人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步达标检测题，共27页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2296" 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 PAGEREF _Tc2296 \h 1
\l "_Tc3397" 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 PAGEREF _Tc3397 \h 2
\l "_Tc7213" 【题型3 椭圆的对称性的应用】 PAGEREF _Tc7213 \h 3
\l "_Tc4152" 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 PAGEREF _Tc4152 \h 4
\l "_Tc13633" 【题型5 椭圆的焦距与长轴、短轴】 PAGEREF _Tc13633 \h 4
\l "_Tc22618" 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 PAGEREF _Tc22618 \h 5
\l "_Tc14181" 【题型7 根据椭圆的离心率求参数】 PAGEREF _Tc14181 \h 6
\l "_Tc1134" 【题型8 椭圆的实际应用问题】 PAGEREF _Tc1134 \h 6
【知识点1 椭圆的范围】
1．椭圆的范围
设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
【题型1 椭圆中x、y的取值范围】
【例1】（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是 ．
【变式1-1】（2022·高二课时练习）设集合A={x|x24+3y24=1}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（ ）
A．[－2，2]B．[0，2]
C．[0，＋∞）D．{（－1，1），（1，1）}
【变式1-2】（2023·上海·高二专题练习）下列关于曲线Γ:x29+y4=1的结论正确的是（ ）
A．曲线Γ是椭圆B．y的取值范围是[−3,3]
C．关于直线y=x对称D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6
【变式1-3】（2022·高二课时练习）讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形．
(1)x24+y23=1
(2)4x2+y2=1．
【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】
【例2】（2023·高二课时练习）已知椭圆x24+y2=1经过点Pm,n，则m2+n2的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,4C．4,+∞D．1,4
【变式2-1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，下顶点为B，点M为C上的任意一点，则MB的最大值是（ ）
A．322bB．2bC．3bD．2b
【变式2-2】（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知椭圆x216+y212=1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则MA⋅MF的取值范围为（ ）
A．−16,0B．−8,0
C．0,8D．0,16
【变式2-3】（2022秋·高二课时练习）已知点P(x,y)是椭圆x216+y212=1上一点，求点P到点A(3,0)的距离的取值范围．
【知识点2 椭圆的对称性】
1．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
【题型3 椭圆的对称性的应用】
【例3】（2023秋·高二课时练习）若点3,2在椭圆x2a2+y2b2=1上，则下列说法正确的是（ ）
A．点−3,−2不在椭圆上B．点3,−2不在椭圆上
C．点−3,2在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
【变式3-1】（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知椭圆C:x225+y29=1的左､右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点，则满足△PF1F2为直角三角形的点P有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【变式3-2】（2023·高二课时练习）若点4,3在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则有（ ）．
A．点4,−3不在椭圆上B．点3,4在椭圆上
C．点−4,−3不在椭圆上D．点−4,3在椭圆上
【变式3-3】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）已知椭圆x236+y29=1与x轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，F是椭圆C的右焦点，则P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=（ ）
A．20B．153C．36D．30
【知识点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率】
1．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
2．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【例4】（2023春·四川泸州·高二校考期末）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A．x24+y26=1B．x26+y24=1
C．x236+y232=1或x232+y236=1D．x236+y232=1
【变式4-1】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）过点3,2且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．x25+y210=1B．x210+y215=1C．x215+y210=1D．x210+y25=1
【变式4-2】（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A．x281+y272=1B．x281+y29=1
C．x272+y281=1D．x29+y272=1
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2,，离心率为32，过点F1的直线l交椭圆于A,B两点，若△AF2B的周长为8，则C的方程为（ ）
A． x216+y24=1B． x216+y212=1C． x24+y23=1D． x24+y2=1
【题型5 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【例5】（2023春·上海长宁·高二校考期中）椭圆x212+y24=1和x216+y28=1（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．顶点相同
【变式5-1】（2023·北京东城·统考二模）已知椭圆x23m+y2m=1的一个焦点的坐标是( −2, 0 )，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2D．4
