3.6 零点定理（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一．函数的零点
1．零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．
易错点：函数的零点不是函数y＝f(x)图象与x轴的交点，而是y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.
二．函数零点存在定理
1.概念：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2.变号零点：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
三．二分法
1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．
②求区间(a，b)的中点c．
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(ⅰ)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(ⅱ)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(ⅲ)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c．
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④．
一．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
1.利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；
2.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
二．函数零点个数的判定方法
1.解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．
2.函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
三．根据函数零点个数求参数
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．
四．根据函数零点所在区间求参数范围
1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
五．嵌套零点
1.概念：在某些情况下，需要将某函数作为另一个函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自身，就叫递归调用，也叫递归嵌套．
2.求嵌套函数y＝g[f(x)]零点的技巧
(1)换元解套：将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g(x)与y＝f(t)的零点问题．
(2)依次求解：令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
(3)求解此类问题要抓住函数的图象性质，通过两层函数的零点个数及取值范围确定嵌套函数的零点．
(4)含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”，结合性质、图象抓临界位置，确定参数取值范围．
易错点
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点；
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
2．f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
3．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，不要把它当成一个点．
4．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
5．忽视分类讨论，如：函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零．
考法一 零点区间
【例1-1】（2023·吉林长春）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】的定义域为，
又与在上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以，
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，故选：C.
【例1-2】（2023·广东肇庆）已知唯一的零点同时在区间和内，下列说法错误的是（ ）
A．函数在内有零点B．函数在内无零点
C．函数在内有零点D．函数在内无零点
【答案】A
【解析】因为唯一的零点同时在区间和内，
则该函数唯一的零点同时在区间内，可知B，C，D正确，
对于A，函数唯一的零点可能在内，也可能在内，故A错误.故选：A
【一隅三反】
1．（2023春·江苏宿迁）函数的零点所在的区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
则函数的零点即为函数的交点的横坐标，
如图，作出函数的图象，
由图可知函数的交点在第一象限，且只有一个交点
即函数的零点大于零，且只有一个零点，
又，
所以函数的零点所在的区间可以是.
故选：C.
2．（2023广东揭阳）函数的零点所在的区间为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为函数在上是连续的曲线，且，，
所以，函数的零点所在的区间为.故选：B.
3．（2023春·湖南）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以，
所以函数的零点所在的区间为，故选：C．
考法二 零点个数
【例2-1】（2023·福建厦门）函数的零点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无数个
【答案】C
【解析】令，则，所以的零点为1和，故有两个零点，
故选：C
【例2-2】（2023·全国·高三对口高考）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】先绘制在上的图像，根据是奇函数，可得到在上图像和，
再由得到的周期为2，
令，则，所以，
即可得到的图像，

由图可知，，
所以在有6个零点，
故选：D．
【例2-3】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．253B．506C．507D．759
【答案】B
【解析】由得，
所以，即是以8为周期的周期函数，
当时，有两个零点2和4，
当时，，令，
则有，
当时，，，
所以无解，
所以当时，无零点，
又，因此在上函数有个零点，当时，有两个零点2和4，当时，无零点，当时，无零点，
因此有上，有个零点．
故选：B．
【一隅三反】
1．（2023·四川）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中画出函数和的图象，
由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程的实数解的个数为1，
故选：B

2．（2023北京）函数的零点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】由题意可知：要研究函数的零点个数，只需研究函数，的图像交点个数即可.画出函数，的图像，
因为时，，时，，时，，
可知当和时，图像各有一个交点，时，必有一个交点，
且交点为，及第二象限的点C.
故选：D
考法三 零点个数求参数
【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数 有且只有一个零点的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数恒过点，所以函数有且只有一个零点函数没有零点函数的图像与直线无交点，数形结合可得，或
即函数有且只有一个零点的充要条件是或,
只有选项是函数有且只有一个零点的充分条件,

故选：A
【例3-2】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】作出与的图象，如图，
当时，设与相切于点，
则，解得，所以，
由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；
当时，设与相切于点，
由可知，，
解得或（舍去），此时，而，
由图象知，当时，与有3个交点.
综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.
故选：A
【例3-3】（2023·海南）已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数有6个零点，等价于函数与有6个交点，
当时，，
当时，，，
令，解得：；令，解得：，
当时，递增，当时，递减，的极大值为：，
作出函数的图象如下图，

与的图象有6个交点，则，故实数m的取值范围是.故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，则1是的一个零点，
则有两个不同的零点有两种情形：
①1是方程的根，
则，即，此时方程有1，两个根，
故有1，两个不同的零点；
②1不是方程的根，则方程有两个相同的实数根，
则，得，此时，
故有1，两个不同的零点；
综上，函数有两个不同的零点，则或，
所以是有两个不同的零点的一个充分不必要条件，
故选：A.
2.（2023·四川巴中）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，因为，所以，则，解得．
故选：A．
3．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，，，
所以当时，当或时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，；
当时，，，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，又.
作出函数的函数图象如下：

