四川省眉山市仁寿县2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷

这是一份四川省眉山市仁寿县2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（每小题 4 分，共 12 小题，共计 48 分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．(−3)2=−3B．36=±6C．39=3D．−3−8=2
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a5B．a+2a=3a2
C．(ab)3=ab3D．(−a3)2=−a6
3．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．x2−4y2=(x+y)(x−4y)B．(x+4)(x−4)=x2−16
C．x2−2x+1=(x−1)2D．x2−8x+9=(x−4)2−7
4．计算(−23)2023×(32)2022的结果是（ ）
A．−32B．−23C．23D．32
5．一个三角形的面积为（x3y）2，它的一条边长为（2xy）2，那么这条边上的高为（ ）
A．12x4B．14x4C．12x4yD．12x2
6．下列命题真命题的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
③若a>b，则c−a>c−b；
④无理数都是无限小数；
⑤平方根等于本身的数是0和1．
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简(a+b)2−(a−b)2−a2得（ ）
A．−3aB．−a+2bC．−2aD．a−b
8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，则阴影部分的面积是（ ）
A．12.5B．25C．50D．100
9．多项式x2+x−6可因式分解成(x+a)(x+b)，其中a，b均为整数，则(a+b)2023的值为（ ）
A．−1B．1C．−2023D．2023
10．设a，b是实数，定义一种新运算：a∗b=(a−b)2．下面有四个推断：①a∗b=b∗a，②(a∗b)2=a2∗b2，③a∗(b−c)=(b−c)∗a，④a∗(b+c)=a∗b+a∗c，其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①③D．①②
11．对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：−2x；D：y2 ；E：2x−y有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式B⋅C+A+D+E的值一定是正数；
②存在有理数x，y，使得A+D+2E的值为−2；
③若关于x的多项式M=3(A−B)+mB⋅C（m为常数）不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于−3．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．已知a2+b2=9，则ab-b+a的最大值为（ ）
A．92B．5C．92D．254
二、填空题（每题4分，共6题，共计24分）
13．若ax=2，ay=3，则ax+y= .
14．已知a+1的平方根是±2，2a+b−2的立方根是2，则a2+b2的算术平方根是
15． 当4x2+2kx+25是一个完全平方式，则k的值是
16．若m−n=4，mn=−3，则(m2−4)(n2−4)的值等于
17．若 a2−3a+1+b2+2b+1=0 ，则 a2+1a2−|b| = .
18．已知a=17−1，则a5+2a4−17a3−a2+18a−17的值等于
三、解答题：（共8题，共计78分）
19． 计算：
（1）(2)2−|1−3|+(−3)2+81
（2）(x−2y)2−(x+2y+3)(x+2y−3)
20． 因式分解：
（1）−10xy2+y3+25x2y
（2）a3+a2b−ab2−b3
21． 已知x，y满足(x−2)2+|y−3|=0．
先化简，再求值：[(x−2y)(x+2y)−(x−y)2+y(y+2x)]÷(−2y)．
22． 【材料】：∵4<6<9
∴2<6<3
∴6的整数部分是2，小数部分是6−2．
（1）【应用】：
30的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知6+15的整数部分是x，6−15的小数部分是y，求x+y的值．
（3）【拓展】：已知a，b为有理数，且(a+3)2=b−83，求a−b的值.
23． 若(x2+ax−13)(x2−3x+b)的积中不含x项与x3项，
（1）求a、b的值；
（2）求代数式(−2a2b)2+3ab的值.
24． 如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
（1）用含a，b的整式表示花坛的面积；
（2）若a=2，b=1，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元?
25． 我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算.在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：
（1）已知a，b，c是ΔABC的三边，且满足a2+2b2=2b(a+c)−c2.
判断ΔABC的形状；
（2）两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3(x−1)(x+2)，另一位同学因看错了常数项而分解成3(x+2)(x−3)，请你求出原来的多项式并将原式分解因式.
26． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）【直接应用】若x+y=3，x2+y2=5，求xy的值；
（2）【类比应用】①若(x−3)(x−4)=1，则(x−3)2+(x−4)2= ；
②若x满足(3−4x)(2x−5)=92，求(3−4x)2+4(2x−5)2的值；
③若x满足(2023−x)2+(2020−x)2=2023，求(2023−x)(2020−x)的值；
（3）【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（∠AOB=∠COD=90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若AD=16，SΔAOC+SΔBOD=68，求一块直角三角板的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： （−3）2=9=3，故A错误；
36=6，故B错误；
39≠3，故C错误；
−3−8=2，故C正确.