【变式5-2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆C:x2m+3+y2m−1=1的左､右焦点分别是F1,F2，P是椭圆C短轴的一个端点，且∠F1PF2=90∘，则椭圆C的长轴长是（ ）
A．22B．4C．42D．8
【变式5-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知P是椭圆C:y24+x23=1上的一点，F1,F2是椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的短轴长为23B．F1,F2的坐标为−1,0,1,0
C．椭圆C的离心率为12D．存在点P，使得∠F1PF2=π2
【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例6】（2023春·云南昆明·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是C的左，右焦点，P为C上一点，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2=π6，则C的离心率为（ ）
A．33B．23C．63D．2−3
【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．0,12B．0,13C．13,1D．23,1
【变式6-2】（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点P位于第一象限，直线PF与椭圆C另交于点A，且PF=23FA，若cs∠AFQ=13，FQ=2FA，则椭圆C的离心率为（ ）
A．34B．22C．33D．54
【变式6-3】（2023春·湖南衡阳·高二统考期末）设椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，椭圆C上的两点A,B关于原点对称，且满足FA⋅FB=0，FB≤FA≤2FB，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．0,22B．22,53
C．23,22D．22,1
【题型7 根据椭圆的离心率求参数】
【例7】（2023秋·浙江杭州·高二期末）已知焦点在y轴上的椭圆x25+y2m=1的离心率是12，则m的值是（ ）
A．54B．154C．203D．154或203
【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）设e是椭圆x24+y2k=1的离心率，且e∈12,1，则实数k的取值范围是（ ）
A．(0,3)B．3,163C．(0,3)∪163,+∞D．(0,2)
【变式7-2】（2023秋·高二单元测试）设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2．若e2=3e1，则a=（ ）
A．233B．2C．3D．6
【变式7-3】（2023春·江苏镇江·高二校考阶段练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为1的直线l过左焦点F1，交C于A，B两点，且△ABF2的内切圆的面积是π，若椭圆C的离心率的取值范围为24,22，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．24,22B．1,2C．4,8D．42,82
【题型8 椭圆的实际应用问题】
【例8】（2023·高二课时练习）2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（ ）
A．11680kmB．5840kmC．19000kmD．9500km
【变式8-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．13B．25C．23D．45
【变式8-2】（2023·高二课时练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，卡门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知此椭圆的离心率为59，且F1F2=5cm，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A．9cmB．10cmC．14cmD．18cm
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A．2−3B．2−1C．3−1D．22
专题3.2 椭圆的简单几何性质【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2296" 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 PAGEREF _Tc2296 \h 1
\l "_Tc3397" 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 PAGEREF _Tc3397 \h 3
\l "_Tc7213" 【题型3 椭圆的对称性的应用】 PAGEREF _Tc7213 \h 6
\l "_Tc4152" 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 PAGEREF _Tc4152 \h 9
\l "_Tc13633" 【题型5 椭圆的焦距与长轴、短轴】 PAGEREF _Tc13633 \h 10
\l "_Tc22618" 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 PAGEREF _Tc22618 \h 12
\l "_Tc14181" 【题型7 根据椭圆的离心率求参数】 PAGEREF _Tc14181 \h 15
\l "_Tc1134" 【题型8 椭圆的实际应用问题】 PAGEREF _Tc1134 \h 16
【知识点1 椭圆的范围】
1．椭圆的范围
设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
【题型1 椭圆中x、y的取值范围】
【例1】（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是 −3,3 ．
【解题思路】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解.
【解答过程】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆x23+y28=1上，
所以点(m,n)满足椭圆的范围x≤3,y≤22，
因此m≤3，即−3≤m≤3．
故答案为：−3,3.
【变式1-1】（2022·高二课时练习）设集合A={x|x24+3y24=1}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（ ）
A．[－2，2]B．[0，2]
C．[0，＋∞）D．{（－1，1），（1，1）}
【解题思路】由椭圆的标准方程确定集合A，由二次函数性质确定集合A，然后由交集定义计算．
【解答过程】A={x|x24+3y24=1}={x|−2≤x≤2}=[−2,2]，
B={y|y=x2}={y|y≥0}=[0,+∞)，
所以A∩B=[0,2]．
故选：B．
【变式1-2】（2023·上海·高二专题练习）下列关于曲线Γ:x29+y4=1的结论正确的是（ ）
A．曲线Γ是椭圆B．y的取值范围是[−3,3]
C．关于直线y=x对称D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6
【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得y4≤1，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线Γ:x29+y4=1与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D.
