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2.2 基本不等式（精练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）
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这是一份2.2 基本不等式（精练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考），文件包含22基本不等式精练原卷版docx、22基本不等式精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由等比数列中，设公比为，且， 由得，故 ，
由得，
，当且仅当，即时等号成立，故最小值为，故选：B
2．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】由题意可知，则，
当且仅当，时，的最小值为，故选:A．
3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【解析】，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.
4．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．7D．9
【答案】C
【解析】方法一：因为，故，解得，
故,当且仅当 ，即，时等号成立.
方法二：因为，则，且，故，
故，当且仅当 ，
即，时等号成立.
故选：C.
5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【解析】当与为负数时，显然不成立，选项A不正确；
因为x不一定为正数，当为负数时，显然不成立，选项B不正确；
令，所以的最小值为3，当且仅当时，取到最小值，选项C不正确；
，因为，所以，当且仅当时，取到最小值，选项D正确．
故选：D．
6．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为正实数，且，
所以，当且仅当时取等号，
则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，
故选：．
7．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6.
故选：B.
8．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为点在直线上，所以，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
因为关于的不等式恒成立，所以，解得，所以.故选：A
9．（2023春·海南海口·高三校联考阶段练习）设、，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为、，，，则，即，
由题意可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
10．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【答案】3
【解析】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
11．（2023·江苏盐城）实数x，y满足，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】由
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________．
【答案】
【解析】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为_______________．
【答案】
【解析】因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
14．（2022·安徽）已知，的最小值为____________.
【答案】
【解析】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：
15．（2022春·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数的最小值为___．
【答案】
【解析】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
16．（2023春·重庆）已知，，，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】由已知，，，则，
而，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.故答案为： .
17．（2023春·湖南）若，且，则的最大值为________.
【答案】
【解析】由，且可得，
则，
当且仅当，结合，即时取等号，
即的最大值为，
故答案为：
18．（2023春·重庆九龙坡）已知，且，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，解得：，
则
当且仅当，时，“=”成立
故答案为：.
19．（2023秋·天津河北·高三统考期末）已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由得：，又，，
（当且仅当时取等号），
，解得：（舍）或，
当时，取得最小值.
故答案为：.
20．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
【答案】
【解析】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
21．（2023春·福建福州）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】，，
，当且仅当，即时等号成立，
，解得.
故答案为：.
22．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
23．（2022·上海·统考二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.
【答案】不存在
【解析】由已知可得，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.
故答案为：不存在.
24．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量，若，则的最小值为___________.
【答案】9
【解析】依题意，由正态分布知识可得，
，
当且仅当且即时等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：9.
25．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知，，且，则的最大值为____．
【答案】
【解析】由，，得，
即
又，
当且仅当，即时，取等，
故，
解得或（舍）
故，即的最大值为，
故答案为：.
25．（2023·吉林延边·统考二模）设，，若，则取最小值时a的值为______．
【答案】/0.75
【解析】由，，得，
由，得，
∴，
当且仅当即，时等号成立.
故当，时取得最小值16.
故答案为：.
26．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.
【答案】1000
【解析】由题意得，销售收入为万元，
当产量不足50万件时，利润；
当产量不小于50万件时，利润.
所以利润
因为当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，，当且仅当时取等号.
又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元.
故答案为：1000
27．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由，得，
令，则在上单调递增，所以，即，
又因为是正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
28．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）当时，的最小值为_________.
【答案】0
【解析】
，
当且仅当，时，，
所以的最小值为0.
故答案为：0.
29．（2022·甘肃张掖·高三期末（理））在等差数列中，且，则的最大值等于
【答案】4
【解析】因为在等差数列中，所以，即，
又，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为4.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】，，，
，即，
由，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
1．（2022·浙江绍兴）已知，，且，则下列取值有可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于:已知，,所以,
当且仅当时, ,故正确;
对于:已知，,所以,
不成立,故错误;
对于:已知，，且，所以
当且仅当时取等号
所以,即得,所以不成立,故错误;
对于:因为,所以,
所以,不成立,故错误;
故选: .
