人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆测试题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆测试题，共21页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27620" 【题型1 椭圆的定义】 PAGEREF _Tc27620 \h 1
\l "_Tc13955" 【题型2 曲线方程与椭圆】 PAGEREF _Tc13955 \h 2
\l "_Tc13581" 【题型3 椭圆方程的求解】 PAGEREF _Tc13581 \h 3
\l "_Tc26605" 【题型4 动点轨迹方程的求法】 PAGEREF _Tc26605 \h 3
\l "_Tc9927" 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 PAGEREF _Tc9927 \h 5
\l "_Tc31477" 【题型6 椭圆中的最值问题】 PAGEREF _Tc31477 \h 5
【知识点1 椭圆的定义】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
【题型1 椭圆的定义】
【例1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）F1，F2为椭圆x249+y29=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|=5，则|PF2|=（ ）
A．9B．4C．2D．1
【变式1-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若椭圆x29+y2=1上一点A到焦点F1的距离为2，则点A到焦点F2的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x29+y25=1，F1,F2分别是椭圆C的焦点，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若AB=4，则AF2+BF2=（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式1-3】（2023秋·河北邢台·高二校考期末）设P为椭圆C：x225+y29=1上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且PF1=3PF2，则PF2=（ ）
A．32B．52C．72D．152
【知识点2 椭圆的标准方程】
1．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
2．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“1A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）方程x2+ky2=2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A．k>0B．11D．0【变式2-2】（2023秋·全国·高二期末）若方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是（ ）
A．a>3B．a<−2
C．a>3或a<−2D．−2【变式2-3】（2022·高二单元测试）若方程x29−k+y2k−1=1表示椭圆C，则下面结论正确的是（ ）
A．k∈1,9B．椭圆C的焦距为22
C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5D．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈5,9
【题型3 椭圆方程的求解】
【例3】（2023春·河北承德·高二校考开学考试）焦点坐标为0,−4，（0，4），且长半轴a=6的椭圆方程为（ ）
A．x236+y220=1B．x220+y236=1
C．x236+y216=1D．x216+y236=1
【变式3-1】（2023秋·江苏·高二统考期末）已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点0,1在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若AF+BF=4，则椭圆的方程为（ ）
A．x24+y2=1B．x22+y2=1
C．x23+y22=1D．x24+y23=1
【变式3-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为B．若BF2=F1F2=4，则该椭圆的方程为（ ）
A．x216+y212=1B．x216+y24=1C．x212+y28=1D．x212+y24=1
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为F1(0,−2)，F2(0,2)．过点F2的直线与C交于A，B两点．若△ABF1的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．x29+y25=1B．y29+x25=1C．x236+y232=1D．y236+x232=1
【题型4 动点轨迹方程的求法】
【例4】（2023秋·广东广州·高二校考期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．x29+y28=1(x≠±3)B．x29+y28=1(x≠0)
C．x24+y23=1(y≠0)D．x23+y24=1(y≠0)
【变式4-1】（2023·高二课时练习）在△ABC中，已知A−1,0,C1,0，若a>b>c，且满足2sinB=sinA+sinC，则顶点B的轨迹方程是（ ）
A．x24+y23=1x<0B．x23+y24=1x<0
C．x24+y23=1x>0D．x23+y24=1x>0
【变式4-2】（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：x−22+y2=20（圆心为A），点B−2,0，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．x25−y2=1B．x2+y25=1
C．x25+y2=1D．x2−y25=1
【变式4-3】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知圆C:(x−1)2+y2=16，F(−1,0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （ ）
A．x24+y23=1B．x24+y2=1C．x24−y23=1D．x25+y24=1
【知识点3 椭圆的焦点三角形】
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦
点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知△PQF的顶点P,Q在椭圆x216+y212=1上，顶点F是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在PQ边上，则△PQF的周长是（ ）
A．12B．43C．16D．10
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点B､C在椭圆x23+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为（ ）
A．2B．23
C．4D．43
【变式5-2】（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）在椭圆x24+y22=1上有一点P，F1､F2是椭圆的左､右焦点，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆x29+y24=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且cs∠F1PF2=13，则△PF1F2的面积为（ ）
A．6B．12C．2D．22
【题型6 椭圆中的最值问题】
【例6】（2023·高二课时练习）已知椭圆C:x225+y29=1的左右焦点分别为F1､F2，P是椭圆上的动点，求PF1⋅PF2的最大值及最小值.