【解答过程】解：因为曲线Γ:x29+y4=1，不是椭圆方程，
所以曲线Γ不是椭圆，故A正确；
因为曲线Γ:x29+y4=1，
所以y4≤1，所以y∈−1,1，故B错误；
曲线Γ:x29+y4=1与x轴正半轴的交点坐标为3,0，
若曲线Γ:x29+y4=1关于直线y=x对称，
则点0,3也在曲线Γ:x29+y4=1上，
又09+9=9≠1，所以点0,3不在曲线Γ:x29+y4=1上，
所以曲线Γ:x29+y4=1不关于直线y=x对称，故C错误；
对于D，曲线Γ:x29+y4=1与坐标轴的交点坐标为±3,0,0,±1，
则以±3,0,0,±1四点为顶点的四边形的面积为12×6×2=6，
所以曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.
故选：D.
【变式1-3】（2022·高二课时练习）讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形．
(1)x24+y23=1
(2)4x2+y2=1．
【解题思路】（1）由x24+y23=1得−2≤x≤2，−3≤y≤3，描点可作图；
（2）化为标准式可得范围，描点可作图．
【解答过程】（1）
由x24+y23=1得−2≤x≤2，−3≤y≤3，其图形如下：
（2）
由4x2+y2=1得x214+y2=1则−12≤x≤12，−1≤y≤1，其图形如下：
【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】
【例2】（2023·高二课时练习）已知椭圆x24+y2=1经过点Pm,n，则m2+n2的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,4C．4,+∞D．1,4
【解题思路】将点Pm,n代入x24+y2=1得n2=1−m24，代入到m2+n2，根据椭圆的范围进行求解．
【解答过程】因为椭圆x24+y2=1经过点Pm,n，所以m24+n2=1，所以n2=1−m24，
则m2+n2=m2+1−m24=3m24+1．
因为椭圆x24+y2=1经过点Pm,n，所以−2≤m≤2，即0≤m2≤4，
故m2+n2的取值范围是1,4．
故选：D．
【变式2-1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，下顶点为B，点M为C上的任意一点，则MB的最大值是（ ）
A．322bB．2bC．3bD．2b
【解题思路】设M(x0,y0)，得到x023b2+y02b2=1，求得MB2=−2y0−b22+9b22，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】由椭圆C的离心率e=63，可得a=3b，所以椭圆的方程为x23b2+y2b2=1，
设M(x0,y0)，则x023b2+y02b2=1，可得x02=3b2−3y02，
又由点B0,−b，
可得MB2=x02+(y0+b)2=3b2−3y02+(y0+b)2=−2y0−b22+9b22，
因为−b≤y0≤b，所以MB2max=9b22，所以MBmax=32b2.
故选：A.
【变式2-2】（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知椭圆x216+y212=1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则MA⋅MF的取值范围为（ ）
A．−16,0B．−8,0
C．0,8D．0,16
【解题思路】解法一 ：由题意可得，A−4,0，F2,0，设Mx0,y0.表示出MA⋅MF=14x0+42，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，A−4,0，F2,0，设Mx0,y0，取线段AF的中点N−1,0，可推得MA⋅AF=MN2−9=14x0+42，然后根据椭圆的范围即可求出范围.
【解答过程】解法一：
由题意知A−4,0，F2,0，设Mx0,y0.
则MA⋅MF=−4−x0,−y0⋅2−x0,−y0 =x0−2x0+4+y02 =x02+2x0−8+12−34x02 =14x02+2x0+4=14x0+42.
因为x0216+y0212=1，所以x0216=1−y0212≤1，所以−4≤x0≤4，
所以0≤MA⋅MF≤16．
解法二：
由题意知A−4,0，F2,0．
设Mx0,y0，取线段AF的中点N，则N−1,0，连接MN.
