人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精练，共21页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19979" 【题型1 求圆的标准方程】 PAGEREF _Tc19979 \h 1
\l "_Tc10286" 【题型2 求圆的一般方程】 PAGEREF _Tc10286 \h 2
\l "_Tc20765" 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 PAGEREF _Tc20765 \h 3
\l "_Tc21560" 【题型4 圆过定点问题】 PAGEREF _Tc21560 \h 3
\l "_Tc9570" 【题型5 点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc9570 \h 4
\l "_Tc26086" 【题型6 圆有关的轨迹问题】 PAGEREF _Tc26086 \h 5
\l "_Tc32261" 【题型7 与圆有关的对称问题】 PAGEREF _Tc32261 \h 6
【知识点1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过A0,0，B1,1，C4,2三点的圆的一般方程是（ ）
A．x2+y2+8x+6y=0B．x2+y2−8x−6y=0
C．x2+y2+8x−6y=0D．x2+y2−8x+6y=0
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P10,2、P24,4两点，若圆M以P1P2为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x−22+y−32=5B．x−22+y−32=5
C．x−12+y−42=5D．x−12+y−42=5
【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点A1,−1，B−1,1，且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程是（ ）
A．x−12+y−12=4B．x+32+y−12=4
C．x−32+y+12=4D．x+12+y+12=4
【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为(−2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x−2y=0B．x2+y2−4x+2y−5=0
C．x2+y2+4x−2y−5=0D．x2+y2−4x+2y=0
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆C经过原点O(0,0)，A(4,3)，B(1,−3)三点，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2−4x−3y=0B．x2+y2−x+3y=0
C．x2+y2−5x−5=0D．x2+y2−7x+y=0
【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆x2+y2−2x+4y+3=0同圆心，且过点1,−1的圆的方程是（ ）
A．x2+y2−2x+4y−4=0B．x2+y2−2x+4y+4=0
C．x2+y2+2x−4y−4=0D．x2+y2+2x−4y+4=0
【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2x−y−3=0上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2−6x−6y−16=0B．x2+y2−2x+2y−8=0
C．x2+y2−6x−6y+8=0D．x2+y2−2x+2y−56=0
【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知A2,0,B3,3,C−1,1，则△ABC的外接圆的一般方程为（ ）
A．x2+y2−2x+4y=0B．x2+y2−2x+4y+2=0
C．x2+y2−2x−4y=0D．x2+y2−2x−4y+1=0
【知识点2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】
【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知x2+y2+2kx−4y+k2+k−2=0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．6，+∞B．−6,+∞C．−∞,6D．−∞,6
【变式3-1】（2023春·河南·高三阶段练习）“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（2022秋·河南新乡·高二统考期中）方程y+1=−x2+4x表示的曲线为（ ）
A．圆x−22+y+12=4B．圆x−22+y+12=4的右半部分
C．圆x+22+y−12=4D．圆x−22+y+12=4的上半部分
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）若方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示的曲线为圆，则m的取值范围是（ ）
A．141C．m<14D．m>1
【题型4 圆过定点问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点A为直线2x+y−10=0上任意一点，O为坐标原点．则以OA为直径的圆除过定点0,0外还过定点（ ）
A．10,0B．0,10C．2,4D．4,2
【变式4-1】（2022·高二课时练习）点Px,y是直线2x+y−5=0上任意一点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点（ ）
A．0,0和1,1B．0,0和2,2C．0,0和1,2D．0,0和2,1
【变式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考阶段练习）对任意实数m，圆x2+y2−2mx−4my+6m−2=0恒过定点，则其坐标为 .
【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C，则圆C经过定点的坐标为 （其坐标与b无关）.
