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2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）
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这是一份2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考），文件包含21不等式的性质及一元二次不等式精练原卷版docx、21不等式的性质及一元二次不等式精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】或，或，
所以，，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得，故，所以，
由，得，故，所以，
所以.
故选：D
3.（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】 ，
则，则或.
故选：B
4．（2023·河北）若实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A：由，可得，错误；
对于B：由，可得，正确；
对于C：由，可得，所以，错误；
对于D：由，可得，则，错误；
故选：B
5．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对A，当时，，A错；
对B，当时，满足，但此时，B错；
对C，由函数在上递增，得成立，C对；
对D，，则，D错.
故选：C．
6．（2023·江西·统考模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可知，所以，所以错误；
因为，但无法判定与1的大小，所以B错误；
当时，，故D错误；
因为，所以，故C正确.
故选：C.
7．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，不妨取，则，故选项A错误；
因为在上单调递增，由，所以，故选项B正确；
当时，，故选项C错误；
因为在上单调递增，由，
可得，故选项D错误.故选：B
8．（2023·湖南张家界·统考二模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【解析】A：若，则，故A错误；
B：若，则，故，两边平方，可得，故B正确；
C：因为在上单调递增，所以若，则，故C正确；
D：若，不妨设，，显然不满足，故D错误.
故选：BC.
9．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）若集合，集合，满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得：，解得：，即；
由得：，
，，，解得：.
故选：D.
10．（2023春·河南）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式，的解集为，
所以且即，
不等式等价于，
即，，解得或，
所以不等式的解集为：，
故选：C．
11．（2023·广东深圳）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由不等式的解集为，
知是方程的两实数根，
由根与系数的关系，得，解得：，
所以不等式可化为，解得：或，
故不等式的解集为：.
故选：D.
12．（2023春·河北保定）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为，
则，解得，故选：A
13．（2023·广西梧州）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【解析】由已知可得，，即，解不等式可得，或.
所以，m的取值范围是或.故选：A.
14．（2023·福建）（多选）若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的说法是（ ）
A．B．当时，，
C．当时，D．当时，
【答案】BC
【解析】将方程化为，
由题意可知，关于的方程有两个不等的实根，
则，解得，故A错误；
当时，方程为，所以，，故B正确；
当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图象，
可得，所以C正确，D错误.故选：BC.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【解析】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，解不等式的解集为__________
【答案】
【解析】由不等式的解集为，可知是的两根，且，
故，则，故即，
即，解得或，故不等式的解集为
17．（2022·云南）已知，若关于的方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】当时，不成立，舍去；
当时，若关于的方程有两个不相等的正实数根，则由韦达定理，故.又，所以.
由韦达定理得，所以，
因为，所以，所以的取值范围为.
故答案为：
故答案为：
18．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）已知，使是真命题，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，使是真命题，
所以在时能成立，即
设，图象开口向上，且对称轴为直线，
所以在区间上的最小值为，故.
故答案为：.
19．（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由有解，得有解，由于，故，当且仅当时取等号，所以，故答案为：
20．（2023秋·内蒙古呼和浩特）求解下列不等式的解集：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
(6)；(7)；(8)；(9).
【答案】(1)或(2)(3)(4)(5)
(6)(7)(8)(9)
【解析】（1）由可得，解得或，
故原不等式的解集为或.
（2）由可得，解得，故原不等式的解集为.
（3）由可得，即，解得，故原不等式的解集为.
（4）解：由可得，解得，故原不等式的解集为.
（5）解：由可得，解得，故原不等式的解集为.
（6）由，得，解得，故不等式的解集为.
（7）由，得，即，解得或，故不等式的解集为.
（8）由，得，即，解得，故不等式的解集为.
（9）由，得，解得或，故不等式的解集为.
21．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式
【答案】答案见解析
【解析】由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
22．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】答案见解析
【解析】由对应函数开口向上，且，
当，即时，恒成立，原不等式解集为；
当，即或时，由，可得，
所以原不等式解集为；
综上，解集为；
或解集为.
23．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：．
【答案】答案见解析.
【解析】由得或.
当，即时，不等式解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．
24．（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数，解不等式.
【答案】答案见解析
【解析】①当时，；∴.
②当时，由得或，
（i）当即时，，
（ⅱ）当即时，，
（ⅲ）当即时，，
综上，当时，所求不等式的解集为.
