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备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第5讲对数与对数函数
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第5讲对数与对数函数，共9页。学案主要包含了四象限.等内容，欢迎下载使用。
（1）对数的概念
一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作① x＝lgaN ，其中a叫做对数的② 底数 ，N叫做③ 真数 .
以10为底的对数叫做常用对数，记作④ lgN ；以e为底的对数叫做自然对数，记作⑤ lnN .
（2）对数的性质、运算性质及换底公式
2.对数函数的图象和性质
规律总结
1.对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（1a，
－1），函数图象只在第一、四象限.
2.如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.
注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
3.反函数
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线⑳ y＝x 对称（如图所示）.反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.
1.[全国卷Ⅰ]设alg34＝2，则4－a＝（ B ）
A.116B.19C.18D.16
解析 解法一 因为alg34＝2，所以lg34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.
解法二 因为alg34＝2，所以a＝2lg34＝lg39lg34＝lg49，所以4a＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.
2.[多选]以下说法正确的是（ CD ）
A.若MN＞0，则lga（MN）＝lgaM＋lgaN
B.对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数
C.函数y＝ln 1+x1－x与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同
D.对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1）,（1a，
－1），函数图象只在第一、四象限
3.lg 25＋lg 2·lg 50＋（lg 2）2＝ 2 .
4.若lga34＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是 （0，34）∪（1，＋∞） .
5.设lga2＝m，lga3＝n，则a2m＋n的值为 12 .
6.[2023北京高考]已知函数f（x）＝4x＋lg2x，则f（12）＝ 1 .
解析 因为f（x）＝4x＋lg2x，所以f（12）＝412＋lg212＝2＋lg22－1＝2－1＝1.
研透高考 明确方向
命题点1 对数的运算
例1 （1）[2022天津高考]化简（2lg43＋lg83）（lg32＋lg92）的值为（ B ）
A.1B.2C.4D.6
解析 （2lg43＋lg83）（lg32＋lg92）＝（2lg223＋lg233）×（lg32＋lg322）＝（lg23＋13lg23）（lg32＋12lg32）＝43×lg23×32×lg32＝2，故选B.
（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b＝（ C ）
A.25B.5C.259D.53
解析 由2a＝5得a＝lg25.又b＝lg83＝lg23lg28＝13lg23，所以a－3b＝lg25－lg23＝lg253＝lg453lg42＝2lg453＝lg4259，所以4a－3b＝4lg4259＝259，故选C.
方法技巧
对数运算的一般思路
（1）转化：①利用ab＝N⇔b＝lgaN（a＞0且a≠1）对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算.
（2）利用恒等式：lga1＝0，lgaa＝1，lgaaN＝N，algaM＝M.
（3）拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.
（4）合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.
训练1 （1）[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lg N＝n＋lg a（0≤lg a＜1）.当n＞0时，N是n＋1位数，则41 000是（ C ）位数.（lg 2≈0.301 0）
A.601B.602C.603D.604
解析 由lg41 000＝lg22 000＝2 000lg 2≈2 000×0.301 0＝602＝602＋lg 1，得n＝602，所以41 000是603位数.故选C.
（2）[2024山东泰安第二中学模拟]（2＋1027）－23＋2lg32－lg349－5lg259＝ －716 .
解析 原式＝[（43）3]－23＋lg34－lg349－5lg53＝（43）－2＋lg39－3 ＝916＋2－3＝－716.
命题点2 对数函数的图象及应用
例2 （1）[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝lga（x＋12）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ D ）
AB
CD
解析 若0＜a＜1，则函数y＝1ax是增函数，y＝lga（x＋12）是减函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝1ax是减函数，而y＝lga（x＋12）是增函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，没有符合的图象.故选D.
（2）已知当0＜x≤14时，有x＜lgax，则实数a的取值范围为 （116，1） .
