5.4 正余弦定理（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
二．三角形常用面积公式
1.S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．
2.S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin_B＝eq \f(1,2)bcsin_A．
3.S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
三．三角形解的判断
四．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cs C＋c cs B；b＝a cs C＋c cs A；c＝b cs A＋a cs B．
五．盘点易错易混
1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R
2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
一．正、余弦定理的选用
1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
二．求解三角形面积问题
1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
2.若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
4.代数式变形或者三角恒等变换前置；
5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
考法一 常见的边角互换模型
【例1-1】（2023春·湖南）在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】由可得，再由余弦定理可得：，
故，因为，所以则.故选：B.
【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，据此可得，
则.故选：C.
【例1-3】（2022·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由及正弦定理得：，
即，由余弦定理得：，而，解得，
由得，显然，则，，
所以.故选：C
【例1-4】（2022·重庆）在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________．
【答案】
【解析】由正弦定理：故
即
故，又故故答案为：
【一隅三反】
1．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，由正弦定理得，
因为，所以由余弦定理得，
因为，所以.故选：B
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【解析】因为，根据正弦定理得，
移项得，即，即，
则根据正弦定理有．故选：D.
3．（2023春·福建南平）（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】，由正弦定理可得，
整理可得，所以，
为三角形内角，，∴，∵，，故A正确，B错误；
∵，，，解得，
由余弦定理，得，
解得或（舍去），故D正确，C错误.故选：AD.
4．（2023·四川）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，，，
，，
由正弦定理，得，又，所以，
即，由，得.故选：D
考法二 三角形的周长与面积
【例2-1】（2023·广东）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理可得
所以，
因为所以
因为，则，则，所以为等边三角形，故的面积
故答案为：
【例2-2】（2023·山东青岛·统考三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若c＝3a，D为AC中点，，求的周长．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）∵，所以，，
则，
整理得，又，∴，而，∴；
（2），由余弦定理得，，
是中点，则，在中由余弦定理得，，
在中由余弦定理得，，，，
∴，解得，所以的周长为．
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由得，由得，
故，A
2．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且.
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为6，求的周长.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）依题意，有，
由正弦定理，得，则.
，，
C为钝角，（舍去），
，
即，
因为C为钝角，所以B为锐角，所以（舍去），即.
（2），，；
，，
.
由正弦定理，得，，
的面积，解得，，
由正弦定理，得，，
的周长为.
3．（2023·湖北武汉·统考三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)(2)2
【解析】（1）在中有.
即.
因为，由正弦定理可得，即.
同理，
由正弦定理可得，即.
在中有.
解得，，.
由，得：.
（2）面积，代入，，整理得：.
由（1）知，，即，.
中，由正弦定理可得，即.所以.
考法三 三角形的中线与角平分线
【例3-1】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)若，，___________，求.
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】（1）由正弦定理得，.
因为，所以，所以，即.
又，则，所以.
（2）选择条件①：因为，所以，，
.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，所以，
则，
解得.
【例3-2】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知为的内角所对的边，向量,，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，且，求线段的长．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以．
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，
因为，所以.
（2），解得，
因为，则，
所以，.
【一隅三反】
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________．
【答案】
【解析】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由可得，，
解得：．故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．故答案为：．
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若的平分线交AB于点D，且，，求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由已知可得，
,整理得，，
因为，所以，所以，即，
因为，所以.
（2）由题意得，,即，所以.
法一：在中，，
所以.在中，，
所以，
即，
将代入整理得，解得或.
若，则，，,，
所以在中，得,
同理可得,即和都为钝角，不符合题意，排除.所以，，
.
法二：因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
3.（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，边上的中线，求的面积．
【答案】(1)(2)6
【解析】（1）由题意利用正弦定理可得．
．
，
，即．
（2）．
由中线，
得，
．
考法四 三角形中的取值范围
【例4-1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以由正弦定理得，即，
因为，，所以，所以，即，
因为，即，解得.故选：A.