则MA⋅MF=MA+MF2−MA−MF24 =4MN2−FA24=MN2−9 =x0+12+y02−9 =x02+2x0+1+12−34x02−9 =14x02+2x0+4=14x0+42.
因为x0216+y0212=1，所以x0216=1−y0212≤1，所以−4≤x0≤4，
所以0≤MA⋅MF≤16．
故选：D．
【变式2-3】（2022秋·高二课时练习）已知点P(x,y)是椭圆x216+y212=1上一点，求点P到点A(3,0)的距离的取值范围．
【解题思路】根据题意可知y2=12−3x24(−4≤x≤4)，由两点之间的距离公式可得|PA|=14x2−6x+21，(−4≤x≤4)，再根据二次函数的单调性，即可求出结果.
【解答过程】解：因为点P(x,y)是椭圆x216+y212=1上一点，
所以y2=12−3x24(−4≤x≤4)，
又|PA|=(x−3)2+y2，(−4≤x≤4)，
所以|PA|=(x−3)2+12−3x24=14x2−6x+21，(−4≤x≤4)，
设f(x)=14x2−6x+21，(−4≤x≤4)，
则f(x)=14x2−6x+21=14(x−12)2−15，
所以函数fx在区间[−4,4]上单调递减，
所以f(x)min=f(4)=1，f(x)max=f(−4)=49，
所以14x2−6x+21∈[1,7]，
所以函数点P到点A(3,0)的距离的取值范围[1,7].
【知识点2 椭圆的对称性】
1．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
【题型3 椭圆的对称性的应用】
【例3】（2023秋·高二课时练习）若点3,2在椭圆x2a2+y2b2=1上，则下列说法正确的是（ ）
A．点−3,−2不在椭圆上B．点3,−2不在椭圆上
C．点−3,2在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
【解题思路】根据椭圆的对称性可判断.
【解答过程】点−3,−2与点3,2关于原点对称，
点3,−2与3,2关于x轴对称，
点−3,2与3,2关于y轴对称，
若点3,2在椭圆x2a2+y2b2=1上，根据椭圆的对称性，−3,−2，3,−2，−3,2三点都在椭圆上，
故选：C.
【变式3-1】（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知椭圆C:x225+y29=1的左､右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点，则满足△PF1F2为直角三角形的点P有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【解题思路】根据椭圆的对称性及cs∠F1BF2的值，分类讨论，即可求解.
【解答过程】当F1为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；
当F2为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；
设椭圆C的上顶点为B，
由椭圆C:x225+y29=1，可得a2=25，b2=9，可得a=5、b=3，c=a2−b2=4，
则BF1=BF2=5，F1F2=2c=8，
所以cs∠F1BF2=52+52−822×5×5<0，故∠F1BF2∈π2,π，
所以存在4个点满足以P为直角顶点的△PF1F2，
故满足本题条件的点P共有8个.
故选：D.
【变式3-2】（2023·高二课时练习）若点4,3在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则有（ ）．
A．点4,−3不在椭圆上B．点3,4在椭圆上
C．点−4,−3不在椭圆上D．点−4,3在椭圆上
【解题思路】根据椭圆的对称性判断即可.
【解答过程】解：因为点4,3在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，即16a2+9b2=1，
根据对称性可得点4,−3，−4,−3，−4,3均在椭圆上，故A、C错误，D正确，
因为16a2+9b2−9a2+16b2=71a2−1b2=7b2−a2a2b2<0，
所以9a2+16b2>1，所以点3,4是不在椭圆上；
故选：D.
【变式3-3】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）已知椭圆x236+y29=1与x轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，F是椭圆C的右焦点，则P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=（ ）
A．20B．153C．36D．30
【解题思路】由题意知P1与P5，P2与P4分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为F1，从而|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，|P2F|+|P5F|=2a,|P3F|=a，利用|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a即可求解．
【解答过程】由题意，知P1与P5，P2与P4分别关于y轴对称
设椭圆的左焦点为F1，由已知a=6,
则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，同时|P2F|+|P5F|=2a,|P3F|=a，
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=30，
故选：D．
【知识点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率】
1．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
2．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【例4】（2023春·四川泸州·高二校考期末）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A．x24+y26=1B．x26+y24=1
C．x236+y232=1或x232+y236=1D．x236+y232=1
【解题思路】根据长轴长以及离心率，可求出a=6，c=2，再由b2=a2−c2，进而可求出结果.