【变式6-1】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆x24+y236=1上一点，A(0,5)，求|PA|的最小值与最大值．
【变式6-2】（2023·高二课时练习）已知椭圆C：x225+y216=1内有一点M2,3，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：
(1)PM−PF1的最大值与最小值；
(2)PM+PF1的最大值与最小值．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x225+y216=1内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M.
（1）求|MP|−|MF|的最大值；
（2）求|MP|+MF的最小值；
（3）求使得|MP|+53|MF|的值最小时点M的坐标.
专题3.1 椭圆及其标准方程【六大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27620" 【题型1 椭圆的定义】 PAGEREF _Tc27620 \h 1
\l "_Tc13955" 【题型2 曲线方程与椭圆】 PAGEREF _Tc13955 \h 3
\l "_Tc13581" 【题型3 椭圆方程的求解】 PAGEREF _Tc13581 \h 5
\l "_Tc26605" 【题型4 动点轨迹方程的求法】 PAGEREF _Tc26605 \h 6
\l "_Tc9927" 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 PAGEREF _Tc9927 \h 8
\l "_Tc31477" 【题型6 椭圆中的最值问题】 PAGEREF _Tc31477 \h 10
【知识点1 椭圆的定义】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
【题型1 椭圆的定义】
【例1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）F1，F2为椭圆x249+y29=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|=5，则|PF2|=（ ）
A．9B．4C．2D．1
【解题思路】由椭圆定义可得PF1+PF2=2a=14，进而求得结果．
【解答过程】椭圆x249+y29=1中，a=7，∵F1，F2为椭圆x249+y29=1的两个焦点，
⸫PF1+PF2=2a=14，又PF1=5，⸫PF2=9
故选：A.
【变式1-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若椭圆x29+y2=1上一点A到焦点F1的距离为2，则点A到焦点F2的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】利用椭圆的定义有|AF1|+|AF2|=2a，结合已知即可求A到焦点F2的距离.
【解答过程】由椭圆方程知：a=3.根据椭圆的定义有|AF1|+|AF2|=2a.
因为|AF1|=2，
所以|AF2|=2a−|AF1|=6−2=4.
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x29+y25=1，F1,F2分别是椭圆C的焦点，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若AB=4，则AF2+BF2=（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解题思路】根据椭圆的定义可求AF1+AF2，BF1+BF2，结合条件可求AF2+BF2.
【解答过程】设椭圆x29+y25=1的长半轴为a，则a=3，
由椭圆定义可得AF1+AF2=6，BF1+BF2=6，
又AF1+BF1=AB=4，
所以AF2+BF2=8.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·河北邢台·高二校考期末）设P为椭圆C：x225+y29=1上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且PF1=3PF2，则PF2=（ ）
A．32B．52C．72D．152
【解题思路】根据椭圆的定义写出PF1+PF2=2a=10，再根据条件PF1=3PF2即可解得答案.
【解答过程】根据P为椭圆C：x225+y29=1上一点，
则有PF1+PF2=2a=225=10，
又PF1=3PF2，所以PF2=104=52，
故选：B.
【知识点2 椭圆的标准方程】
1．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
2．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“1A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条
【解题思路】根据椭圆的标准方程可得k−1>0,5−k>0,k−1≠5−k,，解不等式组得出1【解答过程】若方程表示椭圆，则有k−1>0,5−k>0,k−1≠5−k,
因此1故“1故选：B.
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）方程x2+ky2=2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A．k>0B．11D．0【解题思路】将方程化为标准式，依题意求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】方程x2+ky2=2可变形为x22+y22k=1，表示焦点在x轴上的椭圆，则有0<2k<2，解得k>1.
易知当11，当k>1时未必有1所以11的充分但不必要条件.
故选：B.