2．（2023春·江苏南京）在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．16C．48D．60
【答案】C
【解析】,
,，又B，D，C三点共线，
,
,当且仅当即当时取最小值.
故选:C.
3．（2023春·浙江宁波）（多选）已知正数、，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为.B．的最大值为.
C．的最小值为.D．的最小值为.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为1，故A正确；
对于B，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
4．（2023·福建泉州）（多选）下列结论中，正确的结论有（ ）
A．如果，，且，那么的最小值为4
B．如果，那么取得最大值为
C．函数的最小值为2
D．如果，，，那么的最小值为6
【答案】AD
【解析】对于选项A，如果，，且，
那么，
当且仅当且，即时取等号，故选项A正确；
对于选项B， 如果，那么，
则，
即，当且仅当，即时取等号，
因为，所以不能取得最小值，故选项B错误；
对于选项C，函数，
当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C错误；
对于选项D，如果，，，
则
整理得，
所以或（舍去），
当且仅当时取得最小值，故选项D正确.
故选：AD
5．（2023春·湖北宜昌）（多选）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，，且，，解得，故A正确；
对于B，，即，，故B错误；
对于C，，且，，
当且仅当时等号成立，，故C正确；
对于D，，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
，，故D错误.
故选：AC.
6．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为
B．若实数a，b满足，且，则的最小值是3
C．若实数a，b满足，且，则的最大值是4
D．若实数a，b满足，且，则的最小值是1
【答案】BD
【解析】对A，，函数，
当且仅当，即时取等号，即函数的最大值为，A错；
对B，，且，则，
当且仅当，即，时取等号，则的最小值是3，B对；
对C，，且，∴，即，解得，当且仅当时取等号，C错；
对D，，且，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，D对.
故选：BD
7．（2022秋·福建龙岩·高三校考阶段练习）（多选）下列结论不正确的是（ ）
A．当时,
B．当时, 的最小值是
C．当时, 的最小值是
D．设,,且,则的最小值是
【答案】BC
【解析】由题知,关于选项A,当时, ,,
当且仅当时取等号,故选项A正确;
关于选项B,当时,, 当且仅当时取等号,
但此时无解,等号取不到,因此最小值不是,故选项B错误;
关于选项C,因为,不妨取,此时的值为负数,故选项C错误;
关于选项D,因为,,,则,
则
当且仅当,即时取等号,故最小值为,故选项D正确.故选:BC.
8.（2023春·安徽阜阳）（多选）已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为2D．的最大值为1
【答案】BC
【解析】因为，，，所以，故，当且仅当时，取得等号，所以的最大值为1，故A正确；
当，时，，故B错误；
因为，所以，当且仅当时，取得等号，即有最大值为2，故C错误；
因为，当且仅当时，取得等号，所以有最大值为1，故D正确：
故选：BC．
9．（2023湖南）已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2B．的最大值是1
C．的最小值是4D．的最大值是2
【答案】AB
【解析】因为正数满足，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2，故A正确；
因为正数满足，所以，当且仅当时，等号成立，等号成立，
所以的最大值是1，故B正确；
由，得，当且仅当时，等号成立，等号成立，
所以的最小值是,故C错误；
，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是，故D错误；故选：AB.
10．（2023·全国·校联考模拟预测）（多选）设，且，则（ ）
A．B．
C．的最小值为0D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
则在上单调递增，
且，故B错误；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
11．（2023·江苏·统考一模）（多选）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故选：AC.
12．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）（多选）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
13．（2023秋·甘肃天水）（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】BCD
【解析】由 ，且，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为不等式恒成立，所以，
结合选项，可得选项B、C、D符合题意.
故选：BCD.