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为.
25（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知函数
(1)若，求函数的最小值；
(2)解不等式.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）因为函数的对称轴为，
所以ⅰ）当，即时，，
ⅱ）当，即时，；
（2）由，可得，
即，所以
所以ⅰ）当时，不等式的解集为，
ⅱ）当时，不等式的解集为，
ⅲ）当时，不等式的解集为.
1．（2023春·湖南）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】解不等式可得，
由可得，
①当时，即当时，不等式即为，解得，
此时，“”“”，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可知，或，
所以，或，解得或，所以，；
③当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可得或，
所以，或，解得或，此时.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：A.
2．（2023春·浙江宁波·）（多选）已知关于x的函数：，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集是.
B．若不等式的解集为空集，则实数的取值范围为.
C．若方程的两个不相等的实数根都在内，则实数的取值范围为.
D．若方程有一正一负两个实根，则实数的取值范围为.
【答案】CD
【解析】对于A：当时，不等式，即，
解得或，即不等式的解集是，故A错误；
对于B：若不等式的解集为空集，等价于恒成立，
当时，则恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为，故B错误；
若方程有根，则有：
当时，则不成立，不符合题意；
当时，则，即与有交点，
结合图象，
对于C：若方程的两个不相等的实数都在内，
则与有交点横坐标均在内，
可得，解得，
所以实数的取值范围为，故C正确；
对于D：若方程有一正一负两个实根，
则与有交点横坐标一个为正数一个为负数，
可得，解得，
所以实数的取值范围为，故D正确；
故选：CD.
3．（2023秋·河南）已知使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，
所以不等式的解集是的子集．
由，得，
当，，符合题意；
当，，则，；
当，，符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为．故选：D．
4．（2023·辽宁·校联考二模）（多选）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，，
所以所以，A正确，B错误；
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，C正确；
令，则，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，D正确，故选：ACD.
5．（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）（多选）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【解析】对于A项，，因为，所以，所以，
所以，即：，故A项错误；
对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；
对于C项，，因为，所以，，，
所以，即：，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，所以，，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD
6．（2023·河北·校联考二模）（多选）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
7．（2022秋·江苏无锡·高三校考阶段练习）（多选）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】正数x，y，z满足，设，
则，，．
对于A，，故A正确；
对于B，，，，
∵，∴，
∵，∴，∴，故B错误；
对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；
对于D，由，可得（），故D正确．
故选：ACD
8．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）（多选）下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【解析】对A：若，则，所以，A正确；
对B：，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
对C：在上单调递增，若，则，即，C正确；
对D：，
若，则，
，即，D错误.
故选：AC.
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】取，所以有，则，
则，
因为，
因为，
所以，即，故选项A错误；
因为，
因为，
所以，即，故选项B正确；
因为，
故选项C错误；
因为
，
当且仅当时取等，显然等号不成立，
故，故选项D正确.
故选：BD
10．（2022·广东揭阳）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，
即，解得；
故实数的取值范围是．
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上：时，等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
11．（2023·云南楚雄）设.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式.
【答案】(1)R
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）若，则，对应函数开口向下，
，
所以不等式的解集为
（2）由题意可得对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，得
所以实数a的取值范围为
（3）由题意可得，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，
当时，，
当时，，
①当，解集，
②当，解集为或，
③当，解集为或.
综上所述，
当，不等式的解集为或，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
12．（2022秋·山东日照）已知函数．
(1)若不等式的解集为，求，的值；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.
【解析】（1）因为不等式的解集为，
所以和是方程的两个根，且，
可得，解得，．
（2）当时，不等式即，即，
①当时，，解得；
②当时，不等式可化为，解得或；
③当时，不等式化为，
若，则；
若，则；
若，则，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
13．（2023·上海普陀）已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)若两根异号，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)求使的值为整数的实数的整数值．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)的值为或或
【解析】（1）由题意得，即，
所以实数的取值范围为.
（2）不存在，理由如下：
因为，是一元二次方程的两个实数根，
所以，所以，
由根与系数的关系得，，
所以，
解得，而，
故不存在实数使得成立．
（3）由根与系数的关系得，
因为的值为整数，而为整数，所以只能取、、，
又，所以整数的值为或或．
14．（2022秋·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）关于的方程的两个实根，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令，开口向上，对称轴为，
由，，则，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，则，解得，
所以的取值范围为.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】或，或，
所以，，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得，故，所以，
由，得，故，所以，
所以.
