1.3 复数（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一．复数的有关概念
1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．（虚部不含i）
2.复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
4.共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．（实同虚反）
5.复数的模：
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
二．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
三．复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)
2.几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(-→))＋eq \(OZ2,\s\up6(-→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(-→))＝eq \(OZ2,\s\up6(-→))－eq \(OZ1,\s\up6(-→)).
解决复数概念问题的方法
1.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2.复数绝大部分问题可以转化为复数的实部与虚部，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
二．复数代数形式运算问题的解题策略
三．复数的几何意义
1.进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
2.把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
四．常用结论
1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
考点一 复数的计算
【例1-1】（2023·甘肃·统考二模）已知，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则.故选：C.
【例1-2】（2023·新疆·校联考二模）复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，故选：C．
【例1-3】（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以．故选：A.
【例1-4】（2023·广东深圳·统考二模）已知复数满足，则_____________.
【答案】
【解析】因为，即，
所以，或，
若，则，则，
若，则，则.
综上所述，.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得.故选:B.
2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以.故选：B.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，有，所以.故选：D
4．（2023·山西临汾·统考二模）复数（ ）
A．B．2048C．D．-2048
【答案】C
【解析】.故选：C.
5．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若为虚数单位，则计算___________．
【答案】
【解析】设，
，
上面两式相减可得，
，
则．
故答案为：．
考法二 复数的实部与虚部
【例2-1】（2023·广西南宁·统考二模）已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】因为，则的虚部为1，故A，B，D错误.故选：C.
【例2-2】（2023·江西九江·校联考模拟预测）若复数（是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】复数是虚数单位）的共轭复数是，
，，
，
则的虚部是.故选：D
【一隅三反】
1．（2023春·河南商丘）已知复数，则z的虚部为（ ）
A．2B．C．5D．
【答案】B
【解析】，则z的虚部为．故选：B.
2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数的实部与虚部之和为_______.
【答案】
【解析】因为，所以的实部与虚部之和为.
故答案为：．
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i为虚数单位，且，则的虚部为（ ）
A．B．2C．2iD．
【答案】B
【解析】由可得：，
则，所以的虚部为2.故选：B.
考法三 复数的分类
【例3-1】（2023·辽宁·校联考二模）已知，为纯虚数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为为纯虚数，所以，且，
所以.故选：B.
【例3-2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数是实数，则的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】，
复数是实数，，解得.故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，则，有.故选：A
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设是纯虚数，若是实数，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】D
【解析】设，
则，
因为是实数，
所以，即，
所以，故的虚部为3.
故选：D.
3．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知是纯虚数，是实数，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是纯虚数，故可设，
所以，
因为是实数，所以，即，
所以.
故选：A
考点四 复数的几何意义
【例4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若复数，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由.故选：B
【例4-2】（2023·广东湛江·统考二模）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，则，所以在复平面内对应的点为，故选：A
【例4-3】（2023·全国·校联考二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】 ， ，
，实部为1，虚部为-1，所以 在第四象限；
故选：D.
【例4-4】．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足，若，则复数z为（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】由有，即，解得，
当时，,
当时，.故选：C
【一隅三反】
1．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】，.故选：A
2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知，则复数z在复平面上对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】设，则，
∴由，得，
解得，，
∴复数在复平面上对应的点在第一象限．
故选：A．
3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】由已知可得，
所以复数的共轭复数，
所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，该点在第一象限.
故选：A.
4．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知复数，，若在复平面上对应的点在第三象限，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
则，解得，
因为复数在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，
因此，.
故选：B.
考法五 复数范围内解方程
【例5】（2023·福建·统考模拟预测）已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则||=（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为方程x2-2x+2=0是实系数方程，且，
所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，
即，即，
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z是方程的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】复数范围内方程的根为，
因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，则．
故选：D.
2．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】B
【解析】复数是一元二次方程的一个根，
又，
该方程的根为，
即或，则.
故选：B．
考法六 复数模的相关轨迹问题
【例6-1】（2023·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以的最大值为．
故选：B
【例6-2】（2023·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则，
所以点的轨迹方程为，
设，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
【一隅三反】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数，其中为虚数单位，且，则复数的模的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】，则表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最大值为3.
故选：C
2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【解析】设，
因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图，
又，
所以表示圆C上的动点到定点的距离，
所以为，
故选：B．
3．（2023·广东·统考一模）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，代入到，
得，
即，
整理得，
即点在直线上，
所以点到之间的距离的最小值，即到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，
所以点与点之间距离的最小值为.
故选：C.
考法七 复数的综合运用
【例7】（2023·重庆·统考二模）（多选）已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则或
C．若且，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若，例如：，则，故A错误；
对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确；
对于C，由，则，∵，∴，故C正确；
对于D：若，则，故D正确.
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2023·广东佛山·统考二模）（多选）设，，为复数，且，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】ACD
【解析】设，，，
对A， 若，即，则，
所以，，故A正确；
对B，若，则，而，故B错误；
对C，，，
所以，即，
因为，，则至少有一个不为零，
不妨设，由，可得，
所以，，即，，故C正确；
对D，由，可得，
所以，又不全为零，
所以表示一条直线，即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.
故选：ACD.
2．（2023·山西运城·统考二模）（多选）设为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】BC
【解析】对于A项，取，时，，但虚数不能比较大小，故A项错误；
对于B项，由，得.
又，，所以，故B项正确；
对于C项，因为，所以，故C项正确；
对于D项，取，，满足，但是，故D项错误.
故选：BC.
3．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）（多选）对于，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则是纯虚数
C．D．
【答案】AC
【解析】A：，则的虚部为0，故，正确；
B：当时，成立，而不是纯虚数，错误；
C：令且，则，则，正确；
D：令且，且，则可能为虚数，而为实数，错误.
故选：AC 复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式