2023-2024学年四川省眉山市仁寿县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下面统计图最有利于表示各部分数量与总数关系的是（ ）
A．扇形统计图B．条形统计图
C．折线统计图D．直方图
2．下列四个实数中最大的是（ ）
A．B．0C．D．π
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6B．a2•a4＝a6C．a2+a4＝a6D．a2÷a4＝a6
4．若a2＝9，b3＝﹣8，且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．5D．﹣1或5
5．如图，已知∠AOB＝48°，点C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，以OD长为半径作弧，交OC于点F；③以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接CG并延长交OA于点H．则∠AHC的度数为（ ）
A．24°B．42°C．48°D．96°
6．下列说法中正确的是（ ）
A．（﹣6）2的平方根是﹣6
B．全等三角形对应边上的高相等
C．带根号的数都是无理数
D．对顶角相等的逆命题是真命题
7．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB＝4，AC＝7，则△AEF的周长为（ ）
A．4B．7C．9D．11
8．2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况（2022年同步增长速度＝×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过40万辆的月份有8个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
9．如果（7x﹣a）2＝49x2+bx+9，那么b的值一定是（ ）
A．21B．21或﹣21C．42D．42或﹣42
10．如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A．100cmB．120cmC．130cmD．150cm
11．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），其结果的个位数字为（ ）
A．5B．6C．7D．8
12．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD、BE、CF交于O，OH⊥BC于H．下列结论：①∠BOC＝120°；②∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC；③OD平分∠BOC；④BF+CE＝BC．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填在答题卡相应
13．化简：＝ ．
14．分解因式：x2﹣y2﹣x+y＝ ．
15．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝ ．
16．△ABC的三边长分别为2cm，和3cm，则其最大边上的高为 cm．
17．已知2x+4y﹣3＝0，则4x•16y﹣17＝ ．
18．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 秒时，△DEB与△BCA全等．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请将解答过程写在答题卡指定区域，试卷上解答无效.
19．计算：﹣2÷﹣||+（﹣2）3×（）2．
20．计算：[（x﹣y）（x+2y）﹣（x+y）2]÷y．
21．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若∠A＝50°，∠B＝40°，求∠CFD的度数．
22．世界卫生组织规定每年5月31日为“世界无烟日”．今年的“世界无烟日”宣传活动中，实验初中开展了以“我最支持的戒烟方式”为主题的调查活动，八年级某班同学将调查结果整理分析后，绘制成如下不完整的统计图．
（1）扇形统计图中a＝ ，本次活动共调查了 人；
（2）补全条形统计图；
（3）支持替代品戒烟的人数比支持强制戒烟的人数少百分之几？（结果在百分号前保留一位小数）
23．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图（1）中，BC的长是： ；
（2）在图（2）中，画一个面积为17的格点正方形；
（3）在图（3）中，直线l上方有格点A和B，请在直线l上找点P，使P点到A，B两点的距离和最小，并直接写出AP+BP的最小值．
24．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润
（2）设销售单价为每千克x（x≥50）元，你能算出月销售量和月销售利润吗？（结果用代数式表示）
25．现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a，b的关系式：（用含a，b的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；
②若2m+3n＝6，mn＝1，求6n﹣4m的值．
26．已知线段AB⊥l于点B，点D在直线l上（点D与B不重合），分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．
（1）如果点F在线段BD上，如图①，证明：△ABD≌△ACE；
（2）如果点F在线段BD的延长线上，如图②，试猜想线段DF，CE，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如果点F在直线BD上，且BD＝2BF，EF＝6，请直接写出CF的值．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一
1．下面统计图最有利于表示各部分数量与总数关系的是（ ）
A．扇形统计图B．条形统计图
C．折线统计图D．直方图
【分析】根据扇形统计图特征解答即可．
解：能清楚地表示出各部分数量与总数之间的关系的是扇形统计图．
故选：A．
【点评】此题考查的是频数（率）分布直方图，扇形统计图，应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．
2．下列四个实数中最大的是（ ）
A．B．0C．D．π
【分析】先化简各式，然后再进行比较即可解答．
解：﹣＝2，﹣＝﹣（﹣3）＝3，
在﹣，0，﹣，π这四个数中，
∵π＞﹣＞0＞﹣，
∴最大的是π，
故选：D．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，立方根，准确地化简各式是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6B．a2•a4＝a6C．a2+a4＝a6D．a2÷a4＝a6
【分析】根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项，同底数幂的除法法则解答即可．
解：A．（a2）4＝a8，故A选项错误；