故选：D
3.（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】 ，
则，则或.
故选：B
4．（2023·河北）若实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A：由，可得，错误；
对于B：由，可得，正确；
对于C：由，可得，所以，错误；
对于D：由，可得，则，错误；
故选：B
5．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对A，当时，，A错；
对B，当时，满足，但此时，B错；
对C，由函数在上递增，得成立，C对；
对D，，则，D错.
故选：C．
6．（2023·江西·统考模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可知，所以，所以错误；
因为，但无法判定与1的大小，所以B错误；
当时，，故D错误；
因为，所以，故C正确.
故选：C.
7．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，不妨取，则，故选项A错误；
因为在上单调递增，由，所以，故选项B正确；
当时，，故选项C错误；
因为在上单调递增，由，
可得，故选项D错误.故选：B
8．（2023·湖南张家界·统考二模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【解析】A：若，则，故A错误；
B：若，则，故，两边平方，可得，故B正确；
C：因为在上单调递增，所以若，则，故C正确；
D：若，不妨设，，显然不满足，故D错误.
故选：BC.
9．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）若集合，集合，满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得：，解得：，即；
由得：，
，，，解得：.
故选：D.
10．（2023春·河南）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式，的解集为，
所以且即，
不等式等价于，
即，，解得或，
所以不等式的解集为：，
故选：C．
11．（2023·广东深圳）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由不等式的解集为，
知是方程的两实数根，
由根与系数的关系，得，解得：，
所以不等式可化为，解得：或，
故不等式的解集为：.
故选：D.
12．（2023春·河北保定）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为，
则，解得，故选：A
13．（2023·广西梧州）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【解析】由已知可得，，即，解不等式可得，或.
所以，m的取值范围是或.故选：A.
14．（2023·福建）（多选）若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的说法是（ ）
A．B．当时，，
C．当时，D．当时，
【答案】BC
【解析】将方程化为，
由题意可知，关于的方程有两个不等的实根，
则，解得，故A错误；
当时，方程为，所以，，故B正确；
当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图象，
可得，所以C正确，D错误.故选：BC.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【解析】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，解不等式的解集为__________
【答案】
【解析】由不等式的解集为，可知是的两根，且，
故，则，故即，
即，解得或，故不等式的解集为
17．（2022·云南）已知，若关于的方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】当时，不成立，舍去；
当时，若关于的方程有两个不相等的正实数根，则由韦达定理，故.又，所以.
由韦达定理得，所以，
因为，所以，所以的取值范围为.
故答案为：
故答案为：
18．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）已知，使是真命题，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，使是真命题，
所以在时能成立，即
设，图象开口向上，且对称轴为直线，
所以在区间上的最小值为，故.
故答案为：.
19．（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由有解，得有解，由于，故，当且仅当时取等号，所以，故答案为：
20．（2023秋·内蒙古呼和浩特）求解下列不等式的解集：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
(6)；(7)；(8)；(9).
【答案】(1)或(2)(3)(4)(5)
(6)(7)(8)(9)
【解析】（1）由可得，解得或，
故原不等式的解集为或.
（2）由可得，解得，故原不等式的解集为.
（3）由可得，即，解得，故原不等式的解集为.
（4）解：由可得，解得，故原不等式的解集为.
（5）解：由可得，解得，故原不等式的解集为.
（6）由，得，解得，故不等式的解集为.
（7）由，得，即，解得或，故不等式的解集为.
（8）由，得，即，解得，故不等式的解集为.
（9）由，得，解得或，故不等式的解集为.
21．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式
【答案】答案见解析
【解析】由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
22．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】答案见解析
【解析】由对应函数开口向上，且，
当，即时，恒成立，原不等式解集为；
当，即或时，由，可得，
所以原不等式解集为；
综上，解集为；
或解集为.
23．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：．
【答案】答案见解析.
【解析】由得或.
当，即时，不等式解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．
24．（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数，解不等式.
【答案】答案见解析
【解析】①当时，；∴.
②当时，由得或，
（i）当即时，，
（ⅱ）当即时，，
（ⅲ）当即时，，
综上，当时，所求不等式的解集为.
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为.