【例4-2】（2023·江西上饶·统考二模）在中，，则的最小值（ ）
A．-4B．C．2D．
【答案】A
【解析】在中，，所以，，
所以
，
因为，所以，所以，，
则的最小值为.故选：A
【例4-3】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在中，若，则的最大值为______．
【答案】
【解析】首先证明：在△ABC中，有,
在△ABC中，由余弦定理得，
由正弦定理得，
令，
上述两式相加得
所以
=,
当即时取等.
故答案为：.
【例4-4】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．
在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
(1)求；
(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）若选，因为，所以，可得，
又因为，所以．
若选，因为，所以，
整理可得，解得或，
又因为，可得，所以,所以．
若选，因为，所以由正弦定理可得，
又因为为三角形内角，，所以，可得，
又因为，，所以，可得．
（2）因为，所以，
因为是的中点，所以，平方得，
所以
因为，所以时，，可得，
所以，可得，故线段长的取值范田为
【一隅三反】
1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为是锐角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．故选：C．
2．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于，若，则的最小值为____.
【答案】/
【解析】因为，的平分线交于，且，
由，即，
整理可得，所以，，
因此，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）在中，由及二倍角公式，得，
即，整理得，
因此，即，而，
所以.
（2）由（1）及已知，得，即有，
由余弦定理得，即，
因此，即，
于是，当且仅当时取等号，而，
所以面积的最小值为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccsC=bcsA+acsB.
(1)求角C的大小；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由正弦定理得：，代入，
∴，又，
∴，而0∴，故.
（2）由正弦定理得：，
，
因为为锐角三角形，所以，，
由内角和为，则，
所以，则，
周长为，故的取值范围为.
5．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
考法五 三角形解的个数
【例5】（2023春·江苏连云港）由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】对于A，,由正弦定理可得,
由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解；
对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解，
所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解；
对于C，因为，由正弦定理得，
即，所以，所以角有两个解，即有两个解；
对于D，因为，，，由正弦定理得，
所以，又c>a，所以，所以角只有一个解，即只有唯一解.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023春·重庆）中，是角的对边，，则此三角形有（ ）
A．一个解B．2个解C．无解D．解的个数不确定
【答案】B
【解析】】∵中，，
∴根据正弦定理，得，
∵B为三角形的内角，，则有或，∴三角形的解有两个．故选：B．
2．（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，.
要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，
所以.故选：B．
3．（2023·北京朝阳·高三专题练习）在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（ ）
①
②；
③；
④.
A．①②B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【解析】对于①，因为，所以或，故①错误；
对于②，因为在上单调，所以角被唯一确定，
故②正确；
对于③，因为，，所以，
所以，所以，又，由正弦定理有
，所以，所以角被唯一确定，故③正确；
对于④，因为，
所以，所以如图，不唯一，故④错误.故A，C，D错误.
故选：B.
考法六 正余弦定理在几何中应用
【例6-1】（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在中，，点在边上，．
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长．
【答案】(1)6(2)6
【解析】（1），，且，
根据正弦定理，可得；
（2），，
，得，
又，由余弦定理得，．
【例6-2】（2023·北京大兴·校考三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
【答案】(1)(2)，
【解析】（1）∵，，
，，;
（2），，，则.
，，
，，
又，在中，
由正弦定理可知，.
【一隅三反】
1．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）∵，
∴由正弦定理得，即，
∴由余弦定理，，
又∵，
∴.
（2）∵，∴，
由第（1）问，，∴，
又∵，∴，
∴在中，由正弦定理，，∴，
又∵，∴，
∴的面积.
2．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.

(1)若，求角的余弦值大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，
即，则，
整理得，而，即
（2）在中，，
由余弦定理得，
于是，解得，
当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.
3．（2023·广东惠州·统考一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．
(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．
【答案】(1)为定值，定值为1
(2)14
【解析】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，
即②，
①②得，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
，
令，
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs_A；
b2＝c2＋a2－2cacs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
边化角：a＝2Rsin A b＝2RsinB c＝2RsinC
角化边：sin A＝eq \f(a,2R) sin B＝eq \f(b,2R)， sin C＝eq \f(c,2R)；
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解