【知识点3 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
【题型5 点与圆的位置关系】
【例5】（2023·江苏·高二假期作业）点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）若点a,0在圆x2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．−1,1B．−∞,1C．0,1D．1,+∞
【变式5-2】（2023·全国·高二专题练习）两个点M2,−4、N−2,1与圆C:x2+y2−2x+4y−4=0的位置关系是（ ）
A．点M在圆C外，点N在圆C外
B．点M在圆C内，点N在圆C内
C．点M在圆C外，点N在圆C内
D．点M在圆C内，点N在圆C外
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若点P−1,2在圆C:x2+y2−2x+4y+k=0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A．−5,5B．−15,5
C．−∞,−15∪5,+∞D．−15,2
【知识点4 轨迹方程】
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2.求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【题型6 圆有关的轨迹问题】
【例6】（2022秋·广西桂林·高二校考期中）当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q3,0的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A．x+32+y2=4B．x−32+y2=1
C．2x−32+4y2=1D．2x+32+4y2=1
【变式6-1】（2022秋·北京大兴·高二统考期中）已知点M1−3,0和点M23,0，动点Mx,y满足MM1=2MM2，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x2+y2+18x+9=0B．x2+y2+6x+9=0
C．x2+y2+6x−9=0D．x2+y2−10x+9=0
【变式6-2】（2022·全国·高二专题练习）已知点M(−2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是（ ）
A．x2+y2=4B．x2−y2=4
C．x2+y2=4(x≠±2)D．x2−y2=4(x≠±2)
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(2,0)，点M满足|MA||MB|=2，则点M的轨迹方程为（ ）
A．(x+4)2+y2=16B．(x−4)2+y2=16
C．x2+(y+4)2=16D．x2+(y−4)2=16
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【题型7 与圆有关的对称问题】
【例7】（2023秋·河南焦作·高二校考期末）圆C:(x−1)2+(y−1)2=2关于直线l:y=x−1对称后的圆的方程为（ ）
A．(x−2)2+y2=2B．(x+2)2+y2=2
C．x2+(y−2)2=2D．x2+(y+2)2=2
【变式7-1】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆C1:x2+y2=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称，则圆C2的标准方程为（ ）
A．x+42+y+22=4B．x−42+y−22=4
C．x+22+y+42=4D．x−22+y−42=4
【变式7-2】（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆C:x2+y2+2kx+2my−4=0上，且M、N两点关于直线x−y+1=0对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为22B．最小值为22C．最小值为322D．最大值为322
【变式7-3】（2022秋·重庆云阳·高二校考期末）已知圆x2+y2−2x+4y+4=0关于直线2ax−by−2=0a>0,b>0对称，则ab的最大值为（ ）
A．2B．1C．12D．14
专题2.6 圆的方程【七大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19979" 【题型1 求圆的标准方程】 PAGEREF _Tc19979 \h 1
\l "_Tc10286" 【题型2 求圆的一般方程】 PAGEREF _Tc10286 \h 3
\l "_Tc20765" 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 PAGEREF _Tc20765 \h 5
\l "_Tc21560" 【题型4 圆过定点问题】 PAGEREF _Tc21560 \h 6
\l "_Tc9570" 【题型5 点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc9570 \h 8
\l "_Tc26086" 【题型6 圆有关的轨迹问题】 PAGEREF _Tc26086 \h 10
\l "_Tc32261" 【题型7 与圆有关的对称问题】 PAGEREF _Tc32261 \h 11
【知识点1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过A0,0，B1,1，C4,2三点的圆的一般方程是（ ）
A．x2+y2+8x+6y=0B．x2+y2−8x−6y=0
C．x2+y2+8x−6y=0D．x2+y2−8x+6y=0
【解题思路】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入已知点得方程组，求解可得圆的方程.
【解答过程】解：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为A0,0，B1,1，C4,2三点在圆上，所以F=0,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0,解得D=−8,E=6,F=0,于是所求圆的一般方程是x2+y2−8x+6y=0.
故选：D.
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P10,2、P24,4两点，若圆M以P1P2为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x−22+y−32=5B．x−22+y−32=5
C．x−12+y−42=5D．x−12+y−42=5
【解题思路】求出圆心M坐标以及圆M的半径，即可得出圆M的标准方程.