14．（2023·辽宁辽阳·统考一模）（多选）在矩形ABCD中，以AB为母线长，2为半径作圆锥M，以AD为母线长，8为半径作圆锥N，若圆锥M与圆锥N的侧面积之和等于矩形ABCD的面积，则（ ）
A．矩形ABCD的周长的最小值为
B．矩形ABCD的面积的最小值为
C．当矩形ABCD的面积取得最小值时，
D．当矩形ABCD的周长取得最小值时，
【答案】AC
【解析】设，，则圆锥M的侧面积为，圆锥N的侧面积为，
则，则，
则，得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以矩形ABCD的面积的最小值为，此时，所以B错误，C正确.
矩形ABCD的周长为，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以矩形ABCD的周长的最小值为，此时，所以A正确，D错误.
故选：AC
15（2023·河北·校联考二模）（多选）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
16．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）（多选）已知，且，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】由题设，
由，则，且，
所以，则，故，A错误；
由，故，B正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以等号取不到，则，而，但不一定有，
故不一定成立，C错误；
由，其中等号成立条件为，即时等号成立，
所以等号取不到，则，D正确.
故选：BD
17．（2023·重庆九龙坡·统考二模）（多选）若a，b，c都是正数，且则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】设，
则，，
，，
，，
所以，
，因为，所以，则等号不成立，
所以，则，
因为，所以，
故选：BCD
18．（2023·安徽宣城·统考二模）（多选）已知，则实数满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】因为，所以，，
，，
易知，所以，A正确；
，C错；
显然，，
，B错；
，D正确．
故选：AD．
19．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）（多选）若，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】因为，，且，
所以，，
对于A：，
当且仅当时等号成立，
所以， A正确；
对于B：，
因为，所以，
所以，即，B错误；
对于C：，
当且仅当时等号成立，又，所以等号不成立，C正确；
对于D：令，，满足条件，，且，
但是，D错误.
故选：AC.
20．（2023·山东聊城·统考一模）（多选）设，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由可得，解得，
所以，，B错；
对于C选项，由可得，则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对；
对于D选项，，
因为，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.
故选：ACD.
21．（2023·山西·校联考模拟预测）（多选）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．
故选：ABC.
22．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）（多选）设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】AC
【解析】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．
故选：AC.
23．（2023·天津·校考模拟预测）已知正数满足，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】根据题意，由可得，
即
所以；
又因为均是正数，令，则
所以，
令，
则
当且仅当，即时，等号成立；
所以
所以的最小值为;
即当时，即时，等号成立.
故答案为：
24．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数满足，，则的最小值为__________.
【答案】2025
【解析】，
因为，所以，，
，故，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
即的最小值为2025.
故答案为：2025.
25．（2023·广东深圳·统考二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
【答案】
【解析】若选择线路，设，其中，，，
则，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，
直线的方程为，设点，其中，
，，
所以，
，
令，则，
所以，
，
当且仅当时，即当，即当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
此时，，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.
故答案为：；.
26．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为______．
【答案】/
【解析】，
当且仅当，即时取“＝”，
此时，∵，，
∴，∴，∴，
∴原式，此时，，．
故答案为：
27．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ______
【答案】
【解析】因为∀，
∴sinx＞0，csx＞0，
∴不等式sin2x﹣tsin2xt恒成立⇔t恒成立，
∵＝
（当且仅当，即tanx＝时取等号），
∴t．
故答案为：．
28．（2023·上海黄浦·统考二模）已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为____________．
【答案】
【解析】由題意得，
由得,得,所以,
令，
，
当时，，此时在和上单调递增，
当时，此时在单调递减，
所以的极大值为，的极小值为，
又因为，
则的取值范围为.
故答案为：.
29．（2023·江西·统考模拟预测）毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，为锐角三角形，面积为，以的三边为边长的正方形中心分别为，则的最小值为___________.
【答案】/
【解析】由题意知，，
又，即，得，
由余弦定理，得，
在中，，
由余弦定理可得
，
又，所以，则.
同理，
故.
因为，当且仅当时等号成立，
故.
故答案为：.