若有且只有三个零点，即与只有三个交点，
由图可知需满足.
故答案为：
考法四 函数零点的范围求参数
【例4-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，当时，解得；
当时，，其中，，
当时，解得，综上k的最大值是1.
故选：C.
【例4-2】（2023春·上海青浦·）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】程在上有解，等价于函数与在有交点，
因为，所以，所以，解得.故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.故选：D
2.（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为与在上都单调递增，
所以在上单调递增，
因为在区间上有零点，
所以，即，即，
解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
考法五 零点比较大小
【例5-1】（2023·黑龙江）已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意：的零点，则，
令，则，
而，则其图象可由图象向下平移2个单位得到，
故可作出函数的大致图象如图：

由此可知应介于两数之间，结合选项可知可能的结果为，
故B，C，D错误，A正确，
故选：A
【例5-2】（2023·山东滨州·）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数在上单调递减，函数在上都单调递增，
因此函数在上都单调递减，
在上最多一个零点，，即有，
，则，而，即，
所以.
故选：A
【一隅三反】
1．（2023秋·广东江门）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数，，的零点，
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得.
故选：B
2．（2023秋·北京）已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在同一平面直角坐标系内作出
的图像
过点；过点；
过点；过点，
则与图像交点横坐标依次增大，
又与图像
交点横坐标分别为，则.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.故选：B.
考法六 零点之和
【例6】（2023·青海西宁·统考二模）函数的所有零点之和为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】令，得，解得或，即为零点，
令，，
的周期，对称轴，且的对称轴，
做出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
，，在(4,5)上两函数必存在一个交点，
在上有两个零点，同理在上存在两个零点，
所以在上存在6个零点，
因为和关于对称，则零点关于对称，
所以的所有零点之和为.
故选：C
【一隅三反】
1．（2022北京）是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】C
【解析】因为函数是上的偶函数，所以函数图象关于轴对称，那么，即有5个实数根，可知其中4个实数根，有两对关于轴对称，另外一个为，所以这些根的和为0.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】时，由得，时，由得或，
所以四个零点和为．故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的所有零点之和为______．
【答案】6
【解析】令，得，解得或，即为零点，
令，，
可知的周期，对称轴，
且的对称轴，
做出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
在处的切线为x轴，在上存在零点，
同理在上存在零点，所以在上存在6个零点，
因为和的函数图象关于对称，则零点关于对称，
所以的所有零点之和为.故答案为：6.
考法七 二分法
【例7-1】（2023·湖南）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点.故选：A．
【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，
，所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.
【例7-3】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：


那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
【答案】C
【解析】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，
因为，，所以根在内，
因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，
因为 ，，所以根在区间，
因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，
因为，，所以根在区间内，
因为满足精确度，
因为，所以根在内，
所以方程的一个近似解为，故选：C
【一隅三反】
1．（2023山东）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；
对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.
故选：C．
2．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【答案】B
【解析】，又
A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
3．（2023春·江苏宿迁）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
，
所以在上有唯一零点，即，故，
所以方程的根落在区间上，
故选：B.
4．（2023·全国·高三对口高考）函数在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分（ ）
A．5次B．6次C．7次D．8次
【答案】C
【解析】区间的长度为，第次二等分，区间长度变为；
第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为.
所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分次.故选：C
考法八 嵌套零点
【例8-1】（2023·四川凉山）函数，则函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．3C．10D．13
【答案】D
【解析】令，
由得或，所以或，
当时，或，
当时，则或，解得，
所以函数的所有零点之和为.
故选：D.
【例8-2】（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，
对，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且趋向负无穷时，，时，，
故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即，令，代入可得，
由图像可知，即，
结合函数图像可知，有1个解，
综合可知，函数的零点有1个，
故选：A.
【例8-3】（2023·北京朝阳·二模）已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，若，则，
所以，值域为R，函数图象如下：
当时，只有一个与之对应；
当时，有两个对应自变量，
记为，则；
当时，有三个对应自变量且；
当时，有两个对应自变量，
记为，则；
当时，有一个与之对应；
令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，
若有三个解，则，此时有7个解，不满足；
若有两个解且，此时和各有一个解，
结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；
若有一个解，则有两个解，此时，
所以对应的，综上，.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022秋·贵州毕节）已知函数，则函数的所有零点之和为___________．
【答案】
【解析】设，则，
①当时，，得；
②当时，，得；
综上所述：若，则或.
故或，则有：
①由，可得或，解得或；
②由，可得或，解得或；
综上所述：函数的所有零点为，，，4.
故所有零点的和为．
故答案为：.
2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题设，若，则，
所以，值域为R，函数图象如下：

当时，只有一个与之对应；
当时，有两个对应自变量，
记为，则；
当时，有三个对应自变量且；
当时，有两个对应自变量，
记为，则；
当时，有一个与之对应；
令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，
若有三个解，则，此时有7个解，不满足；
若有两个解且，此时和各有一个解，
结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；
若有一个解，则有两个解，此时，
所以对应的，
综上，.
故答案为：.
3．（2023·河北·模拟预测）（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】BC
【解析】由题意可知：
当时，在上单调递减，则；
当时，在上单调递增，则；
若函数恰好有4个不同的零点，
令，则有两个零点，可得：
当时，则，解得；
当时，则，可得；
可得和均有两个不同的实根，
即与、均有两个交点，
不论与的大小关系，则，且，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
且，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.