B．a2•a4＝a6，故B选项正确；
C．a2+a4≠a6，故C选项错误；
D．a2÷a4＝a﹣2＝，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4．若a2＝9，b3＝﹣8，且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．5D．﹣1或5
【分析】根据平方根和立方根的定义解答即可．
解：∵a2＝9，b3＝﹣8，
∴a＝±3，b＝﹣2，
∵ab＞0，
∴a＝﹣3
∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．
即a﹣b的值为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查平方根和立方根的概念，注意掌握：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
5．如图，已知∠AOB＝48°，点C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，以OD长为半径作弧，交OC于点F；③以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接CG并延长交OA于点H．则∠AHC的度数为（ ）
A．24°B．42°C．48°D．96°
【分析】根据作图，由全等三角形的判定定理SSS可以推知△DOE≌△GCF，得到∠GCF＝∠DOE，即∠ACO＝∠AOB＝48°，再利用三角形外角性质求解即可．
解：由作图可知，OE＝OD，OD＝CF，FG＝DE，OD＝CG，
∴OE＝CF，
在△DOE与△GCF中，
，
则△DOE≌△GCF（SSS）．
∴∠GCF＝∠DOE，即∠ACO＝∠AOB＝48°，
∴∠AHC＝∠AOB+∠ACO＝48°+48°＝96°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．（﹣6）2的平方根是﹣6
B．全等三角形对应边上的高相等
C．带根号的数都是无理数
D．对顶角相等的逆命题是真命题
【分析】根据平方根的定义对A进行判断；根据全等三角形的性质对B进行判断；利用反例对C进行判断；写出逆命题，然后根据对顶角的定义计算判断D．
解：A、（﹣6）2的平方根是±6，所以A选项为错误，不符合题意；
C、全等三角形对应边上的高相等，所以B选项为正确，符合题意；
C、＝2为整数，所以C选项为错误，不符合题意；
D、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题是假命题，所以D选项为错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理，实数，对顶角、邻补角以及全等三角形的性质，解答本题的关键要明确：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB＝4，AC＝7，则△AEF的周长为（ ）
A．4B．7C．9D．11
【分析】先根据△ABC的周长公式求得BC＝9，再根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据△AEF的周长公式计算，即可得到答案．
解：∵△ABC的周长是20，
∴AB+AC+BC＝20，
∵AB＝4，AC＝7，
∴BC＝9，
∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA+EF+FA＝EB+EF+FC＝BC＝9，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况（2022年同步增长速度＝×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过40万辆的月份有8个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
【分析】根据折线统计图的信息进行求解即可．
解：由统计图可知，
2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，原说法正确，故选项A不符合题意；
2022年新能源汽车月度销量超过40万辆的月份有8个，原说法正确，故选项B不符合题意；
相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，原说法正确，故选项C不符合题意；
相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法错误，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．
9．如果（7x﹣a）2＝49x2+bx+9，那么b的值一定是（ ）
A．21B．21或﹣21C．42D．42或﹣42
【分析】先根据完全平方公式计算（7x﹣a）2，然后根据已知条件，列出关于a，b的方程，解方程即可．
解：（7x﹣a）2
＝49x2﹣14ax+a2，
∵（7x﹣a）2＝49x2+bx+9，
∴，
由①得：a＝±3，
把a＝3代入②得：b＝﹣42，
把a＝﹣3代入②得：b＝42，
综上可知b的值一定是42或﹣42，
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握利用完全平方公式进行计算，注意：（a+b）2≠a2+b2．
10．如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A．100cmB．120cmC．130cmD．150cm
【分析】根据展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．
解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：
在Rt△ACB中，
∵AC＝50cm，BC＝120cm，
∴，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路AB的长度是130cm．
故选：C．
【点评】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．
11．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1），其结果的个位数字为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先利用平方差公式进行计算，然后再从数字上找规律进行计算，即可解答．
解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…
∴2n的个位上是以：2，4，8，6循环，
∵64÷4＝16，
∴264的个位上是6，
∴264﹣1的个位上是5，
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，尾数特征，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD、BE、CF交于O，OH⊥BC于H．下列结论：①∠BOC＝120°；②∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC；③OD平分∠BOC；④BF+CE＝BC．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由∠BAC＝60°得∠ABC+∠ACB＝120°，即可求得∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，可判断①正确；
由∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC，而∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB），可推导出∠DOH＝90°﹣（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣∠ABC＝（∠ACB﹣∠ABC）＝∠OCB﹣∠OBC，可判断②正确；
由∠BAC＝60°，∠ABC＜60°得∠ABC＜∠ACB，则∠ABC＜∠ACB，再由∠OAB＝∠OAC推导出∠OBA+∠OAB＜∠OCA+∠OAC，即可证明∠BOD＜∠COD，可判断③错误；
在BC上截取BI＝BF，连接OI，由∠EOF＝∠BOC＝120°得∠AFO+∠AEO＝180°，即要证明∠CEO＝∠AFO，再证明△OBI≌△OBF，得∠OIB＝∠OFB，则∠CIO＝∠AFO，所以∠CIO＝∠CEO，即可证明△CIO≌△CEO，得CI＝CE，所以BF+CE＝BC，可判断④正确．
解：∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，
故①正确；
∵OH⊥BC于H，
∴∠OHD＝90°，
∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣（∠BAD+∠ABC）＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC，
∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB），
∴∠DOH＝90°﹣（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣∠ABC＝（∠ACB﹣∠ABC），
∵∠OCB﹣∠OBC＝∠ABC﹣∠ACB＝（∠ACB﹣∠ABC），
∴∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC，
故②正确；
∵∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，
∴∠ACB＞60°，
∴∠ABC＜∠ACB，
∵∠ABC＜∠ACB，
∴∠ABO＝∠ABC，∠OCA＝∠ACB，
∴∠OBA＜∠OCA，
∵∠OAB＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OAB＜∠OCA+∠OAC，
∴∠BOD＜∠COD，
故③错误；
如图，在BC上截取BI＝BF，连接OI，
∵∠EOF＝∠BOC＝120°，
∴∠AFO+∠AEO＝180°，
∵∠CEO+∠AEO＝180°，
∴∠CEO＝∠AFO，
在△OBI和△OBF中，
，
∴△OBI≌△OBF（SAS），
∴∠OIB＝∠OFB，
∴180°﹣∠OIB＝180°﹣∠OFB，
∴∠CIO＝∠AFO，
∴∠CIO＝∠CEO，
在△CIO和△CEO中，
，
∴△CIO≌△CEO（ASA），
∴CI＝CE，
∵BF+CE＝BI+CI＝BC，
故④正确，
故选：C．
【点评】此题重点考查角平分线的定义、三角形内角和定理及其推论、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且适当运用三角形内角和定理及其推论、全等三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填在答题卡相应
13．化简：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
解：＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
14．分解因式：x2﹣y2﹣x+y＝ （x﹣y）（x+y﹣1） ．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题一二项x2﹣y2可组成平方差公式，三四项有公因式，故一二项为一组，三四项一组．
解：x2﹣y2﹣x+y，
＝（x2﹣y2）﹣（x﹣y），
＝（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y），
＝（x﹣y）（x+y﹣1）．
【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题一二项可组成平方差公式，三四项有公因式，故一二项为一组，三四项一组．
15．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝ 4：3 ．
【分析】作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线的性质可知，DE＝DF，再由三角形的面积公式求解即可．
解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF
∴S△ABD：S△ACD＝AB•DE：AC•DF＝AB：AC＝8：6＝4：3．
故答案为：4：3．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．
16．△ABC的三边长分别为2cm，和3cm，则其最大边上的高为 cm．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，然后根据等面积法即可求得斜边上的高，也就是最大边上的高．
解：∵△ABC的三边长分别为2cm，和3cm，22+（）2＝32，
∴该三角形是直角三角形，
设斜边上的高为x cm，
则＝，
解得x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明题意，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
17．已知2x+4y﹣3＝0，则4x•16y﹣17＝ ﹣9 ．
【分析】由题意可得2x+4y＝3，再利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：∵2x+4y﹣3＝0，
∴2x+4y＝3，
∴4x•16y﹣17
＝22x•24y﹣17
＝22x+4y﹣17
＝23﹣17
＝8﹣17
＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 0，2，6，8 秒时，△DEB与△BCA全等．
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可．
解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点E的运动时间为16÷2＝8（秒），
故答案为：0，2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请将解答过程写在答题卡指定区域，试卷上解答无效.