30．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】16
【解析】由函数，
设，则的定义域为，
，
则，所以是奇函数，
则，
又因为正实数满足，
所以，
，
当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由等比数列中，设公比为，且， 由得，故 ，
由得，
，当且仅当，即时等号成立，故最小值为，故选：B
2．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】由题意可知，则，
当且仅当，时，的最小值为，故选:A．
3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【解析】，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.
4．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．7D．9
【答案】C
【解析】方法一：因为，故，解得，
故,当且仅当 ，即，时等号成立.
方法二：因为，则，且，故，
故，当且仅当 ，
即，时等号成立.
故选：C.
5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【解析】当与为负数时，显然不成立，选项A不正确；
因为x不一定为正数，当为负数时，显然不成立，选项B不正确；
令，所以的最小值为3，当且仅当时，取到最小值，选项C不正确；
，因为，所以，当且仅当时，取到最小值，选项D正确．
故选：D．
6．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为正实数，且，
所以，当且仅当时取等号，
则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，
故选：．
7．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6.
故选：B.
8．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为点在直线上，所以，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
因为关于的不等式恒成立，所以，解得，所以.故选：A
9．（2023春·海南海口·高三校联考阶段练习）设、，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为、，，，则，即，
由题意可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
10．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【答案】3
【解析】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
11．（2023·江苏盐城）实数x，y满足，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】由
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________．
【答案】
【解析】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为_______________．
【答案】
【解析】因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
14．（2022·安徽）已知，的最小值为____________.
【答案】
【解析】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：
15．（2022春·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数的最小值为___．
【答案】
【解析】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
16．（2023春·重庆）已知，，，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】由已知，，，则，
而，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.故答案为： .
17．（2023春·湖南）若，且，则的最大值为________.
【答案】
【解析】由，且可得，
则，
当且仅当，结合，即时取等号，
即的最大值为，
故答案为：
18．（2023春·重庆九龙坡）已知，且，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，解得：，
则
当且仅当，时，“=”成立
故答案为：.
19．（2023秋·天津河北·高三统考期末）已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由得：，又，，
（当且仅当时取等号），
，解得：（舍）或，
当时，取得最小值.
故答案为：.
20．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
【答案】
【解析】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
21．（2023春·福建福州）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】，，
，当且仅当，即时等号成立，
，解得.
故答案为：.
22．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
23．（2022·上海·统考二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.
【答案】不存在
【解析】由已知可得，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.
故答案为：不存在.
24．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量，若，则的最小值为___________.
【答案】9
【解析】依题意，由正态分布知识可得，
，
当且仅当且即时等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：9.
25．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知，，且，则的最大值为____．
【答案】
【解析】由，，得，
即
又，
当且仅当，即时，取等，
故，
解得或（舍）
故，即的最大值为，
故答案为：.
25．（2023·吉林延边·统考二模）设，，若，则取最小值时a的值为______．
【答案】/0.75
【解析】由，，得，
由，得，
∴，
当且仅当即，时等号成立.
故当，时取得最小值16.
故答案为：.
26．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.
【答案】1000
【解析】由题意得，销售收入为万元，
当产量不足50万件时，利润；
当产量不小于50万件时，利润.
所以利润
因为当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，，当且仅当时取等号.
又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元.
故答案为：1000
27．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由，得，
令，则在上单调递增，所以，即，
又因为是正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
28．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）当时，的最小值为_________.
【答案】0
【解析】
，
当且仅当，时，，
所以的最小值为0.
故答案为：0.
29．（2022·甘肃张掖·高三期末（理））在等差数列中，且，则的最大值等于
【答案】4
【解析】因为在等差数列中，所以，即，
又，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为4.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】，，，
，即，
由，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
1．（2022·浙江绍兴）已知，，且，则下列取值有可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于:已知，,所以,
当且仅当时, ,故正确;
对于:已知，,所以,
不成立,故错误;
对于:已知，，且，所以
当且仅当时取等号
所以,即得,所以不成立,故错误;
对于:因为,所以,
所以,不成立,故错误;
故选: .
