6.2 等比数列（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一．等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
二．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1，通项公式的推广：an＝amqn－m.
三．等比数列的前n项和公式
首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
四．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
3.若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m，S2m－S3m，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
4.若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1<0，,00，,01，)) 则等比数列{an}递减．
5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q．
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则 eq \f(S奇－a1,S偶) ＝q．
等比数列基本量的运算
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
二．等比数列的三种常用判定方法
考法一 等比数列的基本量的运算
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．21B．81C．243D．729
【答案】C
【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C
【例1-2】（2022·吉林·长春市）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，因为，则，
由已知可得，可得，，则，
因此，.故选：B.
【例1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列满足，，若，，则的值为______.
【答案】或
【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，
，得，，所以.
当时，，则；
当时，，则.综上，的值为或.故答案为：或
【一隅三反】
1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【解析】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.所以.故选:C.
2．（2023春·北京）已知各项均为正数的等比数列满足，，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，由已知条件可得，解得，
因此，.故选：C.
3．（2022·河南安阳）已知为等比数列，，则_________．
【答案】
【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，
若，则，，则；
若，则，，则.故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为
A．B．2C．D．3
【答案】2
【解析】设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，
故
.
考法二 等比数列的判断与证明
【例2】（2023·广东·高三专题练习）在数列中，，，求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
【答案】证明见解析；；
【解析】，
当时，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，；
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．
(1)证明：为等比数列．
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由题意知
，
所以为等比数列．其首项，．
（2）由（1）可知，又，
所以．
2．（2023·广东深圳·校考一模）已知函数的首项，且满足，求证为等比数列，并求．
【答案】证明见解析，
【解析】因为，，所以，所以，所以.
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以，所以.
3．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足，证明：和都是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】因为，，
所以，，
又由，得，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
数列是首项为，公比为的等比数列．
考法三 等比数列的中项性质
【例3-1】（2023春·江西）在等比数列中，若，，则（ ）
A．B．9C．15D．7
【答案】A
【解析】.故选：A.
【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（ ）
A．或B．2或C．D．
【答案】C
【解析】因为，是方程的两根，所以，，且，都是负数，
又因为为等比数列，所以，所以，且，所以.故选：C
【例3-3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ .
【答案】5
【解析】因为与是方程 的两个根，所以，
因为为正项等比数列，所以，
所以，
故答案为：5.
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁鞍山）若五个数、、、、成等比数列，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】设等比数列、、、、的公比为，则，
由等比中项的性质可得，所以，，.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，故，则，
，故，则，
所以.
故选：A
3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知，向量与向量垂直，，，2成等比数列，则与的等差中项为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】因为与垂直，所以，得到，
又因为，，2成等比数列，所以，又，联立方程和，得到，，
所以，的等差中项为．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】D
【解析】，，，，
又，，成等比数列，， ，解得．故选：D．
考法四 等比数列的前n项和
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.故选：A
【例4-3】（2023广东深圳）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023福建福州）已知等比数列的前项和，前项和，则前项和（ ）
A．64B．66C．D．
【答案】C
【解析】由等比数列前项和的性质，可得构成等比数列，
即成等比数列，可得，解得.
故选：C.
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．41B．45C．36D．43
【答案】D
【解析】设，则，
因为为等比数列，根据等比数列的性质，可得仍成等比数列.
因为，所以，所以，故.故选：D.
3．（2023·全国·高三对口高考）已知等比数列的前n项和为，则__________.
【答案】
【解析】由题意可得，，
，故有.
故答案为：
4．（2023·江苏宿迁）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，
则，所以，，
又，则，
因此，.故答案为：.
考法五 等比数列的最值
【例5-1】（2023春·辽宁鞍山）等比数列的前n项积为，且满足，，，则使得成立的最大自然数n的值为（ ）
A．102B．203
C．204D．205
【答案】C
【解析】由，即，则有，即。所以等比数列各项为正数，
由，即，可得：，
所以，，
故使得成立的最大自然数n的值为204，故选：C
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AD
【解析】因为，，，所以，，所以，故A正确.
，故B错误；
因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；
又，，所以的最大值为，故D正确.故选：AD
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】B
【解析】若，因为，所以，则与矛盾，
若，因为，所以，则，与矛盾，
所以，故B正确；
因为，则，所以，故A错误；
因为，，所以单调递增，故C错误；
因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．若，则n最大为4038．
【答案】ABD
【解析】对A，∵，，，且数列为等比数列，
∴，，∴，
因为，∴，故A正确；
对B，∵，∴，故B正确；
对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列，
因为，，所以是数列中的最大项，故C错误；
对D，，因为，，故，，故，即，故n最大为4038，故D正确．
故选：ABD．
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．当且仅当时，取得最大值
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，故A正确；
又，即，解得，故C正确；
由知等比数列为递减数列，且，故取得最大值为，故B错误；
因为，
所以成立，故D正确.故选：ACD
考法六 等比数列在实际生活中的运用
【例6】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，解得.
故该马第五天行走的里程数为.故选：D.
【一隅三反】
1．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（ ）元（参考数据：，）
A．35200B．43200C．30000D．32000
【答案】D
【解析】设2022年6月底小王手中有现款为元，
设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，
则，即，
所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
∴，即，
年所得收入为元.
故选：D.
2．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗B．斗
C．斗D．斗
【答案】A
【解析】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，由已知，，（斗）．故选：A．
3．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（）匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取）（ ）
A．7750里B．7752里
C．7754里D．7756里
【答案】B
【解析】，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，
故这17匹马的日行路程之和为
（里）．
故选：B.
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列