3.2 函数的性质（精练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得或，则函数的定义域为，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调增区间为，
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在上的单调递增，所以要满足：，解得： 故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因函数是R上的增函数，则，解得，
所以a的取值范围是：.故选：B
4．（2023·上海·高三专题练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；
B. 则为奇函数，故错误；
C. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；
D. 定义域为R，且，则既不是奇函数，也不是偶函数，故正确；
故选：D
5．（2023·上海·高三专题练习）函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.故选：B
6．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 在为增函数，
则，解得；
在为减函数，则，即或，
因为“”能推出“或”，反之不成立，
所以命题q是命题p的必要不充分条件，故选：B．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为，，∴为奇函数，
又因为，由复合函数单调性知为的增函数，
∵，则，∴，
， ∴，解得或，故故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得．
因为在，上单调递增，在上单调递减，
所以方程的两个根分别位于区间和上，
所以，即解得.故选：A．
9．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知，若为奇函数，则实数（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由为奇函数，定义域为R，得出过点，即，即，解得.
则，，设，
因为，
所以是奇函数，即是奇函数. 故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，
故当时，，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得.故选：B.
11．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，函数的大致图像如下图：
因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
则当或时，；当时，，
不等式化为或，
所以或或，
解得或或，即或，
即原不等式的解集为；故选：C.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，所以的周期为6，
又为奇函数，所以，所以，
令，得，所以,所以，故选：C.
13．（2023·全国·高三专题练习）（多选）函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】根据题意，当，都有成立时，函数 在定义域内为单调减函数.
所以解得 ，反之也成立
即是时，都有成立的充要条件
所以其必要不充分条件对应的a的取值范围包含区间，故选项CD正确.故选：CD.
14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】因为函数为偶函数，则，即，B正确；
又函数是奇函数，则，因此，即有，
于是，即函数的周期为4，有，C正确；
因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确；
当时，，所以，D错误．故选：ABC
15．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足：为偶函数；当时，．写出的一个单调递增区间为______．
【答案】（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】因为为偶函数，则，
所以函数关于直线对称，
结合题意可得函数的图象，如图所示：
可得函数的单调递增区间为：.
故答案为：.
16．（2022秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）已知函数，则的单调增区间为____________
【答案】（开闭都对）
【解析】因为函数，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知，函数的单调递增区间为；
故答案为：（开闭都对）
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的单调递增区间为__．
【答案】，
【解析】由，得，由，得，
所以当时，，则在上递增，
当时，，
则，
由，得，解得，
所以在上递增，
综上得函数的单调递增区间为，．
故答案为：．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）【答案】
【解析】依题意.所以的取值范围是.故答案为：
19．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是______．
【答案】，
【解析】去绝对值，得函数
当 时，函数 的单调递减区间为
当 时，函数的单调递减区间为
综上，函数 的单调递减区间为，故答案为：，
20．（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】已知在上是严格减函数，
由，函数在上是严格减函数，所以函数在定义域内是严格增函数，则有，
又函数在上最小值，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
21．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．
【答案】
【解析】由函数性质知， ，∴，
即，解得，∴，故答案为：.
22．（2023·上海长宁·统考二模）若函数为奇函数，则实数a的值为___________．
【答案】1
【解析】因为函数的定义域为，解得：，
所以由函数为奇函数，
则，由，解得：.故答案为：.
23．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________.
【答案】
【解析】当时，，所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以当时，，所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，综上，不等式的解集为.故答案为：.
24．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且当时，，不等式的解集为___________.
【答案】或
【解析】当时，，由得
或或，解得或故答案为：或
25．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称，则关于x的不等式的解集为______________.
【答案】
【解析】设函数，因为的图像关于点对称，所以的图像关于原点对称，故为定义在上的奇函数，
因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数，
由，得，
即，即，
则解得，即不等式的解集为.故答案为: .
26．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】当时，，，
则在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，则在上单调递减，
若，即，
可得，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
27．（2023·浙江·高三专题练习）定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为.得出对称中心，且得出对称轴为轴，且周期为4的函数都可以.故答案为：
28．（2023·上海·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则________.
【答案】
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则，
因为，即，
所以，函数为周期函数，且周期为，则，
在等式中，令，可得，所以，，
因为，则，
因为，所以，
.故答案为：.
1．（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）函数的递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【答案】B
【解析】当时，，，解得：，又为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在区间单调递减，
当时，， 为开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，综上所述：函数的递减区间是和.故选：B.
2．（2023·浙江·高三专题练习）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，
所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意.故选.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得．
因为的定义域为R，，所以为奇函数，
因此．又，所以．
当时，单调递增，而为奇函数，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，解得，故的取值范围为．故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（ ）.
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】为偶函数，为奇函数，且①
②
①②两式联立可得，.
由得，
∵在是增函数，且，在上是单调递增，
∴由复合函数的单调性可知在为增函数，
∴，
∴，即实数的最大值为
故选：D.
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，
即为偶函数.
方法二：因为，，
则，所以为偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数.
故选：B
6．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
【答案】D
【解析】∵，∴关于对称，
∵为奇函数，∴由平移可得关于对称，且，
，即

上两式比较可得
∴函数是以4为周期的周期函数.，，
∴， ∴.故选：D.