【解答过程】由题意知，2a=12，ca=13，所以a=6，c=2，
∴b2=a2−c2=32，
又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在x或y轴上.
∴椭圆方程：x236+y232=1或x232+y236=1
故选：C.
【变式4-1】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）过点3,2且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．x25+y210=1B．x210+y215=1C．x215+y210=1D．x210+y25=1
【解题思路】根据椭圆3x2+8y2=24化为标准方程x28+y23=1，故焦点为(±5,0)，由题意可得9a2+4b2=1a2−b2=5，解方程即可得解.
【解答过程】由3x2+8y2=24化简可得x28+y23=1，
焦点为(±5,0)在x轴上，
同时又过3,2点，设x2a2+y2b2=1，
有9a2+4b2=1a2−b2=5，解得a2=15,b2=10，
故选：C.
【变式4-2】（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A．x281+y272=1B．x281+y29=1
C．x272+y281=1D．x29+y272=1
【解题思路】根据椭圆几何性质可知a=9,c=3，代入椭圆标准方程即可求得结果.
【解答过程】根据题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，
易知2a=18，且2c=13×2a，解得a=9,c=3；
所以a2=81,b2=a2−c2=72，故椭圆方程为x281+y272=1.
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2,，离心率为32，过点F1的直线l交椭圆于A,B两点，若△AF2B的周长为8，则C的方程为（ ）
A． x216+y24=1B． x216+y212=1C． x24+y23=1D． x24+y2=1
【解题思路】由椭圆的定义知△AF2B的周长为4a，结合已知条件求出a，再由离心率求出c，进而求出b，从而得出答案.
【解答过程】依题意△AF2B的周长为4a=8,∴a=2，
e=ca=32,∴c=3,b=1.
则C的方程为x24+y2=1.
故选:D.
【题型5 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【例5】（2023春·上海长宁·高二校考期中）椭圆x212+y24=1和x216+y28=1（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．顶点相同
【解题思路】由椭圆的简单几何性质求解即可.
【解答过程】对于椭圆x212+y24=1，
a12=12，b12=4，c12=12−4=8，∴a1=23，b1=2，c1=22，
∴长轴长2a1=43，短轴长2b1=4，焦距2c1=42，
对于椭圆x216+y28=1，
a22=16，b22=8，c22=16−8=8，∴a2=4，b2=22，c2=22，
∴长轴长2a2=8，短轴长2b2=42，焦距2c2=42，
∴椭圆x212+y24=1和x216+y28=1的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等.
故选：C.
【变式5-1】（2023·北京东城·统考二模）已知椭圆x23m+y2m=1的一个焦点的坐标是( −2, 0 )，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2D．4
【解题思路】根据椭圆的标准方程，结合a2−b2=c2，即可求解.
【解答过程】由条件可知，a2=3m，b2=m，c=2，
所以a2−b2=c2⇔2m=4，得m=2，
故选：C.
【变式5-2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆C:x2m+3+y2m−1=1的左､右焦点分别是F1,F2，P是椭圆C短轴的一个端点，且∠F1PF2=90∘，则椭圆C的长轴长是（ ）
A．22B．4C．42D．8
【解题思路】根据题意得到PF12+PF22=F1F22，得到a2=2b2，即m+3=2m−1，求得m=5，进而求得椭圆的长轴长.
【解答过程】由椭圆C:x2m+3+y2m−1=1，可得a2=m+3,b2=m−1，
因为P是椭圆C短轴的一个端点，且∠F1PF2=90∘，
可得PF12+PF22=F1F22，即2a2=4c2=4(a2−b2)，
可得a2=2b2，即m+3=2m−1，解得m=5，
所以a=22，故椭圆C的长轴长是42.
故选：C.