【变式2-2】（2023秋·全国·高二期末）若方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是（ ）
A．a>3B．a<−2
C．a>3或a<−2D．−2【解题思路】根据椭圆焦点在y轴上,可得a2【解答过程】解:由题知x2a2+y2a+6=1表示焦点在y轴上的椭圆,
则有: a2解得:−2故选:D.
【变式2-3】（2022·高二单元测试）若方程x29−k+y2k−1=1表示椭圆C，则下面结论正确的是（ ）
A．k∈1,9B．椭圆C的焦距为22
C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5D．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈5,9
【解题思路】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.
【解答过程】因方程表示椭圆，则有9−k>0，k−1>0，且9−k≠k−1，即k∈1,5∪5,9，A错误；
焦点在x轴上时，9−k>k−1>0，解得k∈1,5，D错误，C正确；
焦点在x轴上时，则c2=9−k−k−1=10−2k，焦点在y轴上时，c2=k−1−9−k=2k−10，B错误.
故选：C.
【题型3 椭圆方程的求解】
【例3】（2023春·河北承德·高二校考开学考试）焦点坐标为0,−4，（0，4），且长半轴a=6的椭圆方程为（ ）
A．x236+y220=1B．x220+y236=1
C．x236+y216=1D．x216+y236=1
【解题思路】根据题意可知c=4,a=6，即可由b2=a2−c2求出b2，再根据焦点位置得出椭圆方程．
【解答过程】因为c=4,a=6，所以b2=a2−c2=20，而焦点在y轴上，所以椭圆方程为x220+y236=1．
故选：B．
【变式3-1】（2023秋·江苏·高二统考期末）已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点0,1在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若AF+BF=4，则椭圆的方程为（ ）
A．x24+y2=1B．x22+y2=1
C．x23+y22=1D．x24+y23=1
【解题思路】根据椭圆的性质可得a,b，则椭圆方程可求.
【解答过程】由点0,1在椭圆上得b=1，
由椭圆的对称性可得AF+BF=2a=4，则a=2，
故椭圆方程为x24+y2=1.
故选：A.
【变式3-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为B．若BF2=F1F2=4，则该椭圆的方程为（ ）
A．x216+y212=1B．x216+y24=1C．x212+y28=1D．x212+y24=1
【解题思路】根据题意和椭圆的几何性质，得到a=2c=4，进而求得b的值，即可求解.
【解答过程】由椭圆的几何性质，因为BF2=F1F2=4，可得a=2c=4，
所以a=4，c=2，则b=a2−c2=23，所以椭圆的方程为x216+y212=1.
故选：A.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为F1(0,−2)，F2(0,2)．过点F2的直线与C交于A，B两点．若△ABF1的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．x29+y25=1B．y29+x25=1C．x236+y232=1D．y236+x232=1
【解题思路】根据已知条件求得a,b，由此求得椭圆C的标准方程.
【解答过程】依题意c=24a=12a2=b2+c2，解得a=3,b=5，
由于椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆C的标准方程为y29+x25=1.
故选：B.
【题型4 动点轨迹方程的求法】
【例4】（2023秋·广东广州·高二校考期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．x29+y28=1(x≠±3)B．x29+y28=1(x≠0)
C．x24+y23=1(y≠0)D．x23+y24=1(y≠0)
【解题思路】由周长得AB+AC＝6，从而知A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨迹方程．注意范围．
【解答过程】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，
∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝22，
所以椭圆的标准方程是x29+y28=1(x≠±3).
故选：A.
【变式4-1】（2023·高二课时练习）在△ABC中，已知A−1,0,C1,0，若a>b>c，且满足2sinB=sinA+sinC，则顶点B的轨迹方程是（ ）
A．x24+y23=1x<0B．x23+y24=1x<0
C．x24+y23=1x>0D．x23+y24=1x>0
【解题思路】先利用正弦定理化角为边，从而可得a+c=4，再结合题意可得点B的轨迹是以A−1,0,C1,0为焦点的椭圆的左半部分，即可得解.