解析 若x＜lgax在x∈（0，14]时成立，则0＜a＜1，且y＝x的图象在y＝lgax图象的下方，作出y＝x，y＝lgax的图象如图所示.由图象知14＜lga14，所以0方法技巧
与对数函数有关的图象问题的求解策略
1.对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.
2.对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.
训练2 （1）[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知ax＝b－x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数y＝lga（－x）与y＝bx的图象可能是（ AB ）
解析 因为ax＝b－x，即ax＝（1b）x，所以a＝1b，当a＞1时，0＜b＜1，函数y＝bx在R上单调递减，且过点（0，1），因为y＝lgax与y＝lga（－x）的图象关于y轴对称，故y＝lga（－x）在（－∞，0）上单调递减且过点（－1，0），故A符合题意.
当0＜a＜1时，b＞1，函数y＝bx在R上单调递增，且过点（0，1），y＝lga（－x）在（－∞，0）上单调递增且过点（－1，0），故B符合题意.故选AB.
（2）[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f（x）＝｜lg3｜x｜｜,x≠0，0，x=0，设a，b，c，d是四个互不相同的实数，且满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是 （4，＋∞） .
解析 作出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）图象关于y轴对称.
设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直线y＝m，则由图象得0＜b＜1＜a，则由题意知，lg3a＝
－lg3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1a，则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜＝
2（a＋b）＝2（a＋1a）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是（4，＋∞）.
命题点3 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例3 （1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝lg52，b＝lg83，c＝12，则（ C ）
A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.a＜b＜c
解析 a＝lg52＝lg54＜lg55＝12＝c，b＝lg83＝lg89＞lg88＝12＝c，所以a＜c＜b.故选C.
（2）[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f（x）在R上是增函数，若a＝
f（lg215），b＝f（lg24.1），c＝f（20.5），则a，b，c的大小关系为（ A ）
A.a＜c＜bB.b＜a＜c
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析 lg215＝－lg25＜－lg24＝－2，lg24.1＞lg24＝2，20.5＝2∈（1，2），故lg215＜20.5＜lg24.1.由于f（x）在R上是增函数，故f（lg215）＜f（20.5）＜f（lg24.1），所以a＜c＜b.故选A.
方法技巧
比较对数值大小的常用方法
1.底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.
2.当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小.
角度2 解对数方程或不等式
例4 （1）[2024湘豫名校联考]已知函数f（x）＝lg2｜x｜＋x2，则不等式f（ln x）＋
f（－ln x）＜2的解集为（ D ）
A.（1e，1）B.（1e，e）
C.（1，e）D.（1e，1）∪（1，e）
解析 由题可知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∴ln x≠0.
∵f（－x）＝lg2｜－x｜＋（－x）2＝lg2｜x｜＋x2＝f（x），
∴f（x）是偶函数，∴由f（ln x）＋f（－ln x）＜2可得2f（ln x）＜2，即f（ln x）＜1.
当x＞0时，f（x）＝lg2x＋x2.
∵y＝lg2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是单调递增的，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝1，∴｜ln x｜＜1且ln x≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集为（1e，1）∪（1，e）.故选D.
（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x＝4lg6x－9lg6x，y＝9lg4y＋6lg4y，则xy的值为（ B ）
A.5+12B. 5－12
C.5＋1D.5－1
解析 令lg6x＝m，lg4y＝n，则x＝6m，y＝4n.
由x＝4lg6x－9lg6x，y＝9lg4y＋6lg4y可得6m＝4m－9m，4n＝9n＋6n，
进而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m与（32）n均为方程t2＋t－1＝0的实数根，
由t2＋t－1＝0，解得t＝－1+52或t＝－1－52，
因为（32）m＞0，（32）n＞0，
所以（32）m＝（32）n＝－1+52.
由于函数y＝（32）x为增函数，所以m＝n，xy＝6m4n＝（32）m＝－1+52，故选B.
方法技巧
1.（1）lgaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（a＞0，且a≠1）.
（2）lgaf（x）＝lgag（x）⇔f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.