2．（2023春·江苏南京）在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．16C．48D．60
【答案】C
【解析】,
,，又B，D，C三点共线，
,
,当且仅当即当时取最小值.
故选:C.
3．（2023春·浙江宁波）（多选）已知正数、，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为.B．的最大值为.
C．的最小值为.D．的最小值为.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为1，故A正确；
对于B，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
4．（2023·福建泉州）（多选）下列结论中，正确的结论有（ ）
A．如果，，且，那么的最小值为4
B．如果，那么取得最大值为
C．函数的最小值为2
D．如果，，，那么的最小值为6
【答案】AD
【解析】对于选项A，如果，，且，
那么，
当且仅当且，即时取等号，故选项A正确；
对于选项B， 如果，那么，
则，
即，当且仅当，即时取等号，
因为，所以不能取得最小值，故选项B错误；
对于选项C，函数，
当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C错误；
对于选项D，如果，，，
则
整理得，
所以或（舍去），
当且仅当时取得最小值，故选项D正确.
故选：AD
5．（2023春·湖北宜昌）（多选）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，，且，，解得，故A正确；
对于B，，即，，故B错误；
对于C，，且，，
当且仅当时等号成立，，故C正确；
对于D，，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
，，故D错误.
故选：AC.
6．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为
B．若实数a，b满足，且，则的最小值是3
C．若实数a，b满足，且，则的最大值是4
D．若实数a，b满足，且，则的最小值是1
【答案】BD
【解析】对A，，函数，
当且仅当，即时取等号，即函数的最大值为，A错；
对B，，且，则，
当且仅当，即，时取等号，则的最小值是3，B对；
对C，，且，∴，即，解得，当且仅当时取等号，C错；
对D，，且，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，D对.
故选：BD
7．（2022秋·福建龙岩·高三校考阶段练习）（多选）下列结论不正确的是（ ）
A．当时,
B．当时, 的最小值是
C．当时, 的最小值是
D．设,,且,则的最小值是
【答案】BC
【解析】由题知,关于选项A,当时, ,,
当且仅当时取等号,故选项A正确;
关于选项B,当时,, 当且仅当时取等号,
但此时无解,等号取不到,因此最小值不是,故选项B错误;
关于选项C,因为,不妨取,此时的值为负数,故选项C错误;
关于选项D,因为,,,则,
则
当且仅当,即时取等号,故最小值为,故选项D正确.故选:BC.
8.（2023春·安徽阜阳）（多选）已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为2D．的最大值为1
【答案】BC
【解析】因为，，，所以，故，当且仅当时，取得等号，所以的最大值为1，故A正确；
当，时，，故B错误；
因为，所以，当且仅当时，取得等号，即有最大值为2，故C错误；
因为，当且仅当时，取得等号，所以有最大值为1，故D正确：
故选：BC．
9．（2023湖南）已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2B．的最大值是1
C．的最小值是4D．的最大值是2
【答案】AB
【解析】因为正数满足，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2，故A正确；
因为正数满足，所以，当且仅当时，等号成立，等号成立，
所以的最大值是1，故B正确；
由，得，当且仅当时，等号成立，等号成立，
所以的最小值是,故C错误；
，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是，故D错误；故选：AB.
10．（2023·全国·校联考模拟预测）（多选）设，且，则（ ）
A．B．
C．的最小值为0D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
则在上单调递增，
且，故B错误；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
11．（2023·江苏·统考一模）（多选）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故选：AC.
12．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）（多选）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
13．（2023秋·甘肃天水）（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】BCD
【解析】由 ，且，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为不等式恒成立，所以，
结合选项，可得选项B、C、D符合题意.
故选：BCD.