【解答过程】由题意可知，圆心M的横坐标为0+42=2，纵坐标为2+42=3，即点M2,3，
圆M的半径为MP1=2−02+3−22=5，
因此，圆M的标准方程为x−22+y−32=5.
故选：A.
【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点A1,−1，B−1,1，且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程是（ ）
A．x−12+y−12=4B．x+32+y−12=4
C．x−32+y+12=4D．x+12+y+12=4
【解题思路】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线x+y−2=0上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．
【解答过程】因为过点A1,−1与B−1,1，
所以线段AB的中点坐标为0,0，kAB=1−−1−1−1=−1，
所以线段AB的中垂线的斜率为k=1，
所以线段AB的中垂线的方程为y=x，
又因为圆心在直线x+y−2=0上，
所以x+y−2=0y=x，解得x=1y=1，
所以圆心为1,1，r=1−12+1+12=2
所以圆的方程为x−12+y−12=4.
故选：A.
【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为(−2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x−2y=0B．x2+y2−4x+2y−5=0
C．x2+y2+4x−2y−5=0D．x2+y2−4x+2y=0
【解题思路】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.
【解答过程】设直径的两个端点分别A(a,0),B(0,b)，
圆心C为点(−2,1),由中点坐标公式，得a+02=−2,0+b2=1，解得a=−4,b=2.
∴半径r=−2+42+1−02=5，
∴圆的方程是(x+2)2+(y−1)2=5,即x2+y2+4x−2y=0.
故选：A.
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆C经过原点O(0,0)，A(4,3)，B(1,−3)三点，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2−4x−3y=0B．x2+y2−x+3y=0
C．x2+y2−5x−5=0D．x2+y2−7x+y=0
【解题思路】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2−4F>0，
解方程组16+9+4D+3E+F=01+9+D−3E+F=0F=0即得解.
【解答过程】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2−4F>0，
把点O(0,0)，A(4,3)，B(1,−3)代入得
16+9+4D+3E+F=01+9+D−3E+F=0F=0，
解得D=−7，E=1，F=0，
所以圆的方程是x2+y2−7x+y=0．
故选：D．
【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆x2+y2−2x+4y+3=0同圆心，且过点1,−1的圆的方程是（ ）
A．x2+y2−2x+4y−4=0B．x2+y2−2x+4y+4=0
C．x2+y2+2x−4y−4=0D．x2+y2+2x−4y+4=0
【解题思路】根据同圆心,可设圆的一般式方程为x2+y2−2x+4y+m=0,代入点即可求解.
【解答过程】设所求圆的方程为x2+y2−2x+4y+m=0，由该圆过点1,−1，得m＝4，
所以所求圆的方程为x2+y2−2x+4y+4=0.
故选：B.
【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2x−y−3=0上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2−6x−6y−16=0B．x2+y2−2x+2y−8=0
C．x2+y2−6x−6y+8=0D．x2+y2−2x+2y−56=0
【解题思路】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.
【解答过程】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标为−D2,−E2，
因为圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2x−y−3=0上，
所以2×−D2−−E2−3=00+22+2E+F=042+62+4D+6E+F=0，解得D=−6E=−6F=8，
所以圆C的方程为x2+y2−6x−6y+8=0.
故选：C.
【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知A2,0,B3,3,C−1,1，则△ABC的外接圆的一般方程为（ ）
A．x2+y2−2x+4y=0B．x2+y2−2x+4y+2=0
C．x2+y2−2x−4y=0D．x2+y2−2x−4y+1=0
【解题思路】设△ABC外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，然后将A,B,C三点坐标代入解方程组求出D,E,F的值，从而可求出△ABC的外接圆的一般方程.
【解答过程】设△ABC外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意可得：22+02+2D+0⋅E+F=032+32+3D+3E+F=0−12+12−D+E+F=0，解得：D=−2E=−4F=0，
即△ABC的外接圆的方程为：x2+y2−2x−4y=0．
故选：C.