2.解简单对数不等式，先统一底数，化为形如lgaf（x）＞lgag（x）的不等式，再借助y＝lgax的单调性求解.
角度3 对数函数性质的应用
例5 （1）[全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（ D ）
A.是偶函数，且在（12，＋∞）单调递增
B.是奇函数，且在（－12，12）单调递减
C.是偶函数，且在（－∞，－12）单调递增
D.是奇函数，且在（－∞，－12）单调递减
解析 由2x+1≠0，2x－1≠0，得函数f（x）的定义域为（－∞，－12）∪（－12，12）∪（12，
＋∞），其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A，C.当x∈
（－12，12）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B.当x∈（－∞，－12）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2x+12x－1＝ln（1＋22x－1），易知函数f（x）单调递减，故选D.
（2）[全国卷Ⅰ]若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则（ B ）
A.a＞2bB.a＜2b
C.a＞b2D.a＜b2
解析 令f（x）＝2x＋lg2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝lg2x在（0，
＋∞）上单调递增，所以f（x）＝2x＋lg2x在（0，＋∞）上单调递增.又2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b＜22b＋lg2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B.
方法技巧
对数型复合函数的单调性问题的求解策略
（1）对于y＝lgaf（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝lgaf（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反.
（2）研究y＝f（lgax）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝lgax，则只需研究t＝lgax及y＝f（t）的单调性即可.
注意 研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.
训练3 （1）[2024河南名校联考]“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 二次函数y＝x2－ax＋12图象的对称轴为x＝a2，若函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增，则根据复合函数的单调性可得a2≤2，4－2a＋12≥0，即a≤94，故“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a＝lg64，b＝lg53，c＝lg76，则（ B ）
A.a＜b＜cB.b＜a＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 由题意得a，b，c∈（0，1），
∵lg64·lg67＜（lg64+lg672）2＝（lg6282）2＜1，
∴lg64＜1lg67＝lg76，即a＜c.
∵a＝lg64＝lg64256＞lg64216＝34，b＝lg53＝lg5481＜lg54125＝34，∴a＞b.综上所述，可得b＜a＜c.故选B.
（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f（x）＝lg1+kx1+x（k≠1），则不等式－1＜f（x）＜lg12的解集为 （13，911） .
解析 因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝lg1－kx1－x＋lg1+kx1+x＝lg1－k2x21－x2＝0，所以k2＝1.因为k≠1，所以k＝－1，则由－1＜f（x）＜lg12，得lg110＜lg1－x1+x＜lg12，所以110＜1－x1+x＜12，解得13＜x＜911.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）.
对数的运算
2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全国卷ⅠT8
该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用，常与指数函数综合考查，且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式；学会构造新函数，结合单调性比较大小；注意对函数图象的应用，注意区分对数函数图象和指数函数图象.
对数函数的图象及应用
2019浙江T6
对数函数的性质及应用
2021新高考卷ⅡT7；2021全国卷乙T12；2020全国卷ⅠT12；2020全国卷ⅡT11；2020全国卷ⅢT12；2019全国卷ⅠT3
性质
lga1＝⑥ 0 ，lgaa＝⑦ 1 ，algaN＝⑧ N （N＞0），其中a＞0，且a≠1.
运算
性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）lga（M·N）＝⑨ lgaM＋lgaN ；
（2）lgaMN＝⑩ lgaM－lgaN ；
（3）lgaMn＝⑪ nlgaM ，lgaan＝⑫ n （n∈R）.
换底
公式
lgab＝⑬ lgcblgca （a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0）.
推论：（1）lgab·lgba＝⑭ 1 ；（2）lgambn＝nmlgab；（3）lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
函数
y＝lgax（a＞1）
y＝lgax（0＜a＜1）
图象
性质
定义域：⑮ （0，＋∞） .
值域：⑯ R .
图象过定点⑰ （1，0） ，即恒有lga1＝0.
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0.
当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0.
在（0，＋∞）上单调递⑱ 增 .