7．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以的对称轴为，则有，
又当时，得，
而和均在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，
又，
，即，
所以，即.故选：A
8．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数，且 ，则（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【解析】 是增函数，又 ，
，
即 是的中心对称点， ，
条件 ，即 ，并且， ；
对于A，若 ，则 ，错误；
对于B，因为函数 是增函数， ，正确；
对于C，若 ，则 ，错误；
对于D，若 ，则有 ，错误；故选：B.
9．（2023·陕西商洛·统考二模）已知定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为2B．为偶函数
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，由，得，
所以，即的周期为，A选项错误；
由可知的图象关于点对称，所以，C选项正确，
由知的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，
进一步可知图象的对称轴方程为（为奇数），所以不是偶函数，B选项错误；
的对称中心为点（为偶数），无法得到，D选项错误，
故选：C.
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以关于点对称，所以；
又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期为4.
当时，，所以，
所以时，.
当时，，所以.
作出函数在上的图象如下图
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以.
根据图象可得时，的解集为.
又因为的周期为4，
所以在实数集上的解集为.
令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；
令，可得区间为，故B项错误；
令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；
令，可得区间为，故D项正确.
故选：D.
11．（2023·四川攀枝花·统考三模）定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（ ）
A．B．C．2D．0
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以关于对称，即①.
又因为为奇函数，所以，即②.
由①②知，所以，
即，所以函数的周期为，所以，
,
因为时，，所以，
又为奇函数，所以当时，，所以，故选：B.
12．（2023·上海·高三专题练习）已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．8
【答案】A
【解析】若函数为偶函数，则，即，可得，
整理得，故，解得，∴.
若正实数a、b满足，即，可得，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为.故选：A.
13．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得，，
而函数是偶函数，所以有，
所以，
所以的周期为4，
则，
．
当时，，
因为在上均为增函数，
所以在上为增函数，又，
所以，
即，
故选：C
14．（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数为上的偶函数，且在上单调递增，故函数在上为减函数，
因为，，
又因为，所以，，
所以，，即.
故选：A.
15．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知是定义在上的偶函数，若、时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，，
令，则，所以，函数在上为增函数，
对任意的，，
所以，函数为上的偶函数，且，
由可得，即，
即，所以，，即，
构造函数，其中，则，
故函数为上的增函数，且，，
由可得，故.
故选：B.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，若，且，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【解析】因为将函数的图像向左平移1个单位后关于轴对称，
所以函数关于对称，即，即；
又因为，所以，
即，所以，
因为，所以，即，
所以由，得，
即，所以函数的周期为2，
则，
由，得.
故选：B.
17．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；
对于B，取，满足及，
因为，所以的图象不关于点对称，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
18．（2023·广东·高三专题练习）（多选）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期函数B．有对称轴
C．有对称中心D．在上单调递增
【答案】ACD
【解析】因为，
所以，
所以函数为周期函数，A正确；
因为
所以，
所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，
所以为函数的中心对称，C正确；
当时，，
因为，
所以，所以函数在上单调递增，D正确；
由可得，
当时，由，可得，
函数在上单调递增，
当，由，可得，
函数在上单调递增，
又，，
作出函数在的大致图象可得：
结合函数是一个周期为的函数可得函数没有对称轴，B错误.
故选：ACD.
19．（2023·江苏·统考三模）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，，，且当时，，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因，则关于对称，又因，则关于对称，所以的周期为4，
A：因，所以，
当时，，所以，∴，故A错．
B：当时，∴在上单调递减， ，，
因，所以，即，
所以，故B正确.
C：关于对称且关于对称，所以关于对称，即为奇函数，为偶函数，故C正确.
D：因在上单调递减，关于对称，所以在上单调递减，因的周期为4，所以在上单调递减，所以，D错误.
故选：BC.
20．（2023·河北邯郸·统考二模）（多选）已知是定义在上的函数，，且满足为奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ）
A．B．的周期为2
C．的图象关于点中心对称D．
【答案】ACD
【解析】因为为奇函数，
所以，
所以，
所以，A正确；
因为当时，，
所以，
因为，
所以，故，
所以2不是的周期，
故B错误；
因为为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以的图象关于点中心对称，C正确；
由，，
可得，
所以，
所以函数为周期函数，周期为，
所以，
又当时，，
所以，D正确；
故选：ACD.
21．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）（多选）设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的一个周期为8
D．函数为奇函数
【答案】AC
【解析】因，两边求导可得.的图象关于直线对称，则.
A选项，由可得，
由可得，
则，
即函数的图象关于点对称，故A正确；
B选项，若函数的图象关于直线对称，则.
又，
，则.
即是常函数，但不一定是常函数，故B错误；
C选项，由可得.
由可得，又，
则，则函数的一个周期为8，故C正确；
D选项，若函数为奇函数，则.
由可得.又，
则，得的一个周期为4，但题目条件不足以说明的周期情况，故D错误.
故选：AC
22．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由知，
,
∵函数在上是减函数，
，又，
∴，即在上恒成立，
而，，
．
故答案为：．
23．（2023·上海·高三专题练习）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
【答案】
【解析】函数（）是偶函数，
，
，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为．
故答案为：．
24．（2023·河北·校联考二模）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】由为偶函数知：，又，
所以，即，故为周期为4的偶函数，
所以，
由可化为，
令，则，故在R上递减，又即，
所以，可得解集为.
故答案为：
25．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减
所以在上为增函数，
由，得，
，当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.