【知识点2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】
【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知x2+y2+2kx−4y+k2+k−2=0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．6，+∞B．−6,+∞C．−∞,6D．−∞,6
【解题思路】方程配方后得x+k2+y−22=6−k，根据圆的半径大于0求解.
【解答过程】由方程x2+y2+2kx−4y+k2+k−2=0可得x+k2+y−22=6−k，
所以当r=6−k>0时表示圆，解得k<6.
故选：C.
【变式3-1】（2023春·河南·高三阶段练习）“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2−4F>0可得答案.
【解答过程】因为方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0，即x2+y2+ax+3y+5a2=0表示圆，
等价于a2+9−10a>0，解得a>9或a<1.
故“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3-2】（2022秋·河南新乡·高二统考期中）方程y+1=−x2+4x表示的曲线为（ ）
A．圆x−22+y+12=4B．圆x−22+y+12=4的右半部分
C．圆x+22+y−12=4D．圆x−22+y+12=4的上半部分
【解题思路】平方后可判断曲线的形状.
【解答过程】因为y+1=−x2+4x≥0，所以y+12=−x2+4xy≥−1，
即x−22+y+12=4y≥−1，
故方程y+1=−x2+4x表示的曲线为圆x−22+y+12=4的上半部分.
故选：D.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）若方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示的曲线为圆，则m的取值范围是（ ）
A．141C．m<14D．m>1
【解题思路】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，即可求出m的取值范围.
【解答过程】方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，
即4m2−5m+1>0，解可得，m<14或m>1，
故选：B.
【题型4 圆过定点问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点A为直线2x+y−10=0上任意一点，O为坐标原点．则以OA为直径的圆除过定点0,0外还过定点（ ）
A．10,0B．0,10C．2,4D．4,2
【解题思路】设OB垂直于直线2x+y−10=0，可知圆恒过垂足B；两条直线方程联立可求得B点坐标.
【解答过程】设OB垂直于直线2x+y−10=0，垂足为B，则直线OB方程为：y=12x，
由圆的性质可知：以OA为直径的圆恒过点B，
由2x+y−10=0y=12x得：x=4y=2，∴以OA为直径的圆恒过定点4,2.
故选：D.
【变式4-1】（2022·高二课时练习）点Px,y是直线2x+y−5=0上任意一点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点（ ）
A．0,0和1,1B．0,0和2,2C．0,0和1,2D．0,0和2,1
【解题思路】设点Pt,5−2t，求出以OP为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【解答过程】设点Pt,5−2t，则线段OP的中点为Mt2,5−2t2，
圆M的半径为OM=t2+5−2t24=5t2−20t+252，
所以，以OP为直径为圆的方程为x−t22+y−5−2t22=5t2−20t+254，
即x2+y2−tx+2t−5y=0，即x2+y2−5y+t2y−x=0，
由2y−x=0x2+y2−5y=0，解得x=0y=0或x=2y=1，
因此，以OP为直径的圆经过定点坐标为0,0、2,1.
故选：D.
【变式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考阶段练习）对任意实数m，圆x2+y2−2mx−4my+6m−2=0恒过定点，则其坐标为 1,1、15,75 .
【解题思路】将圆的方程重新按m合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.
【解答过程】由x2+y2−2mx−4my+6m−2=0由得−2mx+2y−3+x2+y2−2=0，故x+2y−3=0x2+y2−2=0，解得x=1y=1或x=15y=75.
故答案为：1,1、15,75.
【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C，则圆C经过定点的坐标为 (0,1)和(−2,1) （其坐标与b无关）.