在（0，＋∞）上单调递⑲ 减 .
（1）对数的概念
一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作① x＝lgaN ，其中a叫做对数的② 底数 ，N叫做③ 真数 .
以10为底的对数叫做常用对数，记作④ lgN ；以e为底的对数叫做自然对数，记作⑤ lnN .
（2）对数的性质、运算性质及换底公式
2.对数函数的图象和性质
规律总结
1.对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（1a，
－1），函数图象只在第一、四象限.
2.如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.
注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
3.反函数
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线⑳ y＝x 对称（如图所示）.反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.
1.[全国卷Ⅰ]设alg34＝2，则4－a＝（ B ）
A.116B.19C.18D.16
解析 解法一 因为alg34＝2，所以lg34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.
解法二 因为alg34＝2，所以a＝2lg34＝lg39lg34＝lg49，所以4a＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.
2.[多选]以下说法正确的是（ CD ）
A.若MN＞0，则lga（MN）＝lgaM＋lgaN
B.对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数
C.函数y＝ln 1+x1－x与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同
D.对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1）,（1a，
－1），函数图象只在第一、四象限
3.lg 25＋lg 2·lg 50＋（lg 2）2＝ 2 .
4.若lga34＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是 （0，34）∪（1，＋∞） .
5.设lga2＝m，lga3＝n，则a2m＋n的值为 12 .
6.[2023北京高考]已知函数f（x）＝4x＋lg2x，则f（12）＝ 1 .
解析 因为f（x）＝4x＋lg2x，所以f（12）＝412＋lg212＝2＋lg22－1＝2－1＝1.
研透高考 明确方向
命题点1 对数的运算
例1 （1）[2022天津高考]化简（2lg43＋lg83）（lg32＋lg92）的值为（ B ）
A.1B.2C.4D.6
解析 （2lg43＋lg83）（lg32＋lg92）＝（2lg223＋lg233）×（lg32＋lg322）＝（lg23＋13lg23）（lg32＋12lg32）＝43×lg23×32×lg32＝2，故选B.
（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b＝（ C ）
A.25B.5C.259D.53
解析 由2a＝5得a＝lg25.又b＝lg83＝lg23lg28＝13lg23，所以a－3b＝lg25－lg23＝lg253＝lg453lg42＝2lg453＝lg4259，所以4a－3b＝4lg4259＝259，故选C.
方法技巧
对数运算的一般思路
（1）转化：①利用ab＝N⇔b＝lgaN（a＞0且a≠1）对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算.
（2）利用恒等式：lga1＝0，lgaa＝1，lgaaN＝N，algaM＝M.
（3）拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.
（4）合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.
训练1 （1）[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lg N＝n＋lg a（0≤lg a＜1）.当n＞0时，N是n＋1位数，则41 000是（ C ）位数.（lg 2≈0.301 0）
A.601B.602C.603D.604
解析 由lg41 000＝lg22 000＝2 000lg 2≈2 000×0.301 0＝602＝602＋lg 1，得n＝602，所以41 000是603位数.故选C.
（2）[2024山东泰安第二中学模拟]（2＋1027）－23＋2lg32－lg349－5lg259＝ －716 .
解析 原式＝[（43）3]－23＋lg34－lg349－5lg53＝（43）－2＋lg39－3 ＝916＋2－3＝－716.
命题点2 对数函数的图象及应用
例2 （1）[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝lga（x＋12）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ D ）
AB
CD
解析 若0＜a＜1，则函数y＝1ax是增函数，y＝lga（x＋12）是减函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝1ax是减函数，而y＝lga（x＋12）是增函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，没有符合的图象.故选D.
（2）已知当0＜x≤14时，有x＜lgax，则实数a的取值范围为 （116，1） .
解析 若x＜lgax在x∈（0，14]时成立，则0＜a＜1，且y＝x的图象在y＝lgax图象的下方，作出y＝x，y＝lgax的图象如图所示.由图象知14＜lga14，所以0
与对数函数有关的图象问题的求解策略
1.对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.