【变式5-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知P是椭圆C:y24+x23=1上的一点，F1,F2是椭圆C的两个焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的短轴长为23B．F1,F2的坐标为−1,0,1,0
C．椭圆C的离心率为12D．存在点P，使得∠F1PF2=π2
【解题思路】由椭圆标准方程可得基本量，从而可求离心率，故可判断ABC的正误，根据b,c的大小关系可判断D的正误.
【解答过程】椭圆的焦点在y轴上，a=2,b=3,c=1，则短轴长为2b=23，A正确；
F1,F2的坐标为0,±1，B错误；离心率为e=ca=12，C正确；
因为b>c，故以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆没有交点，
故不存在点P，使得∠F1PF2=π2，D错误，
故选：AC.
【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例6】（2023春·云南昆明·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是C的左，右焦点，P为C上一点，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2=π6，则C的离心率为（ ）
A．33B．23C．63D．2−3
【解题思路】根据中点关系可得PF2⊥x轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.
【解答过程】由于线段PF1的中点M在y轴上,O是F1F2的中点，所以MO//PF2,∴PF2⊥x轴，
F1F2=2c，∠PF1F2=π6，所以PF2=F1F2tan∠PF1F2=23c3,PF1=F1F2cs∠PF1F2=2c32=43c3，
由椭圆定义可得23c3+43c3=2a⇒a=3c⇒e=33，
故选：A.
【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．0,12B．0,13C．13,1D．23,1
【解题思路】根据题意可得以F2为圆心，以|PF2|为半径的圆与椭圆有交点，由此列出a,c满足的不等式关系，即可求得答案.
【解答过程】由题意椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，
则|PF2|=|F1F2|=2c,
且需满足以F2为圆心，以|PF2|为半径的圆与椭圆有交点，

即2c≥a−c，即e=ca≥13，又e<1，
故椭圆离心率的取值范围是13,1，
故选：C.
【变式6-2】（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点P位于第一象限，直线PF与椭圆C另交于点A，且PF=23FA，若cs∠AFQ=13，FQ=2FA，则椭圆C的离心率为（ ）
A．34B．22C．33D．54
【解题思路】设椭圆C的左焦点为F′，由椭圆的定义结合题意可得出PF′=32a,PF=a2，再由余弦定理求解即可得出答案.
【解答过程】如图，设椭圆C的左焦点为F′，连接PF′,QF′，所以四边形PFQF′为平行四边形．
设PF=m，则PF′=2a−m=QF．
因为PF=23FA，所以FA=32m，
又因为QF=2FA，所以2a−m=3m，所以m=a2．
在△PFF′中，PF′=32a,PF=a2,FF′=2c,cs∠FPF′=cs∠AFQ=13，
由余弦定理得FF′2=PF′2+PF2−2PF′PFcs∠F′PF，
所以4c2=94a2+14a2−2×3a2×a2×13，所以e=22．
故选：B.
【变式6-3】（2023春·湖南衡阳·高二统考期末）设椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，椭圆C上的两点A,B关于原点对称，且满足FA⋅FB=0，FB≤FA≤2FB，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．0,22B．22,53
C．23,22D．22,1
【解题思路】设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，利用椭圆对称性结合FA⋅FB=0，推出AB=FF′=2c，设AF′=n，AF=m，推出mn=2b2，继而令mn=t，推得t+1t=2c2b2，从而求得a,b,c的关系式，求得答案.
【解答过程】如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，
由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又FA⋅FB=0，即FA⊥FB，
所以四边形AFBF′为矩形，所以AB=FF′=2c，
设AF′=n，AF=m，在Rt△ABF中，BF=n，m+n=2a，m2+n2=4c2，
可得mn=2b2，
所以mn+nm=m2+n2mn=2c2b2，令mn=t，得t+1t=2c2b2．
又FB≤FA≤2FB，得mn=t∈1,2，所以t+1t=2c2b2∈2,52，所以c2b2∈1,54，
结合c2=a2−b2，所以b2a2∈49,12，所以c2a2∈12,59，所以ca∈22,53，
即椭圆C的离心率的取值范围为22,53，
故选：B．
【题型7 根据椭圆的离心率求参数】
【例7】（2023秋·浙江杭州·高二期末）已知焦点在y轴上的椭圆x25+y2m=1的离心率是12，则m的值是（ ）
A．54B．154C．203D．154或203
【解题思路】根据焦点在y轴上的椭圆方程的特征，结合椭圆离心率公式进行求解即可.