故答案为：D
【分析】根据算数平方根的定义和立方根的定义即可求解.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a5，运算正确，A选项符合题意；
B、a+2a=3a，运算错误，B选项不符合题意；
C、（ab）3=a3b3，运算错误，C选项不符合题意；
D、（-a3）2=a6，运算错误，D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、合并同类项法则进行计算，判断运算正确的式子即可。
3．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、x2-4y2=（x-2y）（x+2y），A选项错误，不符合题意；
B、等式右边不是积的形式，B选项错误，不符合题意；
C、式子从左到右的变形为因式分解，C选项正确，符合题意；
D、等式右边不是积的形式，D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由因式分解的含义，根据将多项式化为几个整式的积的形式进行判断。
4．【答案】B
【知识点】积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式=（-23）×（-23）2022×（32）2022=（-23）×（-23×32）2022=-23；
故答案为：B.
【分析】根据题意，由幂的乘方、积的乘方运算法则，将式子转变为相同指数的幂的乘法运算。
5．【答案】A
【知识点】整式的除法
【解析】【解答】解：设这条边上的高为h
由三角形的面积公式可知： 12 ×h×（2xy）2＝x6y2，
∴h＝ x42 ，
故答案为：A．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短；平行公理及推论；无理数的概念；真命题与假命题；不等式的定义；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项错误，为假命题；
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，选项正确，为真命题；
③若a＞b，则-a＜-b，继而得到c-a＜c-b，选项错误，为假命题；
④无理数都是无限小数，选项正确，为真命题；
⑤平方根等于本身的为0，选项错误，为假命题；
故真命题的个数为2个；
故答案为：C.
【分析】根据题意，垂线段最短、不等式的性质、无理数的含义、平方根的含义、平行公理来判断命题的真假。
7．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据图可得，b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴原式=-（a+b）-（a-b）-a
=-a-b-a+b-a
=-3a；
故答案为：A.
【分析】根据数轴上两个实数的位置以及二次根式的性质，将式子化简求值即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则BC=AB=a，BD=BE=b，AE=a-b，
∵大正方形与小正方形的面积之差是50，
∴a2-b2=50；
∵S阴影部分=S△ACE+S△AED
S阴影部分=12AE·BC+12AE·BD=12a−ba+b=12a2−b2=12×50=25.
故答案为：B
【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则BC=AB=a，BD=BE=b，可表示出AE的长；再利用大正方形与小正方形的面积之差是50，可得到a2-b2的值；然后根据S阴影部分=S△ACE+S△AED，利用三角形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
9．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(x+a)(x+b)=x2+（a+b）x+ab，(x+a)(x+b)=x2+x−6，
∴a+b=1，ab=-6，
∴(a+b)2023=12023=1，
故答案为：B.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法求出a+b=1，再将其代入(a+b)2023计算即可.
10．【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：①a∗b=（a-b）2，b∗a=（b-a）2，[-（b-a）]2=（b-a）2，选项推断正确；
②（a∗b）2=[（a-b）2]2=（a-b）4，a2∗b2=（a2-b2）2，选项推断错误；
③a∗（b-c）=[a-（b-c）]2=（a-b+c）2，（b-c）∗a=（b-c-a）2=[-（a-b+c）]2，选项推断正确；
④a∗（b+c）=[a-(b+c)]2=(a-b-c)2，a∗b+a∗c=（a-b）2+（a-c）2，选项推断错误；
所以推断正确的序号为①③；
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算，分别运算判断得到答案。
11．【答案】B
【知识点】整式的混合运算；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：①B·C+A+D+E=-2x（x+1）+2x2+y2+2x-y=y2-y，因为y为正整数，当y=1时，y2-y=0，多项式的值不一定为正数，结论错误；
②A+D+2E=2x2+y2+2（2x-y）=-2，2（x+1）2+（y-1）2=1，此时，当x=-1时，y=2时，式子成立，结论正确；
③M=3（A-B）+mB·C=3（2x2-x-1）+m（-2x2-2x）=（6-2m）x2-（3+2m）x-3，因为多项式不含x的一次项，所以m=-32，此时多项式M=9x2-3≥-3，所以结论错误；
故正确的结论为1个；
故答案为：B.