【解题思路】设出f(x)的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求出系数，得圆的方程（含有b），分析此方程可得圆所过定点．
【解答过程】二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为M(m,0),N(n,0),B(0,b)，易知b≠0，m,n满足m+n=−2，m≠n，m2+2m+b=0，n2+2n+b=0，设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
m2+Dm+F=0①n2+Dn+F=0②b2+Eb+F=0③，
①－②得m2−n2+D(m−n)=0，D=−(m+n)=2，∴n2+2n+F=0，从而F=b，
代入③得E=−b−1，
∴圆C方程为x2+y2+2x−(b+1)y+b=0，
整理得x2+y2+2x−y+b(−y+1)=0，
由x2+y2+2x−y=0−y+1=0得x=0,y=1或x=−2y=1．
∴圆C过定点(0,1)和(−2,1)．
故答案为：(0,1)和(−2,1)．
【知识点3 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
【题型5 点与圆的位置关系】
【例5】（2023·江苏·高二假期作业）点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
【解题思路】计算P到圆心的距离和半径作比较即可.
【解答过程】圆x2+y2=24的圆心为O0,0，半径r=26，PO=1+9=10故点P在圆内.
故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）若点a,0在圆x2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．−1,1B．−∞,1C．0,1D．1,+∞
【解题思路】利用点与圆的位置关系可得出关于实数a的不等式，解之即可.
【解答过程】由题意可得a2<1，解得−1故选：A.
【变式5-2】（2023·全国·高二专题练习）两个点M2,−4、N−2,1与圆C:x2+y2−2x+4y−4=0的位置关系是（ ）
A．点M在圆C外，点N在圆C外
B．点M在圆C内，点N在圆C内
C．点M在圆C外，点N在圆C内
D．点M在圆C内，点N在圆C外
【解题思路】本题可将点M、N代入方程左边，通过得出的值与0的大小关系即可判断出结果.
【解答过程】将M2,−4代入方程左边得22+−42−2×2+4×−4−4=−4<0，
则点M在圆C内，
将N−2,1代入方程左边得−22+12−2×−2+4−4=9>0，
则点N在圆C外，
故选：D.
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若点P−1,2在圆C:x2+y2−2x+4y+k=0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A．−5,5B．−15,5
C．−∞,−15∪5,+∞D．−15,2
【解题思路】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可
【解答过程】圆C:x2+y2−2x+4y+k=0，
则圆C:x−12+y+22=5−k，圆心C1,−2，半径r=5−kk<5，
∵点P−1,2在圆C:x2+y2−2x+4y+k=0的外部，
∴PC>r，即1+12+−2−22>5−k，解得k>−15，
综上所述，实数k的取值范围是−15,5.
故选：B.
【知识点4 轨迹方程】
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2.求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【题型6 圆有关的轨迹问题】
【例6】（2022秋·广西桂林·高二校考期中）当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q3,0的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A．x+32+y2=4B．x−32+y2=1
C．2x−32+4y2=1D．2x+32+4y2=1
【解题思路】设点Px0,y0，PQ的中点M的坐标为x,y，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可.
【解答过程】设点Px0,y0，PQ的中点M的坐标为x,y，
∵Q3,0，由中点坐标公式可得x=x0+32y=y0+02，可得x0=2x−3y0=2y，
又点P在圆x2+y2=1，则x02+y02=1，即2x−32+4y2=1.
因此，线段PQ的中点的轨迹方程为2x−32+4y2=1.
故选：C.
【变式6-1】（2022秋·北京大兴·高二统考期中）已知点M1−3,0和点M23,0，动点Mx,y满足MM1=2MM2，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x2+y2+18x+9=0B．x2+y2+6x+9=0
C．x2+y2+6x−9=0D．x2+y2−10x+9=0
【解题思路】根据两点间的距离公式列式求解即可.
【解答过程】解：因为点M1−3,0和点M23,0，动点Mx,y，
所以MM1=x+32+y2,MM2=x−32+y2，
又因为其满足MM1=2MM2，
所以x+32+y2=2x−32+y2，整理得：x2+y2−10x+9=0
所以点M的轨迹方程为x2+y2−10x+9=0.
故选：D.
【变式6-2】（2022·全国·高二专题练习）已知点M(−2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是（ ）
A．x2+y2=4B．x2−y2=4
C．x2+y2=4(x≠±2)D．x2−y2=4(x≠±2)
【解题思路】设P(x,y)，根据kMP⋅kNP=−1即得.