【解答过程】因为焦点在y轴上，故m>5，该椭圆的离心率是12，
所以m−5m=12⇒m=203，显然满足m>5，
故选：C.
【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）设e是椭圆x24+y2k=1的离心率，且e∈12,1，则实数k的取值范围是（ ）
A．(0,3)B．3,163C．(0,3)∪163,+∞D．(0,2)
【解题思路】分类讨论，k>4，0【解答过程】当k>4时，c2=k−4，由条件知14163；
当0故选：C．
【变式7-2】（2023秋·高二单元测试）设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2．若e2=3e1，则a=（ ）
A．233B．2C．3D．6
【解题思路】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【解答过程】由e2=3e1，得e22=3e12，因此4−14=3×a2−1a2，而a>1，所以a=233.
故选：A.
【变式7-3】（2023春·江苏镇江·高二校考阶段练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为1的直线l过左焦点F1，交C于A，B两点，且△ABF2的内切圆的面积是π，若椭圆C的离心率的取值范围为24,22，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．24,22B．1,2C．4,8D．42,82
【解题思路】由题可求得S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=2c2AB，S△ABF2=S△EAB+S△EBF2+S△EAF2=2a，即可得出AB=22⋅ac，再根据离心率范围即可求出
【解答过程】解：设△ABF2的内切圆的圆心为E，半径为r，则πr2=π，解得r=1，
∵S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=12⋅AF1⋅F1F2⋅sin∠AF1F2+12⋅BF1⋅F1F2⋅sin∠BF1F2
=12⋅AF1⋅2c⋅sin45∘+12⋅BF1⋅2c⋅sin135∘=2c2AB，
又S△ABF2=S△EAB+S△EBF2+S△EAF2=12⋅AB⋅r+12⋅BF2⋅r+12⋅AF2⋅r
=12AB+BF2+AF2=12×4a=2a,
∴2c2AB=2a，∴AB=22⋅ac，
∵e=ca∈24，22，∴ac∈2,22，则22⋅ac∈4,8，
即线段AB的长度的取值范围是4,8，
故选：C.
【题型8 椭圆的实际应用问题】
【例8】（2023·高二课时练习）2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（ ）
A．11680kmB．5840kmC．19000kmD．9500km
【解题思路】由题意可知a−c=3660，a+c=15340，即可解出2c=11680.
【解答过程】设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），
由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为a−c，最大值为a+c，
根据题意可得近火点满足a−c=3395+265=3660①，
远火点满足a+c=3395+11945=15340②，
由②−①得2c=11680，
故选：A.
【变式8-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．13B．25C．23D．45
【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，依题意可得a+c=1102b2a=44，即可求出离心率.
【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
令y=−c，即−c2a2+x2b2=1，解得x=±b2a，依题意可得a+c=1102b2a=44，
所以a+c=110a2−c2a=22，所以a−ca=22110，所以e=ca=45．
故选：D．
【变式8-2】（2023·高二课时练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，卡门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知此椭圆的离心率为59，且F1F2=5cm，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A．9cmB．10cmC．14cmD．18cm
【解题思路】设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，进而根据题意得e=ca=59,2c=5，故2a=9，再根据椭圆的定义求解即可.
【解答过程】解：设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
因为此椭圆的离心率为59，且F1F2=5cm，
所以e=ca=59,2c=5，所以a=92,c=52，
所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为2a=9cm.
故选：A.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A．2−3B．2−1C．3−1D．22
【解题思路】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.
【解答过程】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由OF⊥BC,|OF|=|OB|=2，得a+c=|BF|=2,∠FBC=45∘，|AB|=2a,|BC|=22，
在△ABC中，∠BAC=60∘，则∠ACB=75∘，sin75∘=sin(45∘+30∘)=22×32+22×12=6+24，
由正弦定理得，2asin75∘=22sin60∘，解得a=2×6+2432=1+13，则c=1−13，
所以该椭圆的离心率e=ca=3−13+1=2−3.
故选：A.