【分析】根据题意，由整式的混合运算、完全平方公式的非负性计算判断答案即可。
12．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a-b）2=a2-2ab+b2， a2+b2=9，
∴（a-b）2+2ab=9，
∴ab=9−（a−b）22，
∴ab-b+a=9−（a−b）22+（a−b）=−12（a−b）2+（a−b）+92=−12（a−b−1）2+5，
∵−12＜0，
∴ab-b+a的最大值为5.
故答案为：B。
【分析】首先根据完全平方公式，得出ab=9−（a−b）22，进而得出ab-b+a=9−（a−b）22+（a−b），整理为：ab-b+a=−12（a−b−1）2+5，根据二次函数的性质即可得出答案。
13．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵ax=2，ay=3，
∴ax+y= ax×ay=2×3=6
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆用，将ax+y变形为 ax×ay，再整体代入即可算出答案.
14．【答案】5
【知识点】平方根的性质；求算术平方根；立方根的性质
【解析】【解答】解：∵a+1的平方根为±2，∴a+1=4，a=3，
∵2a+b-2的立方根为2，∴6+b-2=8，b=4，
∴a2+b2=9+16=25，25的算术平方根为5；
故答案为：5.
【分析】根据平方根、立方根的含义求出a和b，继而计算a2+b2的算术平方根即可。
15．【答案】±10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：4x2+2kx+25=（2x±5）2，
∴2k=2×2×5或2k=-2×2×5，
∴k=10或k=-10；
故答案为：±10.
【分析】根据完全平方公式的含义，求出k的值。
16．【答案】-15
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：（m2-4）（n2-4）=m2n2-4m2-4n2+16=m2n2-4（m2+n2）+16，
∵m-n=4，mn=-3，
∴（m-n）2=m2+n2-2mn=16，m2+n2=10，
∴（m2-4）（n2-4）=m2n2-4（m2+n2）+16=9-40+16=-15；
故答案为：-15.
【分析】根据完全平方公式的含义，计算代数式的值即可。
17．【答案】6
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题目知：
a2−3a+1+(b+1)2=0
又因为算术平方根和平方均为非负数，而他们的和为0，故：
a2−3a+1 =0
(b+1)2=0
则： b=−1 ， a2−3a+1 =0
故： |b|=1 ， a−3+1a=0
a+1a=3
a2+1a2=7
a2+1a2−|b|=6
故答案为：6.
【分析】由a2−3a+1+(b+1)2=0，利用非负数的和未，则每一个数都为0可求出b=−1 ， a2−3a+1 =0，从而得出a+1a=3，将其两边平方可得a2+1a2=7，然后代入计算即可.
18．【答案】-1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a=17-1，
∴（a+1）2=17=a2+2a+1，
∴a2+2a=16，
∴a5+2a4-17a3-a2+18a-17
=a5+2a4-16a3-a3-2a2+16a+a2+2a-16-1
=a3（a2+2a-16）-a（a2+2a-16）+（a2+2a-16）-1
=0-0+0-1
=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据完全平方公式的性质，将式子进行变形求值。
19．【答案】（1）解：原式=2-（3−1）+3+9=2-3+1+3+9=15-3；
（2）解：原式=（x-2y）2-[（x+2y）2-9]
=（x-2y）2-（x+2y）2+9
=（x-2y+x+2y）（x-2y-x-2y）+9
=2x·（-4y）+9
=-8xy+9
=9-8xy；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次格式的性质、绝对值的性质将式子化简求值；
（2）根据完全平方公式、平方差公式将式子化简求值。
20．【答案】（1）解：原式=y（-10xy+y2+25x2）=（y-5x）2；
（2）解：原式=（a3+a2b）-（b3+ab2）
=a2（a+b）-b2（b+a）
=（a+b）（a2-b2）
=（a+b）2（a-b）；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）利用提公因式法、完全平方公式进行因式分解；