【解答过程】解：在△ABC中，因为2sinB=sinA+sinC，
所以2b=a+c，
又A−1,0,C1,0，则b=2，
所以a+c=4，即BC+BA=4>2，
由于a>b>c，
所以点B的轨迹是以A−1,0,C1,0为焦点的椭圆的左半部分，
由22−11=3，
所以顶点B的轨迹方程是x24+y23=1x<0.
故选：A.
【变式4-2】（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：x−22+y2=20（圆心为A），点B−2,0，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．x25−y2=1B．x2+y25=1
C．x25+y2=1D．x2−y25=1
【解题思路】根据椭圆的定义求得正确答案.
【解答过程】圆A：x−22+y2=20的圆心A2,0，半径r=25.
由于−2−22+02=16<20，所以B−2,0在圆A内，AB=4
根据垂直平分线的性质可知QP=QB，
所以QA+QB=QA+QP=r=25>AB，
所以Q点的轨迹是椭圆，且2a=25,a=5.2c=4,c=2,b=a2−c2=1，
所以点Q的轨迹方程是x25+y2=1.
故选：C.
【变式4-3】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知圆C:(x−1)2+y2=16，F(−1,0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （ ）
A．x24+y23=1B．x24+y2=1C．x24−y23=1D．x25+y24=1
【解题思路】由图形可知PF+PC=PA+PC=AC结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点P的轨迹方程.
【解答过程】F(−1,0)，C(1,0)，点F关于折痕l的对称点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线，折痕l与AC相交于点P， 如图所示：
则有PA=PF，可知PF+PC=PA+PC=AC=4>FC=2，
所以点P的轨迹是以F,C为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a=4，焦距2c=2，所以点P的轨迹方程为x24+y23=1，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为x24+y23=1.
故选：A.
【知识点3 椭圆的焦点三角形】
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦
点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知△PQF的顶点P,Q在椭圆x216+y212=1上，顶点F是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在PQ边上，则△PQF的周长是（ ）
A．12B．43C．16D．10
【解题思路】利用椭圆的定义求解即可.
【解答过程】设椭圆的另外一个焦点为F1，如图，

则△PQF的周长为PQ+PF+QF=PF1+PF+QF1+QF=2a+2a=4a=16，
故选：C.
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点B､C在椭圆x23+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为（ ）
A．2B．23
C．4D．43
【解题思路】根据椭圆定义得|AB|+|BF2|=|AC|+|CF2|=2a，结合椭圆方程，即可知△ABC的周长.
【解答过程】由椭圆方程知：2a=23，又|AB|+|BF2|=|AC|+|CF2|=2a，|BF|=|BF2|+|CF2|，
∴△ABC的周长为4a=43，
故选：D.
【变式5-2】（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）在椭圆x24+y22=1上有一点P，F1､F2是椭圆的左､右焦点，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【解题思路】由△F1PF2为直角三角形，讨论直角顶点的位置，分三种情况，分别得出符合要求的点P，可得选项.
【解答过程】当∠PF1F2为直角时，这样的点P有2个，如下图中的点P1,P2；
当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个，如下图中的点P3,P4；
当∠F1PF2为直角时，因为椭圆x24+y22=1中a=2,b=2=c，所以这样的点P有2个，如下图中的点P5,P6，
所以符合条件△F1PF2为直角三角形的点P有6个，
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆x29+y24=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且cs∠F1PF2=13，则△PF1F2的面积为（ ）
A．6B．12C．2D．22
【解题思路】设PF1=m,PF2=n，先得到m+n的值，再代入cs∠F1PF2的余弦定理计算可得mn，再利用三角形的面积公式计算即可.
【解答过程】对于椭圆x29+y24=1有a=3,b=2,c=5，
设PF1=m,PF2=n，
则根据椭圆的定义得m+n=2a=6，
又cs∠F1PF2=m2+n2−2522mm=m+n2−2mn−202mm=36−2mn−202mm=13，
解得mn=6，
S△PF1F2=12mnsin∠F1PF2=12×6×1−132=22.
故选：D.
【题型6 椭圆中的最值问题】
【例6】（2023·高二课时练习）已知椭圆C:x225+y29=1的左右焦点分别为F1､F2，P是椭圆上的动点，求PF1⋅PF2的最大值及最小值.