14．（2023·辽宁辽阳·统考一模）（多选）在矩形ABCD中，以AB为母线长，2为半径作圆锥M，以AD为母线长，8为半径作圆锥N，若圆锥M与圆锥N的侧面积之和等于矩形ABCD的面积，则（ ）
A．矩形ABCD的周长的最小值为
B．矩形ABCD的面积的最小值为
C．当矩形ABCD的面积取得最小值时，
D．当矩形ABCD的周长取得最小值时，
【答案】AC
【解析】设，，则圆锥M的侧面积为，圆锥N的侧面积为，
则，则，
则，得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以矩形ABCD的面积的最小值为，此时，所以B错误，C正确.
矩形ABCD的周长为，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以矩形ABCD的周长的最小值为，此时，所以A正确，D错误.
故选：AC
15（2023·河北·校联考二模）（多选）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
16．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）（多选）已知，且，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】由题设，
由，则，且，
所以，则，故，A错误；
由，故，B正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以等号取不到，则，而，但不一定有，
故不一定成立，C错误；
由，其中等号成立条件为，即时等号成立，
所以等号取不到，则，D正确.
故选：BD
17．（2023·重庆九龙坡·统考二模）（多选）若a，b，c都是正数，且则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】设，
则，，
，，
，，
所以，
，因为，所以，则等号不成立，
所以，则，
因为，所以，
故选：BCD
18．（2023·安徽宣城·统考二模）（多选）已知，则实数满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】因为，所以，，
，，
易知，所以，A正确；
，C错；
显然，，
，B错；
，D正确．
故选：AD．
19．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）（多选）若，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】因为，，且，
所以，，
对于A：，
当且仅当时等号成立，
所以， A正确；
对于B：，
因为，所以，
所以，即，B错误；
对于C：，
当且仅当时等号成立，又，所以等号不成立，C正确；
对于D：令，，满足条件，，且，
但是，D错误.
故选：AC.
20．（2023·山东聊城·统考一模）（多选）设，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由可得，解得，
所以，，B错；
对于C选项，由可得，则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对；
对于D选项，，
因为，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.
故选：ACD.
21．（2023·山西·校联考模拟预测）（多选）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．
故选：ABC.
22．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）（多选）设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】AC
【解析】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．
故选：AC.
23．（2023·天津·校考模拟预测）已知正数满足，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】根据题意，由可得，
即
所以；
又因为均是正数，令，则
所以，
令，
则
当且仅当，即时，等号成立；
所以
所以的最小值为;
即当时，即时，等号成立.
故答案为：
24．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数满足，，则的最小值为__________.
【答案】2025
【解析】，
因为，所以，，
，故，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
即的最小值为2025.
故答案为：2025.
25．（2023·广东深圳·统考二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
【答案】
【解析】若选择线路，设，其中，，，
则，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，
直线的方程为，设点，其中，
，，
所以，
，
令，则，
所以，
，
当且仅当时，即当，即当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
此时，，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.
故答案为：；.
26．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为______．
【答案】/
【解析】，
当且仅当，即时取“＝”，
此时，∵，，
∴，∴，∴，
∴原式，此时，，．
故答案为：
27．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ______
【答案】
【解析】因为∀，
∴sinx＞0，csx＞0，
∴不等式sin2x﹣tsin2xt恒成立⇔t恒成立，
∵＝
（当且仅当，即tanx＝时取等号），
∴t．
故答案为：．
28．（2023·上海黄浦·统考二模）已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为____________．
【答案】
【解析】由題意得，
由得,得,所以,
令，
，
当时，，此时在和上单调递增，
当时，此时在单调递减，
所以的极大值为，的极小值为，
又因为，
则的取值范围为.
故答案为：.
29．（2023·江西·统考模拟预测）毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，为锐角三角形，面积为，以的三边为边长的正方形中心分别为，则的最小值为___________.
【答案】/
【解析】由题意知，，
又，即，得，
由余弦定理，得，
在中，，
由余弦定理可得
，
又，所以，则.
同理，
故.
因为，当且仅当时等号成立，
故.
故答案为：.
30．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】16
【解析】由函数，
设，则的定义域为，
，
则，所以是奇函数，
则，
又因为正实数满足，
所以，
，
当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
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