3.1 函数的概念及其表示（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
函数的三要素
1.定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
2.值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3.解析式
三．函数的表示法
常用方法有解析法、图象法和列表法
四．相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
五．分段函数
1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
函数概念的理解
(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
二．常见函数定义域的类型
1.分式型： eq \f(1,f（x）) 要满足f(x)≠0（分式中分母不为零）
2.根式型：开偶次方根时，被开方数大于等于0即 eq \r(2n,f（x）) (n∈N*)要满足f(x)≥0；
3.幂函数型：[f(x)]0要满足f(x)≠0；
4.对数型：lgaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0；
5.正切型：tan [f(x)]要满足f(x)≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z．
注意事项：①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
二．抽象函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围）
1.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出；
2.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
三．函数解析式的求法
1.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
2.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
3.换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
4.解方程组：已知关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
四．值域
1.分离常数法：分子分母同类型函数（形如y= ）或分子分母最高次是二次关系（形如） (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.
① →分离常数→反比例函数模型
② →分离常数→模型
③ →同时除以分子：→②的模型
④ →分离常数→③的模型
共同点：让分式的分子变为常数
2.配方法：形如型,用此种方法,注意自变量x的范围
3.不等式法
4.单调性法：若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.
5.换元法
① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围.
② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可.
= 3 \* GB3 ③形如型,可用此法求其值域.
6.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.
7.导数法．利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
五．分段函数
1.求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．
2.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
3.求参数或自变量的值：先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
考法一 函数的概念
【例1-1】（2023广东湛江）下列变量之间是函数关系的是（ ）
A．某十字路口通过汽车的数量与时间的关系
B．家庭的食品支出与电视机价格之间的关系
C．高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系
D．某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系
【答案】C
【解析】对于A，某十字路口通过汽车的数量与时间没有确定的关系，与其它自然因素也有关系，不是函数关系，故A错误；
对于B，家庭的食品支出与电视机价格之间没有确定的关系，故B错误；
对于C，高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量，故C正确；
对于D，同学期中考试的数学成绩与物理成绩没有必然的关系，故D错误.
故选：C
【例1-2】（2023安徽）下列各图中，不可能是函数图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于C，当时，任意对应两个，显然C错误.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·上海）下列等量关系中，y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A：当时，不符合函数的定义，故错误；
B：当时，不符合函数的定义，故错误；
C：显然任意都有唯一y值与之对应，满足函数的定义，故正确；
D：当时，不符合函数的定义，故错误．
故选：C
2．（2022北京）（多选）下列图象中，能表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于选项ABC，当取一个值时，有唯一值与之对应，符合函数定义，故ABC正确；
D选项，当取一个值时，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故D错误.
故选：ABC
3．（2023·广东深圳）（多选）下列是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.
考法二 函数的定义域
【例2-1】（1）（2023·河北）函数的定义域是（ ）
B．C．D．
（2）（2023·上海）函数的定义域是__．
【答案】（1）D（2）
【解析】（1）要使函数有意义，则，解得，∴函数的定义域是故选：D.
（2）由，得，解得且，所以函数的定义域为.
故答案为：.
【例2-2】（1）（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
B．C．D．
（2）（2023·江西）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）函数的定义域是，由，解得，
所以函数的定义域是.故选：B
（2）函数的定义域为，所，则，
所以的定义域为．则函数的定义域，需满足，解得，即函数的定义域为．故选：A.
【例2-3】（1）（2023·北京·）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．
（2）（2022秋·海南）若函数的定义域为，则的范围是__________.
（3）（2023·河南）当时，函数和有意义，则实数的取值范围是___________.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）由，可知，解得，故答案为：.
（2）由已知可得，不等式在上恒成立.
当时，不等式可化为在上恒成立，满足；
当时，要使不等式在上恒成立，
应有，解得.
综上所述，的范围是.
故答案为：.
（3）由题意知，当时，不等式组成立.
对于，整理得，令，则，
当时，单调递增;时，单调递减，所以，则，解得；
对于，整理得，由于在上的最小值为2，所以，解得.综上可得.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2023·河北）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，在中，，解得：或，
∴函数的定义域为，故选：B.
2．（2022秋·四川）已知定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为定义域为，所以函数的定义域为，
所以，的定义域为需满足，解得.所以，的定义域为.
故选：A
3．（2023·陕西）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，解得，所以的定义域为.
令，则，所以的定义域为.故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.因此，函数的定义域为.
故选：A.