2.对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.
训练2 （1）[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知ax＝b－x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数y＝lga（－x）与y＝bx的图象可能是（ AB ）
解析 因为ax＝b－x，即ax＝（1b）x，所以a＝1b，当a＞1时，0＜b＜1，函数y＝bx在R上单调递减，且过点（0，1），因为y＝lgax与y＝lga（－x）的图象关于y轴对称，故y＝lga（－x）在（－∞，0）上单调递减且过点（－1，0），故A符合题意.
当0＜a＜1时，b＞1，函数y＝bx在R上单调递增，且过点（0，1），y＝lga（－x）在（－∞，0）上单调递增且过点（－1，0），故B符合题意.故选AB.
（2）[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f（x）＝｜lg3｜x｜｜,x≠0，0，x=0，设a，b，c，d是四个互不相同的实数，且满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是 （4，＋∞） .
解析 作出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）图象关于y轴对称.
设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直线y＝m，则由图象得0＜b＜1＜a，则由题意知，lg3a＝
－lg3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1a，则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜＝
2（a＋b）＝2（a＋1a）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是（4，＋∞）.
命题点3 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例3 （1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝lg52，b＝lg83，c＝12，则（ C ）
A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.a＜b＜c
解析 a＝lg52＝lg54＜lg55＝12＝c，b＝lg83＝lg89＞lg88＝12＝c，所以a＜c＜b.故选C.
（2）[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f（x）在R上是增函数，若a＝
f（lg215），b＝f（lg24.1），c＝f（20.5），则a，b，c的大小关系为（ A ）
A.a＜c＜bB.b＜a＜c
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析 lg215＝－lg25＜－lg24＝－2，lg24.1＞lg24＝2，20.5＝2∈（1，2），故lg215＜20.5＜lg24.1.由于f（x）在R上是增函数，故f（lg215）＜f（20.5）＜f（lg24.1），所以a＜c＜b.故选A.
方法技巧
比较对数值大小的常用方法
1.底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.
2.当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小.
角度2 解对数方程或不等式
例4 （1）[2024湘豫名校联考]已知函数f（x）＝lg2｜x｜＋x2，则不等式f（ln x）＋
f（－ln x）＜2的解集为（ D ）
A.（1e，1）B.（1e，e）
C.（1，e）D.（1e，1）∪（1，e）
解析 由题可知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∴ln x≠0.
∵f（－x）＝lg2｜－x｜＋（－x）2＝lg2｜x｜＋x2＝f（x），
∴f（x）是偶函数，∴由f（ln x）＋f（－ln x）＜2可得2f（ln x）＜2，即f（ln x）＜1.
当x＞0时，f（x）＝lg2x＋x2.
∵y＝lg2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是单调递增的，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝1，∴｜ln x｜＜1且ln x≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集为（1e，1）∪（1，e）.故选D.
（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x＝4lg6x－9lg6x，y＝9lg4y＋6lg4y，则xy的值为（ B ）
A.5+12B. 5－12
C.5＋1D.5－1
解析 令lg6x＝m，lg4y＝n，则x＝6m，y＝4n.
由x＝4lg6x－9lg6x，y＝9lg4y＋6lg4y可得6m＝4m－9m，4n＝9n＋6n，
进而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m与（32）n均为方程t2＋t－1＝0的实数根，
由t2＋t－1＝0，解得t＝－1+52或t＝－1－52，
因为（32）m＞0，（32）n＞0，
所以（32）m＝（32）n＝－1+52.
由于函数y＝（32）x为增函数，所以m＝n，xy＝6m4n＝（32）m＝－1+52，故选B.
方法技巧
1.（1）lgaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（a＞0，且a≠1）.
（2）lgaf（x）＝lgag（x）⇔f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.
2.解简单对数不等式，先统一底数，化为形如lgaf（x）＞lgag（x）的不等式，再借助y＝lgax的单调性求解.
