故答案为：（6，3）．
【点评】本题考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键．
8．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC和△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为 （﹣1，0） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（﹣1，0）．
【分析】利用待定系数法求出直线AD的解析式，根据位似中心的概念解答即可．
【解答】解：设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∵点A的坐标为（1，2），点D的坐标为（3，4），
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由位似图形的概念可知：△ABC与△DEF的位似中心是直线AD与直线BE的交点，
∵直线y＝x+1与x轴的交点是（﹣1，0），
∴位似中心的坐标为（﹣1，0）．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、待定系数法求一次函数解析式，掌握位似中心的概念是解题的关键．
9．如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 （，2）或（，﹣2） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（，2）或（，﹣2）．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6），
∴点A'的坐标是（2，6）或（2×（），6×（）），即（，2）或（，﹣2）．
故答案为：（，2）或（，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
10．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是 4：9 ．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】4：9．
【分析】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为2：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）△A1B1C1见解答，（3，2）；
（2）△A2B2C2见解答，（﹣6，4）．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据位似图形的概念作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图知，C1点的坐标为（3，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，C2点坐标为（﹣6，4）．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换与位似变换，解题的关键是掌握轴对称变换与位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，0），B（3，1），C（2，3）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似三角形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点C2的坐标．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）画图见解答；B1（3，﹣1）．
（2）画图见解答；C2（﹣4，﹣6）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据位似的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点B1的坐标为（3，﹣1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点C2的坐标为（﹣4，﹣6）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解答本题的关键．
13．如图，△ABC在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似且相似比为3：1；
（2）点A1的坐标为 （3，0） ，点C1的坐标为 （﹣3，﹣3） ．
【考点】作图﹣位似变换；点的坐标．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）（3，0），（﹣3，﹣3）．
【分析】（1）在网格中作出A1、C1，连接A1C1、BC1、BA1即可得到△A1B1C1；
（2）根据点的位置写出A1、A1、C1的坐标即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所作；
（2）点A1的坐标为（3，0），点C1的坐标为（﹣3，﹣3），
故答案为：（3，0），（﹣3，﹣3）．
【点评】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2位似，且相似比为1：3．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）作图见解析过程．
【分析】（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
（2）由（1）及位似的性质进行作图即可．
【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图2所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（2，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，并且点A2的坐标为（4，﹣6）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2的相似比是 1：2 ．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）1：2．
【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形即可；
（2）利用点A和A2的坐标特征得到位似比，再把B、C的横纵坐标都乘以2得到B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2，C1B1＝3，C2B2＝6
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比1：2，
故答案为：1：2．
【点评】此题主要考查了作图﹣位似变换以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
考点卡片
1．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
2．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
5．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
6．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:57:55；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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