25（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知函数
(1)若，求函数的最小值；
(2)解不等式.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）因为函数的对称轴为，
所以ⅰ）当，即时，，
ⅱ）当，即时，；
（2）由，可得，
即，所以
所以ⅰ）当时，不等式的解集为，
ⅱ）当时，不等式的解集为，
ⅲ）当时，不等式的解集为.
1．（2023春·湖南）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】解不等式可得，
由可得，
①当时，即当时，不等式即为，解得，
此时，“”“”，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可知，或，
所以，或，解得或，所以，；
③当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可得或，
所以，或，解得或，此时.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：A.
2．（2023春·浙江宁波·）（多选）已知关于x的函数：，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集是.
B．若不等式的解集为空集，则实数的取值范围为.
C．若方程的两个不相等的实数根都在内，则实数的取值范围为.
D．若方程有一正一负两个实根，则实数的取值范围为.
【答案】CD
【解析】对于A：当时，不等式，即，
解得或，即不等式的解集是，故A错误；
对于B：若不等式的解集为空集，等价于恒成立，
当时，则恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为，故B错误；
若方程有根，则有：
当时，则不成立，不符合题意；
当时，则，即与有交点，
结合图象，
对于C：若方程的两个不相等的实数都在内，
则与有交点横坐标均在内，
可得，解得，
所以实数的取值范围为，故C正确；
对于D：若方程有一正一负两个实根，
则与有交点横坐标一个为正数一个为负数，
可得，解得，
所以实数的取值范围为，故D正确；
故选：CD.
3．（2023秋·河南）已知使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，因为使不等式成立的任意一个x，都不满足不等式，
所以不等式的解集是的子集．
由，得，
当，，符合题意；
当，，则，；
当，，符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为．故选：D．
4．（2023·辽宁·校联考二模）（多选）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，，
所以所以，A正确，B错误；
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，C正确；
令，则，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，D正确，故选：ACD.
5．（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）（多选）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【解析】对于A项，，因为，所以，所以，
所以，即：，故A项错误；
对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；
对于C项，，因为，所以，，，
所以，即：，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，所以，，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD
6．（2023·河北·校联考二模）（多选）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
7．（2022秋·江苏无锡·高三校考阶段练习）（多选）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】正数x，y，z满足，设，
则，，．
对于A，，故A正确；
对于B，，，，
∵，∴，
∵，∴，∴，故B错误；
对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；
对于D，由，可得（），故D正确．
故选：ACD
8．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）（多选）下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【解析】对A：若，则，所以，A正确；
对B：，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
对C：在上单调递增，若，则，即，C正确；
对D：，
若，则，
，即，D错误.
故选：AC.
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】取，所以有，则，
则，
因为，
因为，
所以，即，故选项A错误；
因为，
因为，
所以，即，故选项B正确；
因为，
故选项C错误；
因为
，
当且仅当时取等，显然等号不成立，
故，故选项D正确.
故选：BD
10．（2022·广东揭阳）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，
即，解得；
故实数的取值范围是．
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上：时，等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
11．（2023·云南楚雄）设.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式.
【答案】(1)R
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）若，则，对应函数开口向下，
，
所以不等式的解集为
（2）由题意可得对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，得
所以实数a的取值范围为
（3）由题意可得，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，
当时，，
当时，，
①当，解集，
②当，解集为或，
③当，解集为或.
综上所述，
当，不等式的解集为或，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
12．（2022秋·山东日照）已知函数．
(1)若不等式的解集为，求，的值；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.
【解析】（1）因为不等式的解集为，
所以和是方程的两个根，且，
可得，解得，．
（2）当时，不等式即，即，
①当时，，解得；
②当时，不等式可化为，解得或；
③当时，不等式化为，
若，则；
若，则；
若，则，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
13．（2023·上海普陀）已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)若两根异号，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)求使的值为整数的实数的整数值．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)的值为或或
【解析】（1）由题意得，即，
所以实数的取值范围为.
（2）不存在，理由如下：
因为，是一元二次方程的两个实数根，
所以，所以，
由根与系数的关系得，，
所以，
解得，而，
故不存在实数使得成立．
（3）由根与系数的关系得，
因为的值为整数，而为整数，所以只能取、、，
又，所以整数的值为或或．
14．（2022秋·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）关于的方程的两个实根，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令，开口向上，对称轴为，
由，，则，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，则，解得，
所以的取值范围为.
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