19．计算：﹣2÷﹣||+（﹣2）3×（）2．
【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的乘方法则计算即可．
解：原式＝2﹣2×2﹣2+（﹣8）×
＝2﹣4﹣2﹣2
＝﹣6．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．计算：[（x﹣y）（x+2y）﹣（x+y）2]÷y．
【分析】先将括号内展开，合并同类项，再算除法．
解：原式＝（x2+xy﹣2y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷y
＝（﹣xy﹣3y2）÷y
＝﹣x﹣3y．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
21．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若∠A＝50°，∠B＝40°，求∠CFD的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和ASA证明△ABE与△CDF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝DF；
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB，
∵∠A＝50°，∠B＝40°，
∴∠AEB＝180°﹣50°﹣40°＝90°，
∴∠CFD＝90°．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明△ABE与△CDF全等解答．
22．世界卫生组织规定每年5月31日为“世界无烟日”．今年的“世界无烟日”宣传活动中，实验初中开展了以“我最支持的戒烟方式”为主题的调查活动，八年级某班同学将调查结果整理分析后，绘制成如下不完整的统计图．
（1）扇形统计图中a＝ 30 ，本次活动共调查了 200 人；
（2）补全条形统计图；
（3）支持替代品戒烟的人数比支持强制戒烟的人数少百分之几？（结果在百分号前保留一位小数）
【分析】（1）根据替代品戒烟的人数的所占的百分率求出总人数，再根据警示戒烟的人数和总人数求出示戒烟人数所占总人数的百分率．
（2）根据总人数求出药物戒烟人数，再补全条形统计图．
（3）用百分数除法进行解答即可．
解：（1）本次活动共调查：20÷10%＝200（人）；
警示戒烟的人数：200﹣90﹣20﹣200×15%＝60（人），
警示戒烟人数所占总人数：60÷200×100%＝30%，
故答案为：30，200．
（2）药物戒烟人数：200﹣90﹣20﹣60＝30（人），
（3）（90﹣20）÷90×100%＝77.8%，
答：支持替代品戒烟的人数比支持强制戒烟的人少77.8%．
【点评】本题考查了统计图的应用，解题的关键是根据统计图中的信息来解答．
23．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图（1）中，BC的长是： ；
（2）在图（2）中，画一个面积为17的格点正方形；
（3）在图（3）中，直线l上方有格点A和B，请在直线l上找点P，使P点到A，B两点的距离和最小，并直接写出AP+BP的最小值．
【分析】（1）利用勾股定理计算即可．
（2）画边长为的正方形即可．
（3）取点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，则点P即为所求；利用勾股定理求出A'B的长，即可得AP+BP的最小值．
解：（1）由勾股定理得，BC＝＝．
故答案为：．
（2）如图（2），正方形ABCD即为所求．
（3）如图（3），取点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，连接AP，
此时AP+BP＝A'P+BP＝A'B，为最小值，
即P点到A，B两点的距离和最小，
则点P即为所求．
由勾股定理得，A'B＝＝5，
∴AP+BP的最小值为5．
【点评】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、轴对称﹣最短路线问题、正方形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润
（2）设销售单价为每千克x（x≥50）元，你能算出月销售量和月销售利润吗？（结果用代数式表示）
【分析】（1）直接利用按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销量就减少10千克，得出当销售价定为每千克55元时的月销售量和月销售利润；
（2）表示出销量，利用销量×每千克利润＝总利润，进而得出答案．
解：（1）由题意可得：当销售价定为每千克55元时，销售量为：500﹣50＝450（千克），
销售利润为：450×（55﹣40）＝6750（元）；
（2）销售量为：500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，
销售利润为：x（1000﹣10x）﹣40（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出其销量是解题关键．
25．现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a，b的关系式：（用含a，b的代数式表示出来）；
图1表示： （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
图2表示： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；
②若2m+3n＝6，mn＝1，求6n﹣4m的值．
【分析】（1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为（a+b）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（2）①将xy根据完全平方公式用含有x+y，x2+y2的式子表示出来，然后代入求值即可；
②利用（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，代入求值即可．
解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab；
图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）①∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]，
∵x+y＝4，x2+y2＝10，
∴xy＝（16﹣10）＝3；
②∵2m+3n＝6，
∴（2m+3n）2＝36，
又∵mn＝1，
∴（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn＝12，
∴2m﹣3n＝±2，
∴6n﹣4m＝±4．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
26．已知线段AB⊥l于点B，点D在直线l上（点D与B不重合），分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．
（1）如果点F在线段BD上，如图①，证明：△ABD≌△ACE；
（2）如果点F在线段BD的延长线上，如图②，试猜想线段DF，CE，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如果点F在直线BD上，且BD＝2BF，EF＝6，请直接写出CF的值．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，根据SAS可证明△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质得出BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∠ACE＝∠ABD＝90°，证出∠FBC＝∠FCB＝30°，得出FB＝FC，则可得出结论；
（3）分两种情况，由等边三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：CF＝DF+CE．
证明：∵AB⊥1，
∴∠ABD＝90°，
由（1）得，△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADB+∠ADF＝180°，
∴∠AEF+∠ADF＝180°，
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝120°，
∵∠FBC＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠FBC＝∠FCB＝30°，
∴FB＝FC，
∴CF＝BF＝BD+DF＝DF+CE．
（3）解：①如图①中，
∵BD＝2DF，
设BF＝DF＝CF＝x，
∵EF＝6，BD＝EC，
∴3x＝6，
∴x＝2，
∴CF＝2．
②如图②中，
设BF＝CF＝x，
则BD＝2x，
∵BD＝EC，EF＝6，
∴6+x＝2x，
∴x＝6，
∴CF＝6，
综上所述，CF＝2或6．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．