5．（2023·河北）函数的定义域为，则实数的值为______．
【答案】
【解析】的定义域满足：，解集为，
故且，解得.故答案为：
6.（2023·吉林）若函数的定义域为，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，即恒成立，
当时，符合题意；
当时，有，解得.
综上可得的取值范围是.
故答案为：.
7．（2023·黑龙江）“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.
i.时，对任意恒成立；
ii. 时，只需，解得：；所以.记集合,.
因为A B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.故选：B.
考法三 函数的解析式
【例3】（2023·广东潮州）（1）已知是一次函数，且满足，求 _____．
（2）已知，则
（3）已知函数在定义域上单调，且时均有，则=
（4）已知函数的定义域为，且，则
（5）已知，则__________.
【答案】（1）（2）（3）（4）（5），
【解析】（1）因为是一次函数，设，
因为，所以，
整理可得，所以，可得，所以，故答案为：.
（2）令，则，；所以.故选：D.
（3）根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，
则为常数，设，则，
则有，解可得，则
（4）令为，则，与联立可解得，．
（5）
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以故答案为：，
【一隅三反】
1．（2023云南）定义在上的函数单调递增，且对，有，则____.
【答案】
【解析】根据题意，对，有
又是定义在R上的单调增函数R上存在常数a使得
，，解得
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x－)＝x2＋，则f（x+）＝________.
【答案】
【解析】因为f(x－)＝x2＋，所以，
所以f（x+），故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）设若，则_________.
【答案】
【解析】令，
，，
4．（2023新疆）已知，则=_____.
【答案】或
【解析】，
或．故答案为：或．
5．（2023·北京）求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.
【答案】(1)，(2)，
(3)(4)
【解析】(1)设，，则
∵∴ ， 即，
(2)∵由勾型函数的性质可得，其值域为
所以
(3)由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①∴将x用替换，得，②由①②解得f(x)=3x.
考法四 函数的值域
【例4】（1）（2023·上海）函数的值域为__________
（2）（2023·云南）函数的值域为____________
（3）（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
（4）（2023北京）函数的值域为
（5）（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____
（6）（2023·全国·高三专题练习）函数y＝3－4的最小值为
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）－8
【解析】（1）为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
的值域为.故答案为：.
（2）设,则,所以原函数可化为:,
由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.
所以值域为:.故答案为:.
（3），
，，，即的值域为.
故答案为：.
（4）设题中函数为，则，当时，；
当时，视其为关于x的二次方程，判别式，
综上，故值域为．
（5）表示点与点连线的斜率，
的轨迹为圆，
表示圆上的点与点连线的斜率，
由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.故答案为：.
（6）由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2，2].
因为，故可设，
则，
（其中有）.
因为，所以.
所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×＝－8.
【一隅三反】
（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.
【解析】（1）分式函数，
定义域为，故，所有，故值域为；
（2）函数中，分母，则，故值域为；
（3）函数中，令得，易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，故值域为；
（4）， 故值域为且；
（5），而，，
，，即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，
则，
故，，，
由y的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，
故，所有，故值域为；
（10）函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
考法五 判断两个函数是否相等
【例5】（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；
故选：C
【一隅三反】
1．（2023·上海）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
2．（2023·江西）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】对于A，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故A错误；
对于B，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故B错误；
对于C，由函数的定义域为，且的定义域为，则是同一函数，故C正确；
对于D，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故D错误.
故选：C.
3．（2023·内蒙古）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【解析】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数和的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以是同一函数.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
【答案】C
【解析】由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.故选：
考法六 分段函数
【例6-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
【答案】A
【解析】由分段函数知：当时，周期，
所以，
所以．
故选：A
【例6-2】（2023·北京）已知函数，则的最小值是（ ）
A．2B．1C．－2D．－1
【答案】D
【解析】当时，，，有最小值1；
当时，， ，有最小值-1；
所以的最小值是-1.
故选：D
【例6-3】（2023春·宁夏）已知函数若，则实数的值为______.
【答案】或
【解析】当时，，显然满足；
当时，，或，而，
所以，
故答案为：或
【一隅三反】
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】当时，，当时，，所以.
故选：A.
2．（2023·安徽·校联考三模）函数的值域是______．
【答案】
【解析】当时，满足；
当时，由，
所以函数的值域为．
故答案为：．
3．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
【答案】A
【解析】若，则，∴（舍去），
若，则，∴，
综上可得，或.
故选：A．
4．（2023·陕西·统考二模）已知函数，则的解集为________．
【答案】
【解析】因为当时，，当时，，
所以等价于，此时，即，解得，
所以的解集为,
故答案为：