角度3 对数函数性质的应用
例5 （1）[全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（ D ）
A.是偶函数，且在（12，＋∞）单调递增
B.是奇函数，且在（－12，12）单调递减
C.是偶函数，且在（－∞，－12）单调递增
D.是奇函数，且在（－∞，－12）单调递减
解析 由2x+1≠0，2x－1≠0，得函数f（x）的定义域为（－∞，－12）∪（－12，12）∪（12，
＋∞），其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A，C.当x∈
（－12，12）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B.当x∈（－∞，－12）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2x+12x－1＝ln（1＋22x－1），易知函数f（x）单调递减，故选D.
（2）[全国卷Ⅰ]若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则（ B ）
A.a＞2bB.a＜2b
C.a＞b2D.a＜b2
解析 令f（x）＝2x＋lg2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝lg2x在（0，
＋∞）上单调递增，所以f（x）＝2x＋lg2x在（0，＋∞）上单调递增.又2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b＜22b＋lg2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B.
方法技巧
对数型复合函数的单调性问题的求解策略
（1）对于y＝lgaf（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝lgaf（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反.
（2）研究y＝f（lgax）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝lgax，则只需研究t＝lgax及y＝f（t）的单调性即可.
注意 研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.
训练3 （1）[2024河南名校联考]“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 二次函数y＝x2－ax＋12图象的对称轴为x＝a2，若函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增，则根据复合函数的单调性可得a2≤2，4－2a＋12≥0，即a≤94，故“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a＝lg64，b＝lg53，c＝lg76，则（ B ）
A.a＜b＜cB.b＜a＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 由题意得a，b，c∈（0，1），
∵lg64·lg67＜（lg64+lg672）2＝（lg6282）2＜1，
∴lg64＜1lg67＝lg76，即a＜c.
∵a＝lg64＝lg64256＞lg64216＝34，b＝lg53＝lg5481＜lg54125＝34，∴a＞b.综上所述，可得b＜a＜c.故选B.
（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f（x）＝lg1+kx1+x（k≠1），则不等式－1＜f（x）＜lg12的解集为 （13，911） .
解析 因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝lg1－kx1－x＋lg1+kx1+x＝lg1－k2x21－x2＝0，所以k2＝1.因为k≠1，所以k＝－1，则由－1＜f（x）＜lg12，得lg110＜lg1－x1+x＜lg12，所以110＜1－x1+x＜12，解得13＜x＜911.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）.
对数的运算
2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全国卷ⅠT8
该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用，常与指数函数综合考查，且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式；学会构造新函数，结合单调性比较大小；注意对函数图象的应用，注意区分对数函数图象和指数函数图象.
对数函数的图象及应用
2019浙江T6
对数函数的性质及应用
2021新高考卷ⅡT7；2021全国卷乙T12；2020全国卷ⅠT12；2020全国卷ⅡT11；2020全国卷ⅢT12；2019全国卷ⅠT3
性质
lga1＝⑥ 0 ，lgaa＝⑦ 1 ，algaN＝⑧ N （N＞0），其中a＞0，且a≠1.
运算
性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）lga（M·N）＝⑨ lgaM＋lgaN ；
（2）lgaMN＝⑩ lgaM－lgaN ；
（3）lgaMn＝⑪ nlgaM ，lgaan＝⑫ n （n∈R）.
换底
公式
lgab＝⑬ lgcblgca （a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0）.
推论：（1）lgab·lgba＝⑭ 1 ；（2）lgambn＝nmlgab；（3）lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
函数
y＝lgax（a＞1）
y＝lgax（0＜a＜1）
图象
性质
定义域：⑮ （0，＋∞） .
值域：⑯ R .
图象过定点⑰ （1，0） ，即恒有lga1＝0.
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0.
当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0.
在（0，＋∞）上单调递⑱ 增 .
在（0，＋∞）上单调递⑲ 减 .
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