【解答过程】设P(x,y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP⋅kNP=−1，
即yx+2⋅yx−2=−1，所以x2+y2=4，
因为P为直角三角形的直角顶点，
所以x≠±2，故所求轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2)．
故选：C.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(2,0)，点M满足|MA||MB|=2，则点M的轨迹方程为（ ）
A．(x+4)2+y2=16B．(x−4)2+y2=16
C．x2+(y+4)2=16D．x2+(y−4)2=16
【解题思路】直接设Mx,y，根据两点间距离公式|AB|=x1−x22+y1−y22代入运算整理．
【解答过程】∵|MA||MB|=2，即|MA|=2|MB|
设Mx,y，则x+42+y2=2x−22+y2，整理得(x−4)2+y2=16
故选：B．
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【题型7 与圆有关的对称问题】
【例7】（2023秋·河南焦作·高二校考期末）圆C:(x−1)2+(y−1)2=2关于直线l:y=x−1对称后的圆的方程为（ ）
A．(x−2)2+y2=2B．(x+2)2+y2=2
C．x2+(y−2)2=2D．x2+(y+2)2=2
【解题思路】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.
【解答过程】圆C:(x−1)2+(y−1)2=2的圆心(1,1) 半径为2 ，由l:y=x−1得kl=1，
设圆心关于直线对称点的坐标为(m,n)，则
n−1m−1=−1m+12−n+12−1=0，解得m=2n=0,
所以对称圆的方程为(x−2)2+y2=2.
故选：A.
【变式7-1】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆C1:x2+y2=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称，则圆C2的标准方程为（ ）
A．x+42+y+22=4B．x−42+y−22=4
C．x+22+y+42=4D．x−22+y−42=4
【解题思路】根据题意，求得圆心C1关于直线2x+y+5=0的对称点，即可得到结果.
【解答过程】由题意可得，圆C1的圆心坐标为0,0，半径为2，设圆心C10,0关于直线2x+y+5=0的对称点为C2a,b，则ba×−2=−12×a2+b2+5=0，解得a=−4b=−2，
所以圆C2的标准方程为x+42+y+22=4.
故选：A.
【变式7-2】（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆C:x2+y2+2kx+2my−4=0上，且M、N两点关于直线x−y+1=0对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为22B．最小值为22C．最小值为322D．最大值为322
【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.
【解答过程】由x2+y2+2kx+2my−4=0，得x+k2+y+m2=k2+m2+4，
所以圆心C为−k,−m，半径为r=k2+m2+4，
由题意可得直线x−y+1=0经过圆心C −k,−m，
故有−k+m+1=0，即k=m+1，
所以半径为r=k2+m2+4=m+12+m2+4=2m+122+92≥322，
当m=−12时，圆C的半径的最小值为322.
故选：C.
【变式7-3】（2022秋·重庆云阳·高二校考期末）已知圆x2+y2−2x+4y+4=0关于直线2ax−by−2=0a>0,b>0对称，则ab的最大值为（ ）
A．2B．1C．12D．14
【解题思路】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出ab的最大值.
【解答过程】解：由题意
在圆x2+y2−2x+4y+4=0中，
x−12+y+22=1
∴圆心为A1,−2，半径为1
在直线2ax−by−2=0a>0,b>0中，
圆关于该直线对称
∴直线过圆心A1,−2，
∴2a+2b−2=0，即：a+b=1
∵a+b=1≥2ab
解得：ab≤14
当且仅当a=b=12时等号成立
∴ab的最大值为14.
故选：D.位置关系
判断方法
几何法
代数法(标准方程)
代数法(一般方程)
点在圆上
|MA|=r
(x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内
|MA|(x0-a)2 +(y0-b) 2点在圆外
|MA|>r
(x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
位置关系
判断方法
几何法
代数法(标准方程)
代数法(一般方程)
点在圆上
|MA|=r
(x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内
|MA|(x0-a)2 +(y0-b) 2点在圆外
|MA|>r
(x0-a)2 +(y0-b) 2>r2