2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性周期性学案文

这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性周期性学案文，共6页。学案主要包含了思考辨析，易错纠偏等内容，欢迎下载使用。


1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(3)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)成立，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)成立，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)成立，则T＝2a(a>0)．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
常见误区| (1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；
(2)周期不能正确求出从而求不出结果．
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________．
解析：当x<0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．
答案：x(1－x)
2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）).当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝________．
解析：因为f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周期．f(105)＝f(4×26＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
判断函数的奇偶性(师生共研)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－eq \f(1,x)；
(2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)；
(3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.))
【解】 (1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
并且对于定义域内的任意一个x都有
f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))＝－f(x)，
从而函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
eq \a\vs4\al()
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒] 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
1．下列函数中，①f(x)＝eq \r(\f(1－x,1＋x))；②f(x)＝lg3(eq \r(x2＋1)＋x)；③f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－1，x＜0，,－x2＋1，x＞0；))④f(x)＝x2＋cs x．奇函数是________，偶函数是________．(填序号)
解析：对于①，定义域为(－1，1]，所以函数不具有奇偶性；对于②，定义域为R，且f(－x)＝lg3(eq \r(x2＋1)－x)＝lg3eq \f(1,\r(x2＋1)＋x)＝－lg3(eq \r(x2＋1)＋x)＝－f(x)，所以函数为奇函数；对于③，当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－1＝－(－x2＋1)＝－f(x)，同理当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－x2＋1＝－(x2－1)＝－f(x)，所以函数为奇函数；对于④，定义域为R，f(－x)＝(－x)2＋cs(－x)＝f(x)，函数为偶函数．
答案：②③ ④
2．已知函数f(x)＝eq \f(x,2x－1)，g(x)＝eq \f(x,2)，则下列结论正确的是( )
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
解析：选A．易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x)＋g(－x)＝eq \f(－x,2－x－1)＋eq \f(－x,2)＝－eq \f(x·2x,1－2x)－eq \f(x,2)＝eq \f(x（1－2x）－x,1－2x)－eq \f(x,2)＝eq \f(x,2x－1)＋eq \f(x,2)＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A．
函数奇偶性的应用(师生共研)
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________．
(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
(3)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．
【解析】 (1)当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.
因为函数f(x)为奇函数，
所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
所以f(ln 2)＝e－aln 2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)＝8，所以a＝－3.
(2)因为f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，
所以当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1.
(3)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.
【答案】 (1)－3 (2)x－1 (3)0
1．已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选C．因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)，所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.故选C．
2．(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．
解析：方法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为eq \f(1,4).
方法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，最小值为－eq \f(1,4)，
因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
函数的周期性及其应用(师生共研)
(1)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋a，－1≤x<0，,|2－x|，0≤x<1，))其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 (1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C．
(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
【答案】 (1)C (2)D
eq \a\vs4\al()
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________，f(20)＝________．
解析： 因为f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，所以f(x＋4)＝－eq \f(1,f（x＋2）)＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝－eq \f(1,f（2）)＝－eq \f(1,2×2－1)＝－eq \f(1,3).
答案：1 －eq \f(1,3)奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称