（2）利用提公因式法和平方差公式进行因式分解。
21．【答案】解：原式=[x2-4y2-（x2-2xy+y2）+y2+2xy]÷（-2y）
=（4xy-4y2）÷（-2y）
=2y-2x；
∵（x-2）2+|y-3|=0，
∴x=2，y=3；
∴2y-2x=2；
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据题意，利用平方差公式、完全平方公式、去括号等法则将整式化简，结合非负数的性质求出x和y的值，求出式子的值即可。
22．【答案】（1）5；30−5
（2）解：∵9＜15＜16，
∴15的整数部分为3，小数部分为15-3
∴6+15的整数部分x=9，6-15的小数部分y=6-15-2，
∴x+y=9+6-15-2=13-15；
（3）解：（a+3）2=a2+23a+3，（a+3）2=b-83，
∴a2+3=b，23a=-83，
∴a=-4，b=19
∴a-b=-4-19=-23.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵25＜30＜36，
∴30的整数部分为5，小数部分为30-5；
【分析】（1）根据题意估算无理数的大小；
（2）根据无理数的整数部分和小数部分求出x和y的值，求x+y；
（3）将等式左边利用完全平方公式展开，根据等式两边相等列方程求出a和b，计算a-b。
23．【答案】（1）解：原式=x4-3x3+bx2+ax3-3ax2+abx-13x2+x-13b
=x4+（a-3）x3+（b-3a-13）x2+（ab+1）x-13b，
∵式子中不含x项和x3项，
∴a-3=0，ab+1=0
∴a=3，b=-13；
（2）解：原式=4a4b2+3ab
=4a2b2·a2+3ab
=36-3
=33.
【知识点】多项式乘多项式；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）将整式化简，根据不含有x项和x3项，即可得到a和b的值；
（2）根据a和b的值求出代数式的值。
24．【答案】（1）解：花坛的面积=（2a+b）（3b+2a）-6ab
=4a2+3b2+2ab；
（2）解：∵a=2，b=1
∴4a2+3b2+2ab=16+3+4=23（平方米）
23×500=11500（元）
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意，利用作差法表示花坛的面积；
（2）根据花坛面积的代数式，将a和b的值代入，求出花坛的总花费。
25．【答案】（1）解：∵a2+2b2=2b（a+c）-c2，
∴（b-c）2+（a-b）2=0，
∴a=b=c，△ABC为等边三角形；
（2）解：3（x-1）（x+2）=3x2+3x-6，
3（x+2）（x-3）=3x2-3x-18，
∴常数项为-18，一次项为-3，
∴原来的多项式为3x2-3x-6=3（x2-x-2）=3（x-2)(x+1)
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）将等式进行变形，结合a，b，c的数量关系判断三角形的形状；
（2）分别将2名同学的多项式化简，则二者另一方的常数项和一次项的系数为正确，即可得到正确的多项式，进行因式分解即可。
26．【答案】（1）解：∵x+y=3，x2+y2=5，
∴（x+y）2=x2+2xy+y2=5+2xy=9
∴xy=2
（2）解：①∵（x-3）-（x-4）=1，
∴[（x-3）-（x-4）]2=（x-3）2+（x-4）2-2（x-3）（x-4）=1，
∴（x-3）2+（x-4）2=3.
②原式=（3-4x）2+（4x-10）2=[（3-4x）+（4x-10）]2-2（3-4x）（4x-10）
=49-4（3-4x）（2x-5）
=49-4×92
=3；
③∵[（2023-x）-（2020-x）]2=（2023-x）2+（2020-x）2-2（2023-x）（2020-x）
=2023-2（2023-x）（2020-x）
=32，
∴（2023-x）（2020-x）=1007；
（3）解：设OA=OC=x，OB=OD=y，
∵∠AOB=∠COD=90°，点A、O、D三点共线，
∴S△AOC=12OA·OC=12x2，S△BOD=12OB·OD=12y2，
∵S△AOC+S△BOD=68，
∴12x2+12y2=68，
∴x2+y2=136，
∵AD=16，
∴x+y=16，
∴（x+y）2=162=256，
∴2xy=256-（x2+y2）=120，
∴xy=60，
∴S△AOB=12OA·OB=12xy=12×60=30.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式求出答案即可；
（2）根据完全平方公式求出答案即可；
（3）根据完全平方公式、三角形的面积公式求出答案即可。