【解题思路】根据椭圆的定义，结合焦半径的取值范围，建立PF1⋅PF2的函数关系，求函数的最值即可.
【解答过程】对椭圆C:x225+y29=1，a=5,c=4，不妨设PF1=x
又PF1∈[a−c,a+c]，即x∈[1,9]，则PF2=10−x，
PF1⋅PF2 =x10−x,x∈[1,9]，
对y=x(10−x)，其在[1,5]单调递增，在[5,9]单调递减.
故当x=5时，ymax=5×5=25，当x=1或9时，ymin=9.
即PF1⋅PF2的最大值和最小值分别为25和9.
【变式6-1】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆x24+y236=1上一点，A(0,5)，求|PA|的最小值与最大值．
【解题思路】设点P的坐标为x0,y0，则x024+y024=1，由PA=x0−02+y0−52 =89y02−10y0+29，利用二次函数的性质求解.
【解答过程】因为P是椭圆x24+y236=1上一点，
所以a=6,b=2,c=42，且椭圆焦点在y轴上，
点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为x0,y0，
则x024+y0236=1，
所以PA=x0−02+y0−52，
=89y02−10y0+29，
=89y0−4582+78，
因为458∈−6,6，
当y0=458时，zmin=78，
所以PAmin=144
当y0=−6时， PAmax=89×−62−10×−6+29=11.
【变式6-2】（2023·高二课时练习）已知椭圆C：x225+y216=1内有一点M2,3，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：
(1)PM−PF1的最大值与最小值；
(2)PM+PF1的最大值与最小值．
【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得||PM|−|PF1||≤|MF1|然后得到|PM|−|PF1|的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出|PM|+|PF1|，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
【解答过程】（1）由椭圆C:x225+y216=1可知a=5，b=4，c=3，
则F1(−3,0)，F2(3,0)，

则||PM|−|PF1||≤|MF1|=34，当且仅当P、M、F1三点共线时成立，
所以−34≤|PM|−|PF1|≤34，
所以|PM|−|PF1|的最大值与最小值分别为34和−34；
（2）2a=10，F2(3,0)，|MF2|=10，
设P是椭圆上任一点，由|PF1|+|PF2|=2a=10，|PM|≥|PF2|−|MF2|，
∴|PM|+|PF1|≥|PF2|−|MF2|+|PF1|=2a−|MF2|=10−10，
等号仅当|PM|=|PF2|−|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，
由|PM|≤|PF2|+|MF2|，
∴|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+10，
等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，
故|PM|+|PF1|的最大值10+10与最小值为10−10．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x225+y216=1内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M.
（1）求|MP|−|MF|的最大值；
（2）求|MP|+MF的最小值；
（3）求使得|MP|+53|MF|的值最小时点M的坐标.
【解题思路】（1）利用数形结合，根据三点共线分析|MP|−|MF|的最大值；（2）利用椭圆的定义转化MP+MF=MP−MF1+2a≤PF1+2a，求|MP|+MF的最小值；（3）利用椭圆的第二定义，转化|MP|+53|MF|=MP+d，再利用数形结合分析得到最小值，以及取得最小值时的点M的坐标.
【解答过程】（1）a2=25,b2=16，所以c2=9，即F3,0
当点M,F,P三点不共线时，MP−MF
（2）设椭圆的左焦点F1−3,0，根据椭圆定义可知MF=2a−MF1，
即MP+MF=MP−MF1+2a≤PF1+2a，如图，当P,F1,M三点共线时，等号成立，
PF1=−3−12+0−12=17，所以|MP|+MF的最大值是17+10.

（3）椭圆的右准线x=253，设椭圆上的点M到右准线的距离为d，因为MFd=35，所以MF=35d， |MP|+53|MF|=MP+d，如图，MP+d的最小值是点P到直线x=253的距离，即253−1=223

所以|MP|+53|MF|的最小值是223，此时点M的纵坐标是1，代入椭圆方程可得x=5154，所以|MP|+53|MF|的值最小时点M的坐标5154,1 .椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系